選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?求數(shù)列的通項(xiàng)公式

任霞

求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題中， 此類問(wèn)題的難度一般不大，但題型多變，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法很多，筆者對(duì)其進(jìn)行了總結(jié)，下面結(jié)合實(shí)例詳細(xì)介紹.

一、歸納猜想法

有時(shí)由數(shù)列的遞推式很難求得通項(xiàng)公式，我們可運(yùn)用歸納猜想法，從特殊的一組有序自然數(shù)入手，即通過(guò)對(duì)遞推公式進(jìn)行賦值，獲得數(shù)列的前幾項(xiàng)，再通過(guò)觀察分析項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，以探究出數(shù)列的變化規(guī)律，猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

例1.設(shè)數(shù)列{an}滿足 a1=3，an+1=3an -4n .求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（1）由 a1=3，an+1=3an -4n 可得 a2=3a1-4=9-4=5，a3=3a2-8=15-8=7，

可猜想出數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即 an =2n+1，

證明過(guò)程如下：

當(dāng) n =1時(shí)，a1=3成立;

假設(shè)當(dāng) n =k 時(shí)，ak =2k +1成立.

那么當(dāng) n =k +1時(shí)，ak +1=3ak -4k =3（2k +1）-4k =2k +3=2（k +1）+1也成立.

則對(duì)任意的 n ∈N*，都有an =2n +1成立;

通過(guò)對(duì)特例的分析，從而猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，便能快速明確所求的目標(biāo)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，就能證明所求的通項(xiàng)公式滿足題意.

二、公式法

對(duì)于常見(jiàn)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，可以直接運(yùn)用公式法求解.先判定數(shù)列的類型，求得數(shù)列的首項(xiàng)、公差、公比，就可根據(jù)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：Sn=na1+?? d 和等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式：求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2.已知數(shù)列{xn}的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列{an}與一個(gè)等比數(shù)列{bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若 x1=3，x2=6， x3=11，x4=20，求數(shù)列{ xn }的通項(xiàng)公式.

解：由于{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，故設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為 a1，公差為 d ，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為 b1，公比為 q ，則xn =[a1+（n -1）d]+b1?qn -1，

a1+b1=3，

由題意得

解得 a1=d =1，b1=q =2，

故xn =n +2 n ，

即數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn =n+2 n .

在運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式解題時(shí)，要注意對(duì)數(shù)列的公比q 分 q ≠1、q =1兩種情況進(jìn)行討論.

三、利用 Sn 和an 之間的關(guān)系

若數(shù)列an的前 n 項(xiàng)的和為 Sn =a1+a2+…+an ，則和之間的關(guān)系為，當(dāng)遇到數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn與an 有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可利用 Sn 和 an 之間的關(guān)系來(lái)解題，將已知關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含an 、 an -1的關(guān)系式，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加、累乘法來(lái)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3.若正項(xiàng)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為Sn，2 =an +1（n ∈ N*），求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：由2 =an +1得，4Sn =a +2an +1，當(dāng) n ≥2時(shí)，4Sn -1=a -1+2an -1+1，

將上述兩式相減，得4an =a -a -1+2（an -an -1），即 a -a -1-2（an +an -1）=0，

由于 an >0，在上式兩邊同除以 an +an -1得， an -an -1=2，

所以an是2為公差的等差數(shù)列，

當(dāng) n =1時(shí)，由4S1=4a1=a +2a1+1，得 a1=1，故 an =2n -1.

利用 Sn 和 an 之間的關(guān)系解題，要注意對(duì)當(dāng) n =1時(shí)的情形進(jìn)行單獨(dú)討論，然后驗(yàn)證所得結(jié)果是否滿足當(dāng) n =2時(shí)的通項(xiàng)公式，若不滿足，需分段表示通項(xiàng)公式，若滿足，可合寫(xiě)成一個(gè)表達(dá)式.

四、構(gòu)造輔助數(shù)列法

構(gòu)造輔助數(shù)列法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法，是指將遞推式進(jìn)行合理變形，構(gòu)造出輔助數(shù)列，如等差、等比數(shù)列等，然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得問(wèn)題的答案.

例4.設(shè)數(shù)列an前 n 項(xiàng)和為 Sn ，數(shù)列Sn的前 n 項(xiàng)和為T(mén)n ，滿足 Tn =2Sn -n2，n ∈N*.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng) a1=1.當(dāng) n ≥2時(shí)，

Sn = Tn - Tn -1=2Sn -n2-[2Sn -1-（n -1）2]=2Sn -2Sn -1-2n +1，

所以 Sn =2Sn -1+2n -1①，

即 Sn +1=2Sn +2n +1②，

由②-①得 an+1=2an +2，

設(shè)an +1+t =2（an +t），即 an+1=2an +t ，得 t =2， an+1+2

又 a1+2=3，a2+2=6，則 a1+2=2，

所以an +2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即 an +2=3?2n -1，故 an =3?2n -1-2，n ∈ N*.

解答本題，要首先利用 Sn 和 an 之間的關(guān)系消去 Sn ，得到an 與an +1的關(guān)系式，然后運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造出一個(gè)等比數(shù)列，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.當(dāng)遇到形如 an +1=pan +q 的遞推式，可以將遞推式設(shè)為 an +1+t =p（an +t），將其變形整理后，與原遞推式比較，得出 t，便可構(gòu)造出新等比數(shù)列an -t.

例5.已知{an +1-2an}是以2為公比的等比數(shù)列，且a1=1，a2=4，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)?a1=1，a2=4，所以 a2-2a1=2，所以{an +1-2an}是以公比為2，

首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，

于是 an+1-2an =2n? ，

在上式的兩邊同除以2n +1 ，得 - = ， 則數(shù)列是以為公差，

=為首項(xiàng)的等差數(shù)列，

可得 = +（n -1）= ，故 an =n ?2n -1.

對(duì)于形如 an +1=Aan +p 的遞推式n，可在遞推式的左右同時(shí)除以pn，得到 pn+1- pn =A，這樣便可構(gòu)造an

例6.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1= （n ∈ N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.

解：因?yàn)?an+1= ，a1=1，

所以 an ≠0，所以 = + ，即 - = .

所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. 所以 = +（n -1）× = + ，所以 an = .

由形如 an+1=（A，B，C 為常數(shù)）的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需將遞推式變形為①若 A = C，則是等差數(shù)列，且公差為，②若 A≠ C，則采用待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求解.

這里主要介紹了四種求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法.求數(shù)列的通項(xiàng)公式還有許多方法，有些方法雖然叫法不同，但實(shí)質(zhì)是一樣的.我們?cè)谶@里就不贅述了.總之，在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意對(duì)遞推式進(jìn)行化簡(jiǎn)變形，變陌生為熟悉，變復(fù)雜為簡(jiǎn)單，這樣才能化難為易，順利破解難題.我們只要善于總結(jié)、及時(shí)歸納，就能拓寬解題的思路，使學(xué)習(xí)更加高效.

（作者單位：甘肅省蘭州市蘭州新區(qū)高級(jí)中學(xué)）