求解多元變量最值問題的三種思路

邱信林

多元變量最值問題具有較強(qiáng)的綜合性，涵蓋的知識點(diǎn)較多，因而可從多個(gè)不同的角度來尋找解題的思路.常用的解題思路有換元、利用基本不等式、構(gòu)造幾何圖形、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法等.本文重點(diǎn)探討三種求解多元變量最值問題的思路.

一、換元

由于多元變量問題中有多個(gè)元，不方便處理，所以在解題時(shí)，可根據(jù)已知關(guān)系式或函數(shù)式的特征，選擇合適的式子用新元替換，這樣便將多元變量問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的函數(shù)或者不等式問題，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)、不等式的性質(zhì)求得最值.

例1.已知函數(shù) f（x）=x2+2x -1，若 a <b <-1，且 f（a）=f（b），求 ab +a +b 的最值.

因?yàn)?f（a）=f（b），

由圖可知，a<- -1<b <-1，

且（a +1）2+（b +1）2=4.

則 ab +a +b =a +1（b +1）-1=2 sin 2θ-1.又-< sin θ<0，即θ∈（π，），

則2 sin 2θ-1∈（-1，1），

所以ab +a +b 的最大值為1，最小值為-1.

解答本題，主要運(yùn)用了三角換元法，將 a、b 用sinθ、cos θ替換，從而將雙變量最值問題轉(zhuǎn)化三角函數(shù)最值問題，再運(yùn)用正弦函數(shù)的有界性求得最值.

二、運(yùn)用基本不等式

基本不等式是解答雙變量最值問題的重要工具.在解答多變量最值問題時(shí)，可靈活運(yùn)用基本不等式：a +b ≥2 及其變形式： ≤ ≤ 、a1+a2+…+an ≥nn，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，利用一些配湊技巧，如添減項(xiàng)、湊系數(shù)、配方等，構(gòu)造多個(gè)式子的和或者積，并使其中之一為常數(shù)或者定值，即可運(yùn)用基本不等式來求得最值.

例2.已知 a 為1+2b 與1-2b 的等比中項(xiàng)，求a +2b 的最大值.

解：由題意可知： a2+4b2=1，令 x =a ，y =2b ，且x，y均大于0，可得 x2+y2=1，

所以a +2b = x +y ≤2 =2≤ 4≤ = ，當(dāng)且僅當(dāng) x =y = 時(shí)等號成立.

對比 a2+4b2=1和a +2b 可以發(fā)現(xiàn)，a2的系數(shù)為1，b2的系數(shù)為4，b 的系數(shù)為2，因此對雙變量作換元處理，兩次運(yùn)用基本不等式求得最值.在多次運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)幾次運(yùn)用基本不等式時(shí)等號成立的條件是否一致，確保取等號時(shí)不等式成立.

三、采用構(gòu)造法

構(gòu)造法是指根據(jù)已知的條件和目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征以及它們之間的聯(lián)系，構(gòu)造出滿足題意的新模型，并通過研究新模型解答問題.運(yùn)用構(gòu)造法解答雙變量最值問題，需根據(jù)題意或代數(shù)式的幾何意義，構(gòu)造出方程、函數(shù)、不等式、幾何圖形等，從新的角度來尋求解題的方案.

例3.已知a， b ∈ R，a ≠0，曲線y = 與y =ax+4b +1在區(qū)間[3，4]上至少有一個(gè)公共點(diǎn)，求 a2+4b2的最小值.

分析：該問題可以轉(zhuǎn)化為方程 =ax +4b+1在[3，4]上有解，而方程（x2-1）a +2x ?（2b）+x -2=0可以視為點(diǎn)（a， 2b）的軌跡，a2+4b2表示原點(diǎn)到直線的距離的平方，求得該距離的最小值即可.

解：曲線 y = 與 y =ax +4b +1有公共點(diǎn)，則方程 =ax +4b +1在[3，4]上有解，

將方程化簡可得（x2-1）a +2x ?（2b）+x -2=0，該方程可以視為點(diǎn)（a， 2b）的軌跡，

則a2+4b2表示原點(diǎn)到直線的距離平方 d2，

由 d = 得a2+4b2=d2=（）2， x ∈[3，4].令 t =x -2，t ∈[1，2]，所以 =（t + +4）2.

設(shè)ft=t + +4，t ∈[1，2].由 f ′t=1- <0，得ft在[1，2]上單調(diào)遞減，所以fmaxt=f1=10，則當(dāng) t =1時(shí)，a2+4b2的最小值為 .

總之，第一、二種思路較為簡單，且用得較多;第三種思路較為靈活.在求解多元變量最值問題時(shí)，需先分析目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，將其與已知條件關(guān)聯(lián)起來，合理換元、配湊、構(gòu)造，再靈活運(yùn)用換元法、基本不等式、構(gòu)造法即可.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)）