人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)特性研究進(jìn)展

姚會(huì)君 楊艷艷 曹鎮(zhèn)杭 馮振威

摘 要：人字齒行星齒輪傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)形式優(yōu)劣和承受復(fù)雜的內(nèi)、外部激勵(lì)因素直接影響到傳動(dòng)系統(tǒng)的性能，研究齒輪系統(tǒng)在傳遞動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)中的振動(dòng)、沖擊及噪聲基本規(guī)律很重要。本文從動(dòng)力學(xué)模型建立方法、求解方法、固有振動(dòng)特性、動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性、減振降噪與實(shí)驗(yàn)研究等方面對(duì)國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究進(jìn)行了綜述，并對(duì)未來(lái)研究方向進(jìn)行了展望。

關(guān)鍵詞：人字齒行星傳動(dòng) 動(dòng)力學(xué)模型 振動(dòng)特性 減振降噪

Abstract：The structural form of herringbone planetary gear transmission and the endurance of complex internal or external incentive factors directly affect the performance of the transmission system. It is necessary to study the basic laws of gear system's vibration， impact and noise in transmitting power and motion. In the article five aspects are reviewed， including the establishment and solution methods of dynamic models， natural vibration characteristics， dynamic response characteristics， vibration and noise reduction and experimental research. The future research directions are also prospected.

Key words：herringbone planetary gear transmission， dynamic model， vibration characteristics， vibration and noise reduction

行星齒輪傳動(dòng)通常包括三種傳動(dòng)形式：直齒、斜齒、人字齒。人字齒行星傳動(dòng)因具有工作可靠、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載能力大、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)效率高、重合度高以及軸向力較小等優(yōu)點(diǎn)[1]，被廣泛應(yīng)用于兵器裝備、船舶重工、航空、汽車(chē)等傳動(dòng)領(lǐng)域。由于人字齒行星齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)形式和工作環(huán)境較為復(fù)雜，在實(shí)際工程應(yīng)用中，齒輪相互嚙合產(chǎn)生的高頻動(dòng)態(tài)力必然會(huì)引起振動(dòng)、沖擊、噪聲、載荷突變等現(xiàn)象，嚴(yán)重降低了人字齒行星齒輪傳動(dòng)的工作性能、使用壽命和可靠性。本文主要從動(dòng)力學(xué)模型建立方法、求解方法、固有特性、動(dòng)態(tài)特性、減振降噪與實(shí)驗(yàn)研究等方面對(duì)人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述，并在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上對(duì)未來(lái)可能的研究方向進(jìn)行了展望。

1 動(dòng)力學(xué)建模

動(dòng)力學(xué)模型的建立是研究人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及動(dòng)態(tài)特性分析的基礎(chǔ)。根據(jù)人字齒行星齒輪動(dòng)力學(xué)建模時(shí)考慮因素和采用方法的不同，一般采用以下兩種方法。

1.1 集中質(zhì)量建模法

集中質(zhì)量法因具有可快速組合、建模過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單、輸入量較少及易求解等優(yōu)點(diǎn)而得到較廣泛的應(yīng)用[2]。根據(jù)建模時(shí)采用的自由度形式不同，可將集中質(zhì)量法模型分為三種：純扭模型、彎-扭耦合模型和平移-扭轉(zhuǎn)模型。

純扭模型是指只考慮各個(gè)構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示。由于該模型考慮的自由度數(shù)較少，偏離實(shí)際工作情況較遠(yuǎn)，因此很少使用。平移-扭轉(zhuǎn)模型同時(shí)考慮了各個(gè)構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)和平移自由度，如圖2所示。該模型的動(dòng)力學(xué)仿真較為準(zhǔn)確，且模型相對(duì)較簡(jiǎn)單，與實(shí)際情況也較為接近，因此使用較多。如卜忠紅等[3]建模時(shí)考慮了太陽(yáng)輪、行星輪和內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)位移及其在豎直和水平方向上的橫向位移。張霖霖等[4]建模時(shí)考慮的因素更多，包括各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)位移及其橫向、軸向和縱向位移、偏心誤差、安裝誤差、支撐剛度和輪齒間時(shí)變嚙合剛度。趙永強(qiáng)等[5]，劉振州等[6]在該模型中引入了耦合因子，研究了人字齒行星輪系的模態(tài)躍遷現(xiàn)象。沈稼耕[7]建模時(shí)主要考慮了誤差、陀螺效應(yīng)、阻尼及時(shí)變嚙合剛度等影響因素，研究了嚙合相位對(duì)人字齒行星輪系振動(dòng)特性的影響。曹鑫[8]在建模時(shí)考慮了齒廓修形和齒向修形，分析對(duì)比了齒輪修形前后對(duì)人字齒行星輪系振動(dòng)噪聲的影響。

相對(duì)上述兩種模型，彎-扭耦合模型考慮了各個(gè)齒輪的振動(dòng)自由度，影響因素更多，模型耦合振動(dòng)更為復(fù)雜，非線性動(dòng)力學(xué)方程的求解和分析也更加困難，但能夠全面地反映系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，在理論研究方面應(yīng)用較多。蔣立冬等[9]采用彎-扭耦合模型分析了系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性和三種振動(dòng)模式：行星輪系振動(dòng)模式、星形輪系振動(dòng)模式和耦合振動(dòng)模式。任菲等[10]建立的彎-扭-軸耦合模型中考慮了各構(gòu)件的齒廓誤差、各構(gòu)件制造偏心誤差、陀螺效應(yīng)、軸承支承剛度及時(shí)變嚙合剛度等因素。王浩飛[11]采用的彎-扭-軸耦合模型中考慮了時(shí)變嚙合剛度、齒面摩擦、誤差和齒側(cè)間隙。邱紅友[12]考慮了兩個(gè)斜齒輪耦合而成的嚙合剛度激勵(lì)、外載荷和綜合嚙合誤差激勵(lì)，建立了彎-扭-軸耦合模型，如圖3所示。Sondkar P[13]考慮了人字齒行星輪系各個(gè)構(gòu)件的6個(gè)自由度，建立了彎-扭-軸-擺耦合動(dòng)力學(xué)模型，如圖4所示。

1.2 有限元建模法

有限元建模處理過(guò)程很繁瑣，網(wǎng)格劃分是否合理對(duì)求解精度與計(jì)算效率有很大影響，同時(shí)計(jì)算時(shí)間也較長(zhǎng)，對(duì)計(jì)算機(jī)軟硬件的要求較高，在技術(shù)操作上難度較大。但Parker R G等[14]認(rèn)為集中質(zhì)量模型與實(shí)際情況相差較大，因而采用建模精度相對(duì)較高的有限元模型。目前，ANSYS軟件在人字齒輪行星輪系有限元建模中應(yīng)用最多[15-17]。此外，馮志剛等[18]在NX MasterFEM中建立人字齒輪副的有限元-接觸模型，采用六面體單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，分析了系統(tǒng)的靜態(tài)接觸情況和自由振動(dòng)特性。

2 模型求解方法

根據(jù)解的形式不同，人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)方程組的求解方法可分為兩類(lèi)：解析法和數(shù)值法。

2.1 解析法

解析法可以求得微分方程的解析解，在多自由度的弱非線性動(dòng)力學(xué)方程中應(yīng)用較多。目前，人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)分析中使用的解析法包括傅里葉級(jí)數(shù)法[7，8，19]、多尺度法[2]、歐拉型積分法[6]等。其中，傅里葉級(jí)數(shù)法和多尺度法最常用。傅里葉級(jí)數(shù)法由于運(yùn)算量小、可同時(shí)求解時(shí)域解和頻域解，且求解速度快等特點(diǎn)，在平移-扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)模型[7，8]求解中得到廣泛應(yīng)用;多尺度法由于能求解耗散系統(tǒng)的衰減振動(dòng)、周期運(yùn)動(dòng)，以及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)等，常用于扭轉(zhuǎn)模型[2]和彎-扭耦合動(dòng)力學(xué)模型[20]。此外，求解系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)模型[7]也可用歐拉型積分法。

2.2 數(shù)值法

數(shù)值積分法由于不限制方程組的自由度數(shù)、階數(shù)，且求解精度較高，在多自由度的強(qiáng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程求解中得到了很廣泛的應(yīng)用。其中，龍格庫(kù)塔法是一種單步數(shù)值積分法，因具有計(jì)算精度高且可調(diào)、計(jì)算過(guò)程較簡(jiǎn)單、容易給定計(jì)算步長(zhǎng)和初始值等優(yōu)點(diǎn)，在系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型求解中應(yīng)用的最成熟，文獻(xiàn)[11-12，15-17]等使用該方法求解了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

3 固有特性

3.1 自由振動(dòng)特性

系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性主要包括兩個(gè)方面：固有頻率和振型。在設(shè)計(jì)階段研究人字齒行星輪系的固有特性，有助于預(yù)測(cè)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，使激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的固有頻率，避免產(chǎn)生共振，為進(jìn)一步研究人字齒行星輪系的動(dòng)力學(xué)特性奠定基礎(chǔ)。

劉振州等[6]采用集中參數(shù)法建立的平移-扭轉(zhuǎn)模型，分析得出系統(tǒng)的3種振動(dòng)模式：中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、中心構(gòu)件平移振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式。胡瑞帆[17]利用有限元模型研究了二級(jí)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的前8階固有頻率和振型圖。Khoozani等[21]采用考慮陀螺效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的固有特性。分析表明，陀螺效應(yīng)在典型速度范圍內(nèi)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響不大。Li等[22]研究了兩級(jí)人字齒行星輪系的振動(dòng)模式，可分為3種：耦合振動(dòng)模式、差動(dòng)行星輪系振動(dòng)模式和星形輪系振動(dòng)模式。Bu等[23]采用有限元法和線性規(guī)劃法分析了系統(tǒng)的固有特性，得出5種振動(dòng)模式：扭轉(zhuǎn)-軸向振動(dòng)模式，橫向振動(dòng)模式，行星輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式，內(nèi)齒圈扭轉(zhuǎn)-軸向振動(dòng)模式和內(nèi)齒圈橫向振動(dòng)模式。

3.2 參數(shù)靈敏度分析

參數(shù)靈敏度分析是人字齒行星輪系固有特性分析的重要部分，可以預(yù)先了解參數(shù)變化對(duì)運(yùn)行過(guò)程中傳動(dòng)特性變化的影響，在設(shè)計(jì)階段幫助設(shè)計(jì)人員更好地確定各個(gè)參數(shù)值。

卜忠紅等[3]研究了考慮陀螺效應(yīng)后轉(zhuǎn)速對(duì)封閉式人字齒行星輪系固有頻率的影響，即差動(dòng)級(jí)橫向振動(dòng)模式的二重固有頻率在行星架轉(zhuǎn)速影響下會(huì)呈現(xiàn)出分岔現(xiàn)象，且轉(zhuǎn)速越大分離越遠(yuǎn)。王浩飛[11]研究了齒面摩擦對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)位移特性的影響，垂直于嚙合線方向的振動(dòng)在齒面摩擦作用下有所增加，而在嚙合線方向有所減小，且其使系統(tǒng)進(jìn)入混沌的頻率降低，但也使系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)得到了抑制;同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩端斜齒輪副錯(cuò)位對(duì)系統(tǒng)的軸向振動(dòng)影響也很明顯。蔣進(jìn)科等[24]對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究表明，嚙合沖擊激勵(lì)和剛度激勵(lì)對(duì)嚙合線方向的振動(dòng)影響顯著，對(duì)軸向振動(dòng)影響較小，而軸向位移激勵(lì)對(duì)嚙合線方向和橫向的振動(dòng)可以忽略，對(duì)軸向振動(dòng)影響顯著。胡瑞帆等[17]用有限元模型研究了軸承支撐剛度、阻尼對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，系統(tǒng)各階固有頻率隨著軸承支撐剛度的增大而增大，但受阻尼的影響不大，可忽略。

3.3 模態(tài)躍遷現(xiàn)象

模態(tài)躍遷現(xiàn)象是指在系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，兩條或多條固有頻率曲線距離非常接近后又以較大曲率快速分離，同時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)模式也隨著發(fā)生顯著變化。

趙永強(qiáng)等[5]采用平移-扭轉(zhuǎn)模型分析了兩級(jí)人字齒行星系統(tǒng)的模態(tài)躍遷現(xiàn)象和不同振動(dòng)模式下固有頻率的模態(tài)躍遷準(zhǔn)則，并通過(guò)實(shí)例對(duì)準(zhǔn)則的正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。劉振州等[6]采用平移-扭轉(zhuǎn)模型分析了系統(tǒng)的固有特性，從振動(dòng)模式和模態(tài)能量角度分析了模態(tài)相交現(xiàn)象和模態(tài)躍遷現(xiàn)象對(duì)傳動(dòng)特性的影響，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。任菲[10]采用彎-扭-軸耦合模型分析了系統(tǒng)的自由振動(dòng)特性和模態(tài)躍遷現(xiàn)象。在模態(tài)躍遷點(diǎn)，參數(shù)變化會(huì)引起系統(tǒng)固有頻率、振動(dòng)模式、模態(tài)和能量的突然變化，從而影響了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性及降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中，應(yīng)使系統(tǒng)的參數(shù)盡可能地遠(yuǎn)離模態(tài)躍遷點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。

4 動(dòng)態(tài)特性

4.1 均載特性分析

人字齒行星輪系在實(shí)際傳動(dòng)中，由于制造誤差、安裝誤差、柔性支撐和構(gòu)件彈性變形等參數(shù)的影響，使得均勻分布的各行星輪因受載不均而產(chǎn)生振動(dòng)、沖擊和噪聲，影響系統(tǒng)的使用壽命。因此，各行星輪間的均載特性是人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)需要解決的重要問(wèn)題。

張霖霖等[4]采用平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型，研究了嚙合相位對(duì)系統(tǒng)均載的影響，并用試驗(yàn)驗(yàn)證理論分析的正確性。Ren等[25]分析了制造誤差及構(gòu)件浮動(dòng)對(duì)系統(tǒng)均載特性的影響。分析表明，制造誤差及構(gòu)件浮動(dòng)對(duì)人字齒行星輪系均載特性影響顯著，且構(gòu)件浮動(dòng)可以明顯改善系統(tǒng)的均載特性。王成等[26]基于人字齒輪承載接觸分析、輪齒接觸分析，得到人字齒輪均載特性的理論計(jì)算方法，并通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量對(duì)比驗(yàn)證了該方法的正確性。

4.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)

嚙合相位、誤差、轉(zhuǎn)速等因素對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響顯著，對(duì)其進(jìn)行研究可以減小系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差，降低系統(tǒng)的振動(dòng)、沖擊和噪聲。在2001年，Ajmi等[27]基于歐拉梁?jiǎn)卧⒌?4自由度動(dòng)力學(xué)模型，分析了人字齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Dong等[28]提出了能夠更準(zhǔn)確描述人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的Timoshenko梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)恿W(xué)建模理論，并搭建了封閉功率流式振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)來(lái)驗(yàn)證該模型理論的正確性。Guo等[29]基于系統(tǒng)的廣義動(dòng)力學(xué)模型，研究得出隨著行星輪偏心誤差的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出單周期、倍周期、準(zhǔn)周期和混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。Kang[30]采用理論和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)人字齒輪副動(dòng)態(tài)響應(yīng)的研究表明，安裝相角對(duì)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)和橫向振動(dòng)影響顯著，指出系統(tǒng)建模時(shí)應(yīng)考慮軸和軸承支撐柔性因素的影響。

齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，相互嚙合面之間會(huì)產(chǎn)生大小和方向均發(fā)生周期性變化的摩擦力，形成的非諧波型激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有重要影響。Liu等[31]采用含有摩擦和齒形誤差激勵(lì)的動(dòng)力學(xué)模型，分析了摩擦和誤差激勵(lì)對(duì)人字齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。分析表明，摩擦對(duì)人字齒輪變速過(guò)程的動(dòng)態(tài)特性影響顯著，當(dāng)忽略齒形誤差激勵(lì)時(shí)，影響尤為顯著;相對(duì)恒定摩擦因數(shù)，變摩擦因素提高了摩擦的波動(dòng)，降低了摩擦阻尼效應(yīng)。

5 減振降噪與實(shí)驗(yàn)研究

為了使人字齒行星傳動(dòng)在工作轉(zhuǎn)速下的嚙合頻率（或嚙合頻率整數(shù)倍）遠(yuǎn)離系統(tǒng)的固有頻率，避免系統(tǒng)產(chǎn)生共振，提高系統(tǒng)的壽命、工作性能和可靠性。目前，很多學(xué)者對(duì)輪齒修形減振降噪的有效性進(jìn)行了算例和試驗(yàn)驗(yàn)證。

Wang等[32]采用三段拋物線的齒條齒廓，在高速齒輪實(shí)驗(yàn)臺(tái)上通過(guò)傳動(dòng)誤差測(cè)量系統(tǒng)對(duì)一對(duì)齒輪的傳動(dòng)誤差進(jìn)行測(cè)量，得出齒廓修形能顯著降低系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，驗(yàn)證了該優(yōu)化方法的有效性。Wang等[33]提出了基于傳動(dòng)誤差的六階多項(xiàng)式函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并通過(guò)實(shí)例對(duì)采用該方法優(yōu)化后的人字齒輪進(jìn)行減振降噪分析，驗(yàn)證了該方法的有效性。Chapron等[34]采用遺傳算法優(yōu)化后的齒輪，分析了修形齒輪對(duì)轉(zhuǎn)速和負(fù)載的靈敏度。分析表明，短修形齒輪對(duì)降低動(dòng)態(tài)載荷最有效。賈超等[35]以齒面閃溫最小、齒面載荷均勻分布和承載傳動(dòng)誤差幅值最小為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行研究，得出，修行后，承載傳動(dòng)誤差幅值顯著下降，有效改善了齒面載荷分布，驗(yàn)證了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的可靠性。

除了輪齒修形外，齒輪箱體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也能有效的對(duì)人字齒行星輪系進(jìn)行減振降噪。Zhang等[36]利用有限元法分析得出優(yōu)化后人字齒輪減速器的振動(dòng)和噪聲有所降低。

6 研究展望

為設(shè)計(jì)出振動(dòng)小、噪聲低的人字齒行星齒輪系統(tǒng)，應(yīng)緊密結(jié)合實(shí)際工作情況和研究目標(biāo)，綜合考慮各種激勵(lì)因素、系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析和優(yōu)化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性?；谖闹袊?guó)內(nèi)外已取得研究成果，以下幾個(gè)方面有待進(jìn)行深入研究：

（1）人字齒輪輪齒的溫度場(chǎng)分布與變化規(guī)律。現(xiàn)有文獻(xiàn)在該理論方面還未見(jiàn)研究，所以有待研究。

（2）復(fù)合人字齒行星輪系的動(dòng)力學(xué)特性。目前對(duì)人字齒行星輪系的研究主要以單極為主，少數(shù)研究為兩級(jí)傳動(dòng)。相比單極人字齒行星輪系，復(fù)合人字齒行星輪系結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，需要考慮的影響因素更多，所以研究復(fù)合人字齒行星輪系的動(dòng)力學(xué)特性很重要。

（3）考慮沖擊和油膜剛度的人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)特性。嚙合沖擊和油膜剛度是人字齒行星輪系振動(dòng)的重要激勵(lì)因素，目前在這方面的研究還比較少。

（4）基于可靠性的人字齒行星輪系動(dòng)力學(xué)特性。人字齒行星輪系的可靠性是衡量系統(tǒng)傳動(dòng)質(zhì)量的重要指標(biāo)，直接影響了系統(tǒng)的壽命特征。

（5）人字齒行星輪系統(tǒng)的減震降噪控制。齒輪的嚙合剛度、支撐剛度、誤差、構(gòu)件的彈性變形等激勵(lì)因素的變化能引起齒輪的多種振動(dòng)，并通過(guò)軸、軸承將振動(dòng)傳遞給箱體，從而引起齒輪減速器的振動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Amendola J. Single vs double helical gears[J]. Turbomachinery International， 2006（Sep/Oct）.

[2]吳文敏，荀超，龍新華. 齒厚與螺旋角對(duì)人字齒行星輪動(dòng)態(tài)特性的影響[J]. 噪聲與振動(dòng)控制，2016，36（2）：52-55.

[3]卜忠紅，劉更，吳立言，等. 封閉式人字齒輪行星傳動(dòng)的自由振動(dòng)特性分析[J]. 中國(guó)機(jī)械工程，2009，20（20）：2420-2424.

[4]張霖霖，朱如鵬. 嚙合相位對(duì)人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)均載的影響研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2018.

[5]趙永強(qiáng)，李瑰賢，常山，等. 兩級(jí)人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)躍遷現(xiàn)象[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工），2011，41（1）：133-138.

[6]劉振州，張俊. 人字齒行星傳動(dòng)固有特性及模態(tài)突變現(xiàn)象分析[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2015（10）：9-15.

[7]沈稼耕，陸鳳霞，鮑和云，等. 人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性研究[J]. 機(jī)械制造與自動(dòng)化，2015，44（2）：21-24.

[8]曹鑫. 人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪修形研究[D]. 南京航空航天大學(xué)，2017.

[9]蔣立冬，王冀，岳彥炯，等. 功率分流人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的固有特性研究[J]. 機(jī)械傳動(dòng)，2013（12）：54-58.

[10]任菲，秦大同，吳曉鈴. 考慮制造誤差的人字齒行星傳動(dòng)均載特性[J]. 中南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016（2）：474-481.

[11]王浩飛. 基于齒面摩擦的人字齒行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究[D]. 南京航空航天大學(xué)，2015.

[12]邱紅友. 人字齒行星傳動(dòng)的均載特性分析[D]. 重慶大學(xué)，2015.

[13]Sondkar P，Kahraman A. A dynamic model of a double-helical planetary gear set[J]. Mechanism & Machine Theory，2013，70（6）：157-174.

[14][7]Parker R G，Agashe V，Vijayakar S M. Dynamic Response of a Planetary Gear System Using a Finite Element/Contact Mechanics Model[J]. Journal of Mechanical Design，2000，122（3）：304.

[15]劉增民，劉更，吳立言，等. 人字齒輪嚙合剛度計(jì)算與齒面載荷分布研究[J]. 計(jì)算機(jī)仿真，2009，26（2）：298-300.

[16]吳文光. 人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的建模及其動(dòng)力學(xué)特性的有限元分析研究[D]. 南京航空航天大學(xué)，2010.

[17]胡瑞帆，吳新躍. 多級(jí)人字齒齒輪傳動(dòng)振動(dòng)特性有限元分析[J]. 機(jī)械研究與應(yīng)用，2012（6）：30-32.

[18]馮志剛，吳新躍. 人字齒輪嚙合靜-動(dòng)態(tài)振動(dòng)特性分析[J]. 船海工程，2007，36（5）：72-76.

[19]朱增寶，朱如鵬，鮑和云，等. 偏心與齒頻誤差對(duì)封閉差動(dòng)人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)均載特性的影響分析[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2011，26（11）：2601-2609.

[20]郭家舜，王三民，王穎. 基于解析解的人字齒輪齒廓修形動(dòng)態(tài)分析[J]. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2013，28（3）：613-620.

[21]Khoozani M K，Poursina M，Anaraki A P. Study of gyroscopic effects on the dynamics and vibrations of double-helical planetary gear set[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part K Journal of Multi-body Dynamics，2017：146441931772594.

[22]Gui-Xian L I，Zhao Y Q，Shan C，et al. Structure vibration characteristics of two stage double helical tooth planetary gear trains with unequally spaced planets and stars[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（英文版），2011，18（2）：51-55.

[23]Bu Z，Liu G，Wu L. Modal analyses of herringbone planetary gear train with journal bearings[J]. Mechanism & Machine Theory，2012，54：99-115.

[24]蔣進(jìn)科，方宗德，賈海濤. 人字齒輪減振修形優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 振動(dòng)與沖擊，2015，34（2）：9-13.

[25]Ren F，Qin D，Lim T C，et al. Study on dynamic characteristics and load sharing of a herringbone planetary gear with manufacturing errors[J]. International Journal of Precision Engineering & Manufacturing，2014，15（9）：1925-1934.

[26]王成，方宗德，賈海濤. 人字齒輪均載特性的理論分析與試驗(yàn)研究[J]. 兵工學(xué)報(bào)，2011，32（1）：74-77.

[27]Ajmi M，Velex P.A model for simulating the quasi-static and dynamic behavior of double helical gears[C].The JSME International Conference on Motion and Power Transmission.MPT-2001，2001： 132-137.

[28]Dong J，Wang S，Lin H，et al. Dynamic modeling of double-helical gear with Timoshenko beam theory and experiment verification[J]. Advances in Mechanical Engineering，2016，8（5）.

[29]Guo F，F(xiàn)ang Z，Zhang X，et al. Influence of the Eccentric Error of Star Gear on the Bifurcation Properties of Herringbone Star Gear Transmission with Floating Sun Gear[J]. Shock & Vibration，2018，2018（4）：1-32.

[30]Kang M R，Kahraman A. An experimental and theoretical study of the dynamic behavior of double-helical gear sets[J]. Journal of Sound & Vibration，2015，350：11-29.

[31]Liu C，Qin D，Liao Y. Dynamic Model of Variable Speed Process for Herringbone Gears Including Friction Calculated by Variable Friction Coefficient[J]. Journal of Mechanical Design，2014，136（4）：041006.

[32]Wang C，Cui H Y，Zhang Q P，et al. Modified optimization and experimental investigation of transmission error，vibration and noise for double helical gears[J]. Journal of Vibration & Control，2014，22（1）.

[33]Wang F，Xu X，F(xiàn)ang Z，et al. Design and analysis of herringbone gear with sixth-order transmission error based on meshing vibration optimization[J]. Advances in Mechanical Engineering，9，6（2017-6-01），2017，9（6）：168781401770435.

[34]Chapron M，Velex P，Bruyère J，et al. Optimization of Profile Modifications With Regard to Dynamic Tooth Loads in Planetary Gears With Flexible Ring-Gears[C]// ASME 2015 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. American Society of Mechanical Engineers，2015：V010T11A015.

[35]賈超，方宗德，張永振. 高速內(nèi)嚙合人字齒輪多目標(biāo)優(yōu)化修形[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，49（1）：166-172.

[36]Zhang T. Noise Optimization of a Double Helical Parallel Shaft Gearbox[J]. 1994.