非凸半無限多目標規(guī)劃近似解的最優(yōu)性條件

張 雯， 龍憲軍, 黃應全

(重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 400067)

0 介 紹

半無限多目標規(guī)劃問題是在約束函數(shù)個數(shù)無限的條件下研究有限多個目標函數(shù)的優(yōu)化問題。它在數(shù)學、物理、工程設計、經(jīng)濟管理以及合作博弈等領域有著廣泛的應用,目前已取得了許多研究成果[1-3]。

函數(shù)的凸性在優(yōu)化理論中扮演著重要角色,特別是在建立解的充分最優(yōu)性條件中起關鍵性作用。然而凸性條件在很多工程和經(jīng)濟問題中卻很難滿足。因此,很多學者從不同方面對凸函數(shù)進行推廣,并研究了相應非凸優(yōu)化問題。Golestani等[4]借助Clarke次微分在約束規(guī)格假設下得到了多目標規(guī)劃問題局部(弱)有效解的必要最優(yōu)性條件,并在不變凸函數(shù)的假設下,得到了多目標規(guī)劃問題有效解的充分最優(yōu)性條件；Chuong等[5]利用Mordukhovich次微分在極限約束規(guī)格和廣義凸性條件下,分別得到了半無限多目標規(guī)劃問題有效解和弱有效解的必要和充分條件。然而,在實際應用中,許多問題的精確解無法求得,利用數(shù)值算法大多只能獲得其近似解。因此,研究近似解的最優(yōu)性條件具有重要的理論價值和實際意義。Golestani等[6]將文獻[4]中的有效解推廣到近似解的情形,借助Clarke次微分在約束規(guī)格假設下得到了多目標規(guī)劃問題局部ε-擬(弱)有效解的必要最優(yōu)性條件,并在KT近似偽凸-仿射的條件下,得到了ε-擬(弱)有效解的必要條件；Jiao等[7]將文獻[5]中的有效解推廣到了近似解的情形,同樣借助Mordukhovich次微分在極限約束規(guī)格和廣義凸性條件下,獲得了半無限單目標規(guī)劃問題擬ε-有效解的必要和充分條件。值得注意的是,上述文獻涉及的函數(shù)都是Lipschitz連續(xù)的。然而，在實際中許多函數(shù)并不滿足局部Lipschitz這一較強的條件。如何在函數(shù)不滿足局部Lipschitz假設下研究非凸半無限多目標規(guī)劃問題近似解的最優(yōu)性條件將是本文討論的重點。

最近,Tung[8-9]利用切向次微分和正則條件獲得了半無限多目標規(guī)劃問題有效解的必要最優(yōu)性條件,并在Dini-偽凸和Dini-擬凸假設下獲得了(弱)有效解的充分條件；劉娟等[10]利用切向次微分研究了半無限多目標規(guī)劃問題的混合型對偶。注意到,文獻[8-10]中所涉及的函數(shù)不必是局部Lipschitz連續(xù)的。受文獻[4-10]的啟發(fā),本文利用切向次微分研究了非凸半無限多目標規(guī)劃問題近似解的最優(yōu)性條件。首先引入(η,ε)-擬(弱)有效解的定義,并借助切向次微分,給出了Dini-擬不變凸函數(shù)、(η,ε)-偽不變凸函數(shù)以及嚴格(η,ε)-偽不變凸函數(shù)的定義。然后，利用正則條件和三類新的廣義不變凸函數(shù),獲得了半無限多目標規(guī)劃問題(η,ε)-擬(弱)有效解的必要和充分最優(yōu)性條件。所得結(jié)果推廣并改進了文獻[8-9]中的主要結(jié)果。

1 預備知識

設Rn表示n維歐氏空間,用<·,·>與‖·‖分別表示Rn中的內(nèi)積和范數(shù)。設S?Rn為非空子集,用intS，clS與coS分別表示S的內(nèi)部、閉包與凸包;posS表示由S生成的凸錐；S的負極化錐和嚴格負極化錐分別定義為

S-:={x*∈Rn:≤0,?x∈S}

Ss:={x*∈Rn:<0,?x∈S}

因此,有

條件C[13]設η:Rn×Rn→Rn,稱函數(shù)η滿足條件C,如果?x,y∈S,?t∈[0,1],有

η(x,x+tη(y,x))=-tη(y,x)

引理2[1]設S和P是兩個任意的指標集(可能無限),as=a(s)=(a1(s),…,an(s))是從S到Rn的映射,ap=a(p)=(a1(p),…,an(p))是從P到Rn的映射。假設集合co{as,s∈S}+pos{ap,p∈P}是閉集,則如下表述等價:

II0∈co{as,s∈S}+pos{ap,p∈P}。

2 最優(yōu)性條件

考慮如下半無限多目標優(yōu)化問題：

(P) minf(x)=(f1(x),…,fm(x))

s.t.gt(x)≤0,t∈T,x∈Rn

其中，fi:Rn→R,i∈I:={1,2，…,m}以及gt:Rn→R,t∈T,T是任意非空指標集(不必有限)。記問題(P)的可行集為Ω,即

Ω:={x∈Rn:gt(x)≤0,t∈T}

(i) 如果對任意的x∈Ω,下面不等式不成立:

(ii) 如果對任意的x∈Ω,下面不等式不成立:

為了得到問題(P)的(η,ε)-擬弱有效解的必要最優(yōu)性條件,需要如下正則條件:

首先證明如下引理:

則有

(1)

故存在N>0,對任意的k≥N,有

下面建立問題(P)的(η,ε)-擬弱有效解的必要最優(yōu)性條件。

(2)

證明對任意的x∈Ω,由引理3，知

這可推得:

(3)

式(3)結(jié)合(RC1)，有

無解。由引理2，知

(4)

(5)

由式(5)，有

這與式(4)矛盾,因此λi>0,?i∈I。

為了獲得半無限多目標規(guī)劃問題(η,ε)-擬(弱)有效解的充分最優(yōu)性條件,定義如下3類廣義不變凸函數(shù)。

定義3 設S?Rn是凸集,f:Rn→R在x∈S處是切凸的,稱f在x處是

(i) Dini-擬不變凸函數(shù),如果

f(y)≤f(x)?≤0
?y∈S,?x*∈?Tf(x)

(ii) (η,ε)-偽不變凸函數(shù),如果

f(y)<-ε‖η(y,x)‖
?y∈S,?x*∈?Tf(x)

(iii) 嚴格(η,ε)-偽不變凸函數(shù),如果

f(y)≤f(x)?<-ε‖η(y,x)‖
?y∈S{x},?x*∈?Tf(x)

注2 當η(y,x)=y-x時,Dini-擬不變凸退化為文獻[8-9]中的Dini-擬凸的定義。

下面建立問題(P)的(η,ε)-擬(弱)有效解的充分最優(yōu)性條件。

(6)

(7)

(8)

這與式(6)矛盾,故結(jié)論成立。

(9)

(10)

這與式(6)矛盾,故結(jié)論成立。

注4 定理1和定理2分別將文獻[9]中的命題3.5和文獻[8]中的命題3.5推廣到了近似解情形。

3 結(jié) 論

利用切向次微分,研究了一類非凸半無限多目標規(guī)劃問題。在正則條件下,獲得了非凸半無限多目標規(guī)劃問題(η,ε)-擬弱有效解的必要最優(yōu)性條件。在廣義不變凸性假設下,獲得了非凸半無限多目標規(guī)劃問題(η,ε)-擬(弱)有效解的充分最優(yōu)性條件。所得結(jié)果改進了文獻[8-9]中相應結(jié)果。