初等函數(shù)中的“創(chuàng)新問題”的思維方法

■江蘇省泰興市第二高級中學 張志峰

“新定義”型問題,主要是指在問題中定義了中學數(shù)學中沒有學過的一些新概念、新運算、新符號,要求同學們讀懂題意,收集反饋處理信息,根據(jù)新的定義進行運算、推理、遷移的一種題型。這類題目具有啟發(fā)性、思考性、挑戰(zhàn)性和隱蔽性等特點,是考查同學們的核心素養(yǎng)、挖掘同學們的潛力的較佳題型,因而備受命題者的青睞。本文對初等函數(shù)中的“創(chuàng)新問題”的思維方法進行歸納提煉,希望對同學們的復(fù)習備考能有所幫助。

歸納1:函數(shù)值求解的“創(chuàng)新”——尋求函數(shù)對稱中心整體代換求解

例1已知函數(shù)f(x)=滿足條件=1,其中a＞1,則=()。

A.1 B.2 C.3 D.4

歸納2:自變量與函數(shù)值求和中的“創(chuàng)新”——尋求兩函數(shù)的同一對稱中心整體代換求解

例2已知f(x)=,函數(shù)g(x)對任意x∈R 有g(shù)(2018-2x)=3-g(2x-2013)成立,y=f(x)與y=g(x)的圖像有m個交點,為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則=()。

A.2013mB.2015m

C.2017mD.4m

解析:由g(2018-2x)=3-g(2x-2013),令t=2x-2013,則2018-2x=5-t,g(5-t)=3-g(t),可得y=g(x)的對稱中心為,而f(x)=的對稱中心為,所以y=f(x)與y=g(x)的圖像有m個交點(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)關(guān)于對稱,所以x1+xm=x2+xm-2=x3+xm-3=…=5,y1+ym=y2+ym-2=y3+ym-3=…=3。設(shè)x1+x2+…+xm-1+xm=M,則xm+xm-1+…+x2+x1=M,兩式相加可得(x1+xm)+(x2+xm-2)+…+(xm-1+x2)+(xm+x1)=2M=5m,所以M=。同理可得y1+y2+…+ym-1+ym=。=x1+x2+…+xm+y1+y2+…+ym==4m。故選D。

提煉:利用換元法探究函數(shù)的對稱中心是本題的一個創(chuàng)新,求兩函數(shù)交點的自變量與函數(shù)值的和,探究兩函數(shù)的同一對稱中心,利用函數(shù)的對稱中心整體簡化求解是本題的另一個創(chuàng)新。

歸納3:超越方程根的“創(chuàng)新”——借助指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的對稱性尋求切入

例3已知方程2018x=a-x和方程log2018x=a-x(a＞1)的根分別為x1,x2,則的取值范圍為()。

提煉:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與同一個一次函數(shù)構(gòu)成的方程的根,利用互為反函數(shù)其圖像關(guān)于直線y=x對稱探究兩根的關(guān)系,選主元挖掘隱含條件,構(gòu)建函數(shù)求解范圍問題。

歸納4:函數(shù)不等式探究中的“創(chuàng)新”——函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的合理轉(zhuǎn)化

例4已知函數(shù)f(x)=2x且f(x)=g(x)+h(x),其中g(shù)(x)為奇函數(shù),h(x)為偶函數(shù)。若不等式3ag(x)+h(2x)≥0對任意x∈[1,2]恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為_____。

解析:由已知得g(x)+h(x)=2x,注意g(x)為奇函數(shù),h(x)為偶函數(shù),則g(-x)+h(-x)=2-x。又因為g(x)為奇函數(shù),h(x)為偶函數(shù),所以-g(x)+h(x)=2-x。所以h(x)=,g(x)=,代入不等式3ag(x)+h(2x)≥0,得≥0在[1,2]上恒成立。

提煉:利用奇偶性構(gòu)建方程組是本題的一個創(chuàng)新,揭示了定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)都可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。函數(shù)不等式問題可以轉(zhuǎn)化為含指數(shù)變量的不等式恒成立問題,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域問題,換元法轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的單調(diào)性問題,是待定系數(shù)法、構(gòu)造法、換元法等解題方法的交匯創(chuàng)新。

歸納5:等高線下的最值“創(chuàng)新”——由函數(shù)圖像探究自變量的關(guān)系降元構(gòu)造函數(shù)求解

例5(2021年河北衡水中學一調(diào))已知存在x2＞x1≥0,使得f(x1)=f(x2),則x1f(x2)的取值范圍為_____。

解析:作出函數(shù)f(x)=的圖像,如圖1所示。

圖1

因為存在x2,x1,當x2＞x1≥0 時,f(x1)=f(x2),所以0≤x1＜1。

提煉:對于分段函數(shù)或不同函數(shù),當函數(shù)值相等時,利用對應(yīng)自變量滿足的關(guān)系式求最值,這是等高線下的最值創(chuàng)新。這類問題既要注意等高線隱含的范圍,同時還要挖掘等高線下自變量之間的關(guān)系,合理地選擇主元構(gòu)建函數(shù)在區(qū)間上的最值求解。本題關(guān)鍵在于如何求出≤x1＜1。

歸納6:復(fù)合函數(shù)不等式的“創(chuàng)新”——借助分段函數(shù)的圖像和性質(zhì)簡化求解

例6若則不等式f(2x2-|x|)≤5的解集為____。

解析:如圖2,當x＜0 時,f(x)=-x2+x+2=＜2,且函數(shù)為增函數(shù);

圖2

當x≥0時,f(x)=x2+3x+1=≥1,且函數(shù)為增函數(shù)。

(1)若2x2-|x|＜0,則不等式f(2x2-|x|)≤5恒成立,此時|x|(2|x|-1)＜0,解得0＜|x|＜。

(2)若2x2-|x|≥0,即|x|≥或|x|≤0,則不等式f(2x2-|x|)≤5恒成立。

因為f(1)=5,所以不等式f(2x2-|x|)≤5等價于f(2x2-|x|)≤f(1),則2x2-|x|≤1,即2x2-|x|-1≤0,則|x|≤1。

因為|x|≥或|x|=0,所以≤|x|≤1或|x|=0。

由(1)和(2)知|x|≤1,所以不等式f(2x2-|x|)≤5的解集為[-1,1]。

提煉:關(guān)于分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)不等式問題,屬于函數(shù)圖像和性質(zhì)應(yīng)用的創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵在于整體變量的“對號入座”,運用解析式和單調(diào)性作出分段函數(shù)的圖像,便于尋找分界點和討論函數(shù)的單調(diào)性,注意整體變量觀念可避免多解或漏解的發(fā)生。