基于嚙合位置相關(guān)性的雙螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線(xiàn)設(shè)計(jì)

王健帆，谷麗瑤，冉小平

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610036)

1 引言

雙螺桿壓縮機(jī)憑借著工作效率和供風(fēng)質(zhì)量高等優(yōu)點(diǎn)，躋身于壓縮機(jī)市場(chǎng)中的主導(dǎo)地位[1]，被廣泛應(yīng)用于制動(dòng)、制冷等工業(yè)范疇。轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的設(shè)計(jì)是壓縮機(jī)性能改良的關(guān)鍵，已經(jīng)歷了三次革新[2]。其中，聯(lián)邦德國(guó)GHH公司開(kāi)發(fā)的GHH新型不對(duì)稱(chēng)型線(xiàn)呈流線(xiàn)型，使螺桿壓縮機(jī)的壓縮效率和絕熱效率有了顯著提高[3]。新的不對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)子型線(xiàn)具有密封性好、型線(xiàn)類(lèi)型復(fù)雜和設(shè)計(jì)難度大等特點(diǎn)，盡管很多學(xué)者效仿GHH型線(xiàn)特點(diǎn)設(shè)計(jì)新型線(xiàn)，但至今都尚未有學(xué)者對(duì)此型線(xiàn)的設(shè)計(jì)機(jī)理進(jìn)行公開(kāi)詳細(xì)地解析。

為提高螺桿壓縮機(jī)的性能，學(xué)者們?cè)谛途€(xiàn)設(shè)計(jì)等方面進(jìn)行了深入研究，運(yùn)用最為廣泛的是解析包絡(luò)法[4]。在此基礎(chǔ)上，邢子文利用常規(guī)傳統(tǒng)的解析包絡(luò)法對(duì)典型的不對(duì)稱(chēng)型線(xiàn)以及進(jìn)行設(shè)計(jì)推導(dǎo)，演示了轉(zhuǎn)子型線(xiàn)正向設(shè)計(jì)的一般過(guò)程，為型線(xiàn)的設(shè)計(jì)推導(dǎo)提供參考[2]。徐健將齒輪設(shè)計(jì)方法中的齒形法線(xiàn)法運(yùn)用到螺桿轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的推導(dǎo)中去。并利用此法對(duì)復(fù)盛型線(xiàn)進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，檢驗(yàn)了齒形法線(xiàn)法[5]在螺桿型線(xiàn)推導(dǎo)中的方便有效性[6]。鑒于新的不對(duì)稱(chēng)型線(xiàn)組成齒曲線(xiàn)及方程推導(dǎo)的復(fù)雜性，本文在對(duì)已有典型轉(zhuǎn)子型線(xiàn)研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子上組成齒曲線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)變換，推導(dǎo)變換前后的齒曲線(xiàn)所對(duì)應(yīng)包絡(luò)條件的顯示變化關(guān)系，并得到變化關(guān)系式。將這個(gè)變化關(guān)系式稱(chēng)為嚙合位置相關(guān)性，并基于此性質(zhì)改進(jìn)型線(xiàn)設(shè)計(jì)的一般過(guò)程。最后利用改進(jìn)的型線(xiàn)設(shè)計(jì)方法對(duì)GHH型線(xiàn)的構(gòu)型進(jìn)行準(zhǔn)確的解析與推導(dǎo)，并結(jié)合具體實(shí)例驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效快捷性。

2 嚙合位置相關(guān)性

在型線(xiàn)推導(dǎo)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化包絡(luò)條件顯示關(guān)系的推導(dǎo)難度，建立如圖1所示齒曲線(xiàn)變換，設(shè)橢圓弧A2B2為陰轉(zhuǎn)子上的某段組成齒曲線(xiàn)，其參數(shù)方程為

(1)

圖1 橢圓弧A2B2的旋轉(zhuǎn)變換

(2)

(3)

將橢圓弧A2B2帶入解析包絡(luò)法求解共軛曲線(xiàn)A1B1，其中動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2變換到動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1的變換矩陣M12及動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1變換到動(dòng)坐標(biāo)系O2x2y2的變換矩陣M21分別為

(4)

(5)

得到包絡(luò)條件的顯示關(guān)系[7]

(6)

(7)

(8)

將橢圓弧A2B2帶入齒形法線(xiàn)法求解共軛曲線(xiàn)A1B1，得到橢圓弧A2B2的曲線(xiàn)參數(shù)t與橢圓弧A2B2所在陰轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角參數(shù)φ2的關(guān)系

(9)

(10)

(11)

式(8)與式(11)滿(mǎn)足φ2/φ1=i，表明2種正向設(shè)計(jì)的方法都滿(mǎn)足嚙合位置相關(guān)性的推導(dǎo)，也驗(yàn)證了嚙合位置相關(guān)性的正確性。

圖2 改進(jìn)后的型線(xiàn)設(shè)計(jì)流程圖

3 GHH型線(xiàn)曲線(xiàn)方程

3.1 GHH型線(xiàn)構(gòu)成

利用改進(jìn)后的型線(xiàn)設(shè)計(jì)流程對(duì)GHH型線(xiàn)進(jìn)行推導(dǎo)，典型GHH型線(xiàn)一對(duì)齒結(jié)構(gòu)如圖3所示，其型線(xiàn)各段組成如表1所示。

表1 GHH型線(xiàn)的組成曲線(xiàn)

根據(jù)GHH型線(xiàn)的構(gòu)成曲線(xiàn)段，圖3中的虛線(xiàn)為陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的節(jié)圓(rj)，最外圍細(xì)實(shí)線(xiàn)為陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt)，β1、β2、α1、α2分別表示陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒前側(cè)、齒后側(cè)所夾的圓心角，并滿(mǎn)足

(12)

圖3 GHH型線(xiàn)構(gòu)成示意圖

3.2 AB和BC的曲線(xiàn)方程

對(duì)GHH陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，如圖4所示。圓心M為O1O2連線(xiàn)與陰轉(zhuǎn)子節(jié)圓線(xiàn)的交點(diǎn)，線(xiàn)段LMN垂直于A2O2于N，以M為圓心MC2為半徑的圓(OM)交MN于B2，以N為圓心a(A2N)為長(zhǎng)軸、b(B2N)為短軸的橢圓(ON)與圓(OM)相切與B2，且圓(OM)與陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt1)相切于C2點(diǎn)，橢圓(ON)與陰轉(zhuǎn)子齒頂圓(rt2)相切與A2點(diǎn)。

經(jīng)此幾何作圖后，得到A2B2型線(xiàn)所在橢圓方程與B2C2型線(xiàn)所在圓方程的相關(guān)參數(shù)為

(13)

故A2B2橢圓弧的參數(shù)方程為

(14)

以及B2C2圓弧的參數(shù)方程為

(15)

采用齒形法線(xiàn)法求解A1B1橢圓弧包絡(luò)線(xiàn)時(shí)，由于A2B2曲線(xiàn)段為傾斜的橢圓弧，考慮對(duì)其進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，結(jié)合圖1所示，旋轉(zhuǎn)矩陣的角度θ=β1。利用嚙合位置相關(guān)性并聯(lián)立式(2)、(7)和(8)求得

(16)

圖4 GHH陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)結(jié)構(gòu)分析

將A2B2段型線(xiàn)矩陣方程左乘式(4)并聯(lián)立式(16)，求得橢圓弧A2B2對(duì)應(yīng)的橢圓弧包絡(luò)線(xiàn)A1B1的方程為

(17)

圓弧B2C2為銷(xiāo)齒圓弧型線(xiàn)，其共軛曲線(xiàn)仍為圓弧并沿著整個(gè)圓弧段同時(shí)嚙合。陽(yáng)轉(zhuǎn)子上的曲線(xiàn)B1C1為陰轉(zhuǎn)子上銷(xiāo)齒圓弧B2C2的共軛曲線(xiàn)。故B1C1圓弧包絡(luò)線(xiàn)的參數(shù)方程為

(18)

3.3 CD和DE的曲線(xiàn)方程

陽(yáng)轉(zhuǎn)子上的C1點(diǎn)是坐標(biāo)系O1x1y1上的固定點(diǎn)，其在O1x1y1上的坐標(biāo)為(-|rt1|，0)，陰轉(zhuǎn)子上的擺線(xiàn)C2D2是陽(yáng)轉(zhuǎn)子上C1點(diǎn)相嚙合的共軛曲線(xiàn)。由于無(wú)法滿(mǎn)足齒形法線(xiàn)法求解的條件，故點(diǎn)擺線(xiàn)的求解只能運(yùn)用解析包絡(luò)法。將C1點(diǎn)矩陣方程左乘式(2)，可得C2D2擺線(xiàn)參數(shù)方程為

(19)

圓弧D2E2的圓心P在上齒邊界線(xiàn)O2E2上，D2和E2分別為圓OP、擺線(xiàn)C2D2與陰轉(zhuǎn)子的齒頂圓的G1連續(xù)點(diǎn)，且在連續(xù)點(diǎn)上一階導(dǎo)數(shù)值相等，于是建立方程組

(20)

(21)

解上述非線(xiàn)性方程組，可直接求得擺線(xiàn)C2D2方程與圓弧D2E2所在圓方程的相關(guān)參數(shù)

將求得的D2(xD2,yD2)點(diǎn)矩陣方程左乘式(5)可求得其對(duì)應(yīng)的共軛曲線(xiàn)C1D1的參數(shù)方程為

(23)

由式(22)可得D2E2圓弧的參數(shù)方程為

(24)

將圓弧D2E2進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)矩陣的角度θ=-β2。參考A1B1段橢圓弧包絡(luò)線(xiàn)求法，求得D1E1圓弧包絡(luò)線(xiàn)的方程為

(25)

3.4 GHH型線(xiàn)具體算例

取陽(yáng)轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z1=5，陰轉(zhuǎn)子齒數(shù)Z2=7，中心距A=206 mm，陽(yáng)、陰轉(zhuǎn)子齒頂圓半徑rt1=131 mm、rt2=124 mm，可計(jì)算出以下參數(shù)見(jiàn)表2：

其中陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)設(shè)計(jì)的唯一邏輯為：先確定擺線(xiàn)C2D2以獲得D2點(diǎn)，再確定圓弧D2E2方程以獲得齒后角β2，進(jìn)而得到齒前角β1，以及橢圓弧A2B2、圓弧B2C2的幾何參數(shù)，最終得到整個(gè)陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的構(gòu)型。利用UG軟件曲線(xiàn)分析中的連續(xù)性和曲率梳對(duì)本文設(shè)計(jì)的陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)進(jìn)行連續(xù)性分析如圖5所示，可得到陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的連續(xù)性為G1連續(xù)，滿(mǎn)足螺桿轉(zhuǎn)子型線(xiàn)設(shè)計(jì)的要求，表明陰轉(zhuǎn)子設(shè)計(jì)的正確性。

表2 GHH型線(xiàn)算例相關(guān)參數(shù)

結(jié)合陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的構(gòu)成及型線(xiàn)結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果，建立陰、陽(yáng)轉(zhuǎn)子嚙合時(shí)的三維模型如圖6(a)所示，并獲得其空間嚙合線(xiàn)如圖6(b)所示。陽(yáng)轉(zhuǎn)子對(duì)陰轉(zhuǎn)子的包絡(luò)過(guò)程如圖7所示，顯示嚙合過(guò)程無(wú)干涉現(xiàn)象，表明陽(yáng)轉(zhuǎn)子型線(xiàn)推導(dǎo)的正確性[8]。

圖5 陰轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的連續(xù)性

圖6 陰陽(yáng)轉(zhuǎn)子的三維特征

4 結(jié)論

(1)利用齒曲線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)變換，得到變換前后曲線(xiàn)參數(shù)和與其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角參數(shù)的變化關(guān)系，即嚙合位置相關(guān)性，并利用解析包絡(luò)法和齒形法線(xiàn)法驗(yàn)證了嚙合位置相關(guān)性的正確性。

(2)利用嚙合位置相關(guān)性對(duì)雙螺桿壓縮機(jī)轉(zhuǎn)子型線(xiàn)設(shè)計(jì)過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)，減小了新型不對(duì)稱(chēng)型線(xiàn)中復(fù)雜組成齒曲線(xiàn)推導(dǎo)的困難，縮短了型線(xiàn)設(shè)計(jì)的時(shí)間成本。

(3)利用改進(jìn)的型線(xiàn)設(shè)計(jì)過(guò)程以及方法推導(dǎo)出了GHH型線(xiàn)，精確揭示了GHH型線(xiàn)的構(gòu)造特點(diǎn)，為現(xiàn)代轉(zhuǎn)子型線(xiàn)的設(shè)計(jì)提供參考。