基于Green函數(shù)和玻爾茲曼變換的致密油藏彈性能量表征方法

曹仁義，辛紅剛，楊松林，張曉輝，王鶴楠，毛振華

(1. 中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院，北京，102249；2. 中國(guó)石油長(zhǎng)慶油田公司勘探開發(fā)研究院，陜西西安，710018)

致密油資源在全球分布廣泛，具有良好的發(fā)展前景[1-2]，在我國(guó)的鄂爾多斯盆地、準(zhǔn)噶爾盆地等含油氣盆地相繼取得重要進(jìn)展。致密油藏大都通過體積壓裂水平井衰竭開發(fā)[3-4]，主要驅(qū)動(dòng)能量為彈性能，驅(qū)油方式為彈性驅(qū)和溶解氣驅(qū)，定量表征致密油藏地層彈性能量對(duì)致密油藏開發(fā)具有重要的意義。前期研究表明，致密油藏體積壓裂后彈性能量包括壓裂后增加彈性能、儲(chǔ)層及流體彈性能和溶解氣彈性能[5]。

相比較于北美致密油藏，我國(guó)致密油藏大都為陸相沉積，儲(chǔ)層非均質(zhì)性強(qiáng)、地層壓力低、地層流體彈性能量弱，體積壓裂后入地液量對(duì)抬升地層壓力水平具有重要的作用。對(duì)于壓裂有效入地液提供的能量，徐黎明等[6-7]提出了準(zhǔn)自然能量開發(fā)和蘇幽雅等[8-9]提出了壓裂蓄能式等概念。

對(duì)于儲(chǔ)層和流體彈性能量，很多學(xué)者提出了不同的能量評(píng)價(jià)方法。汪益寧[10]建立了碳酸鹽巖油藏的能量評(píng)價(jià)體系，準(zhǔn)確評(píng)價(jià)了彈性能量開發(fā)階段油藏能量強(qiáng)弱與生產(chǎn)動(dòng)態(tài)之間的關(guān)系。高艷霞等[11]研究了不同儲(chǔ)集類型單元驅(qū)動(dòng)能量轉(zhuǎn)換及變化特征，建立了適合塔河油田不同類型單元能量評(píng)價(jià)模版與指標(biāo)界限標(biāo)準(zhǔn)。鄭松青等[12]提出了原油彈性驅(qū)動(dòng)指數(shù)、底水彈性驅(qū)動(dòng)指數(shù)和巖石彈塑性變形驅(qū)動(dòng)指數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)了對(duì)縫洞型油藏不同驅(qū)動(dòng)能量的量化評(píng)價(jià)。張文學(xué)等[13]提出能量指示曲線的概念，用于評(píng)價(jià)地層能量。

然而人們對(duì)這些能量的控制范圍以及釋放過程沒有進(jìn)行系統(tǒng)研究。本文作者基于物質(zhì)平衡方程，研究致密油藏彈性能量的構(gòu)成，結(jié)合不同縫長(zhǎng)、不同滲透率下地層能量控制范圍以及不同能量的釋放階段，建立致密油藏體積壓裂后彈性能量定量表征方法(本文中以等效液體體積表征彈性能量大小)。實(shí)現(xiàn)致密油藏單井彈性能量定量計(jì)算，對(duì)致密油藏彈性能量定量表征提供了一種新的理論方法，為致密油藏開發(fā)能量補(bǔ)充提供一種新的理論分析方法。

1 致密油藏體積壓裂后彈性能量構(gòu)成

致密油藏近井地帶經(jīng)過大規(guī)模水力壓裂改造，大量入地液滯留在地層中，補(bǔ)充了一定的能量，造成縫網(wǎng)控制區(qū)域地層壓力抬升，開發(fā)初期地層流體驅(qū)替能量主要來源于這部分能量[8]。衰竭開發(fā)過程中隨著地層壓力不斷下降，儲(chǔ)層和流體彈性能不斷釋放，衰竭開發(fā)前期和中期地層流體驅(qū)替能量主要來源于這部分彈性能。當(dāng)?shù)貙訅毫Φ陀谠惋柡蛪毫r(shí)，溶解在原油中的天然氣從原油中分離出來，地層壓力降低過程中，從原油中分離的天然氣越來越多，形成連續(xù)相，該階段地層流體驅(qū)替能量主要來源于這部分天然氣彈性能。因此，致密油藏體積壓裂后彈性能量包括壓裂后增加彈性能、儲(chǔ)層及流體彈性能和溶解氣彈性能，體積壓裂水平井在衰竭開發(fā)生產(chǎn)過程中依據(jù)彈性能量釋放過程劃分為壓裂后增加彈性能釋放階段、儲(chǔ)層及流體彈性能釋放階段、溶解氣彈性能釋放階段3個(gè)階段。

2 基于考慮啟動(dòng)壓力梯度的Green函數(shù)的體積壓裂水平井動(dòng)用邊界計(jì)算模型

2.1 致密油藏水平井體積壓裂后動(dòng)用區(qū)域分區(qū)

與常規(guī)油藏相比，致密油藏存在啟動(dòng)壓力梯度、非達(dá)西滲流等現(xiàn)象。彈性能的控制區(qū)域取決于壓力梯度，由非達(dá)西滲流方程(式(1))可知，當(dāng)壓力梯度小于啟動(dòng)壓力梯度時(shí)，流體不能流動(dòng)，彈性能量便不能有效波及[14-15]。因此，判斷彈性能量的控制區(qū)域是計(jì)算彈性能量的基礎(chǔ)。

式中：v為滲流速度，m/s；G為啟動(dòng)壓力梯度，MPa/m；dp/dx為x處的壓力梯度，MPa/m；K為滲透率，10-3μm2；μ為黏度，mPa·s。

MONGALVY等[16]將水力壓裂措施后的單井泄油區(qū)域分為2部分：有效改造體積和周圍未改造體積。即從彈性能量控制角度出發(fā)，彈性能量控制區(qū)域分為縫網(wǎng)控制區(qū)域和基質(zhì)控制區(qū)域(見圖2)?？p網(wǎng)控制區(qū)由于致密油藏經(jīng)過壓裂改造后，區(qū)域內(nèi)的滲流條件得以改善，Rf為垂直井筒方向裂縫控制距離，等于裂縫半縫長(zhǎng)Lf；基質(zhì)控制區(qū)由于沒有經(jīng)過壓裂改造，滲流條件較差，Rmv為垂直井筒方向基質(zhì)控制距離，Rmh為沿井筒方向基質(zhì)控制距離，L為水平段長(zhǎng)度。致密油藏體積壓裂后彈性能量控制距離由動(dòng)邊界決定，動(dòng)邊界是一個(gè)自形成的外邊界，動(dòng)邊界內(nèi)流體可以流動(dòng)，即動(dòng)邊界處壓力梯度等于啟動(dòng)壓力梯度。

式中：R(t)為動(dòng)邊界，Rx(t)=Rmh，Ry(t)=Rf+Rmv。

2.2 基于Green 函數(shù)源函數(shù)的考慮啟動(dòng)壓力梯度的動(dòng)用范圍計(jì)算模型

Green函數(shù)是求解多孔介質(zhì)中非穩(wěn)態(tài)滲流的一種經(jīng)典方法。一旦找到了恰當(dāng)?shù)腉reen函數(shù)，復(fù)雜初始條件及邊界條件的非穩(wěn)態(tài)滲流問題都可以解決。當(dāng)Green函數(shù)所表征的滲流場(chǎng)中具有一個(gè)源或者匯的時(shí)候，該Green函數(shù)可以稱之為源函數(shù)。結(jié)合Newman積分原理，可以將簡(jiǎn)單的Green函數(shù)源函數(shù)構(gòu)造成具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)及復(fù)雜邊界的井型。

致密儲(chǔ)層考慮啟動(dòng)壓力梯度條件下，彈性微可壓縮流體在無限大地層中存在一口直井時(shí)的壓力分布函數(shù)[17]為

式中：pe為原始地層壓力，MPa；B為流體體積系數(shù)，m3/m3；r為地層中任意一點(diǎn)到井筒的距離，m；rw為井筒半徑，m；η為導(dǎo)壓系數(shù)，m3/s。

當(dāng)式(4)中流量Q為τ時(shí)刻某一瞬時(shí)點(diǎn)源強(qiáng)度δV，瞬時(shí)真實(shí)壓力可表示為

式中：為瞬時(shí)非線性擬壓力，MPa；φ為孔隙度；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；τ為瞬時(shí)時(shí)刻，s。

式(5)即為在非達(dá)西流動(dòng)條件下τ時(shí)刻，一瞬時(shí)點(diǎn)源作用于無限大地層中引起的壓力波動(dòng)在t時(shí)刻的表達(dá)式。

將平面中無限個(gè)點(diǎn)源依次排列，即可得到位于無限大平面上一無限長(zhǎng)度線源。設(shè)在y軸方向dy長(zhǎng)度的線段單位長(zhǎng)度的流量均勻，且均為ds，則該點(diǎn)的長(zhǎng)度為dsdy。將此點(diǎn)視為一個(gè)點(diǎn)源，則dsdy等于瞬時(shí)點(diǎn)源強(qiáng)度δV。將δV= dsdy代入式(5)，并轉(zhuǎn)換為笛卡兒坐標(biāo)表示，則為

式中：xw為源x坐標(biāo)，m；yw為源y坐標(biāo)，m。

將式(6)在yw∈( - ∞, + ∞)內(nèi)進(jìn)行線積分，并利用高斯公式簡(jiǎn)化，則線源函數(shù)表示為

將平面中無限個(gè)線源依次排列，即可得到在無限大平面的一無限長(zhǎng)條帶源。單位長(zhǎng)度線源瞬時(shí)流量ds除以寬度dx即可得條帶中單位寬度的瞬時(shí)流量為dl，即dl= ds/dx。以xw為條帶中心，xf為條帶寬度，則在式(7)中對(duì)變量xw從xw-xf/2 到xw+xf/2進(jìn)行積分，表示為

誤差函數(shù)表達(dá)式為

則式(8)積分部分可拆分為

再對(duì)式(9)進(jìn)行積分化簡(jiǎn)，得到：

運(yùn)用條帶源函數(shù)與條帶源函數(shù)做Newman 乘積，形成有限長(zhǎng)寬條帶源，再將多個(gè)有限長(zhǎng)寬條帶源疊加，即可模擬二維平面內(nèi)一口體積壓裂水平井滲流場(chǎng)(圖3)。

對(duì)該模型的數(shù)學(xué)描述為：t時(shí)刻歷史流量為Qk的第k條裂縫對(duì)點(diǎn)(x，y)引起的真實(shí)壓降為式(13)，該模型求解的關(guān)鍵在于求解每條縫每一離散時(shí)間的流量，對(duì)于第k條裂縫t時(shí)刻的流量Qk,n的求解方程為式(14)。在已知Δp(x，y，xk，yk，t)情況下可求得對(duì)應(yīng)的Qk,n。由于第k條裂縫處的壓降Δp(x，y，xk，yk，t)是由N條裂縫協(xié)同作用，若生產(chǎn)壓差Δp=pe-pwf，則聯(lián)立求解可得各條裂縫流量的矩陣方程(式(15))。

式中：A′和B′為式(13)改寫的系數(shù)表達(dá)式。

迭代求解式(15)即可求得無限大邊界條件下一口體積壓裂水平井壓力分布。運(yùn)用壓力疊加原理，即可模擬地層中多口井的情況，將壓力場(chǎng)進(jìn)行求導(dǎo)即可得到動(dòng)邊界位置(圖4)，進(jìn)而求得致密儲(chǔ)層體積壓裂水平井縫網(wǎng)控制區(qū)與基質(zhì)控制區(qū)的面積。

2.3 模型驗(yàn)證

表1所示為水平井及儲(chǔ)層參數(shù)。利用表1中數(shù)據(jù)，計(jì)算致密儲(chǔ)層一口體積壓裂水平井開發(fā)時(shí)彈性能量控制范圍，利用商業(yè)數(shù)值模擬器對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。圖5所示為垂直于井筒方向和沿井筒方向的控制范圍計(jì)算結(jié)果對(duì)比。從圖5可知，本文模型與商業(yè)數(shù)值模擬器計(jì)算結(jié)果差距很小。

2.4 體積壓裂水平井動(dòng)用規(guī)律研究

利用表1中數(shù)據(jù)，計(jì)算不同基質(zhì)滲透率和啟動(dòng)壓力梯度下的彈性能量控制范圍。圖6所示為動(dòng)邊界隨時(shí)間變化曲線。從圖6 可知：無限大地層中，隨著生產(chǎn)時(shí)間的延長(zhǎng)，壓力波不斷向外擴(kuò)散，從垂直于井筒和沿井筒方向觀察，動(dòng)邊界逐漸擴(kuò)大。但在生產(chǎn)初期呈現(xiàn)一個(gè)較快的擴(kuò)展速度，后期逐漸減緩，動(dòng)邊界趨于穩(wěn)定，較大的滲透率和較小的啟動(dòng)壓力梯度梯度有助于擴(kuò)大動(dòng)邊界范圍。

表1 水平井及儲(chǔ)層參數(shù)Table 1 Horizontal well and reservoir parameters

2.5 儲(chǔ)層及流體彈性能計(jì)算公式

儲(chǔ)層及流體彈性能主要來源于縫網(wǎng)控制區(qū)和基質(zhì)控制區(qū)，產(chǎn)液量主要來源于地層壓力下降造成的此區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)層孔隙體積變化以及流體體積的變化?？p網(wǎng)控制區(qū)內(nèi)儲(chǔ)層及流體彈性能計(jì)算公式為

式中：E21為縫網(wǎng)控制區(qū)內(nèi)儲(chǔ)層及流體彈性能，104m3；Δp2為原始地層壓力與廢棄壓力的壓力差，MPa；NTG為凈毛比；Boi為原始條件下原油體積系數(shù)，m3/m3。

基質(zhì)控制區(qū)內(nèi)儲(chǔ)層及流體彈性能計(jì)算公式為

式中：E22為基質(zhì)控制區(qū)內(nèi)儲(chǔ)層及流體彈性能，104m3。

儲(chǔ)層及流體彈性能為縫網(wǎng)控制區(qū)域和基質(zhì)控制區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)層及流體彈性能之和，即：

式中：E2為儲(chǔ)層及流體彈性能，104m3。

3 基于玻爾茲曼變換的溶解氣驅(qū)彈性能量計(jì)算模型

3.1 溶解氣階段含油飽和度隨地層壓力變化關(guān)系

當(dāng)?shù)貙訅毫ο陆抵溜柡蛪毫σ韵聲r(shí)，溶解在原油中的天然氣逐漸分離出來。溶解氣階段滲流復(fù)雜，此時(shí)油、氣兩相滲流方程分別為：

式中：p為地層壓力，MPa；So為油相飽和度；Sg為氣相飽和度；Kro為油相相對(duì)滲透率；Krg為氣相相對(duì)滲透率；μo為原油黏度，mPa·s；μg為溶解氣黏度，mPa·s；Bg為溶解氣體積系數(shù)，m3/m3；Rs為溶解氣油體積比，m3/m3。

為了簡(jiǎn)化方程，對(duì)方程式(19)和(20)進(jìn)行如下變量替換：

引入玻爾茲曼變換：

將αo，βo，αg和βg分別對(duì)玻爾茲曼系數(shù)ξ求導(dǎo)后代入式(19)和式(20)，展開化簡(jiǎn)可得：

由式(26)和式(27)可知，壓力和含油飽和度都是關(guān)于玻爾茲曼系數(shù)的函數(shù)，聯(lián)立式(26)和式(27)可得：

通過式(28)即可得到溶解氣驅(qū)階段含油飽和度隨地層壓力變化情況。

3.2 溶解氣彈性能計(jì)算公式

溶解氣彈性能主要來源于縫網(wǎng)控制區(qū)和基質(zhì)控制區(qū)，產(chǎn)液量主要來源于地層壓力下降造成的此區(qū)域內(nèi)溶解氣析出占據(jù)孔隙，排出液體。

縫網(wǎng)控制區(qū)內(nèi)溶解氣彈性能為

式中：E31為縫網(wǎng)控制區(qū)域內(nèi)溶解氣彈性能，104m3；p3為廢棄壓力，MPa。

基質(zhì)控制區(qū)內(nèi)溶解氣彈性能為

式中：E32為縫網(wǎng)控制區(qū)域內(nèi)溶解氣彈性能，104m3。

溶解氣彈性能為縫網(wǎng)控制區(qū)域和基質(zhì)控制區(qū)域內(nèi)溶解氣彈性能之和：

式中：E3為溶解氣彈性能，104m3。

4 壓裂后增加彈性能計(jì)算模型

4.1 壓裂后地層壓力抬升

圖7所示為致密油藏體積壓裂改造后地層壓力抬升示意圖。從圖7可知：壓裂液彈性能主要來源于水力壓裂改造階段有效入地液量(總?cè)氲匾毫繙p去放噴液量)滯留造成的縫網(wǎng)控制區(qū)域地層壓力抬升[7,18-19]。

對(duì)水力壓裂后的近井地帶，根據(jù)物質(zhì)平衡方程，可得到地層壓力變化計(jì)算公式如式(32)所示，代入地層相關(guān)彈性參數(shù)后得式(33)，可利用式(33)計(jì)算改造后壓力抬升幅度Δp1。

式中：Vpor為孔隙體積，m3；Cf為巖石壓縮系數(shù)，1/MPa；Vb為基質(zhì)體積，m3；Δp1為有效入地液抬升壓力，MPa；Vos為地層油體積，m3；Vws為地層水體積，m3；Vwy為有效入地液體積，m3；Bo為原油體積系數(shù)，m3/m3；Bw為地層水體積系數(shù)，m3/m3；Vfrac為壓裂縫體積，m3。

4.2 壓裂液抬升地層壓力后彈性能增加量計(jì)算公式

壓裂液彈性能主要來源于縫網(wǎng)控制區(qū)，產(chǎn)液量主要來源于此區(qū)域內(nèi)地層壓力下降造成的儲(chǔ)層孔隙體積變化。研究表明，壓裂液滲吸作用對(duì)采收率具有一定的貢獻(xiàn)[20-22]，本文中主要考慮彈性能量對(duì)采收率的貢獻(xiàn)，暫不考慮壓裂液滲吸作用，因此，該階段彈性能量計(jì)算公式為

式中：E1為壓裂液抬升地層壓力后彈性能增加量，104m3；Af為縫網(wǎng)控制區(qū)面積，km2；h為油藏厚度，m。

5 實(shí)例分析

鄂爾多斯盆地長(zhǎng)7段致密油藏X試驗(yàn)區(qū)為2011年開辟的致密油攻關(guān)試驗(yàn)區(qū)，主要沉積微相為砂質(zhì)碎屑流和濁流沉積，孔隙結(jié)構(gòu)為低孔-微喉型孔喉結(jié)構(gòu)，平均孔隙度為11.5%，平均滲透率為0.10×10-3μm2。2011-12 開始開采，利用體積壓裂技術(shù)陸續(xù)部署1 000 m 井距水平井4 口。X 試驗(yàn)區(qū)體積壓裂水平井平均每段有效入地液量216～480 m3，平均抬升地層壓力1.12～1.78 MPa。針對(duì)鄂爾多斯盆地X 試驗(yàn)區(qū)1 500 m 體積壓裂水平井，結(jié)合表1 數(shù)據(jù)計(jì)算不同壓裂段數(shù)彈性能量控制距離，進(jìn)而可以得到圖8所示不同壓裂段數(shù)下的致密油藏彈性能量控制距離和單井控制面積。

考慮不同的油藏厚度和單井控制面積，繪制X試驗(yàn)區(qū)有效彈性能量圖。所謂有效彈性能是指衰竭開發(fā)至廢棄壓力時(shí)所控制的彈性能量，當(dāng)?shù)貙訅毫^低時(shí)，單井產(chǎn)能低，無經(jīng)濟(jì)效益，衰竭開采結(jié)束。本文研究過程中該廢棄壓力取值為6.00 MPa，實(shí)際取值可根據(jù)油田現(xiàn)場(chǎng)變化。圖9所示為X試驗(yàn)區(qū)1 000 m井距有效彈性能量圖。從圖9 可以看出：隨著油藏厚度或者單井控制面積增加，單井控制的彈性能量增大。X 試驗(yàn)區(qū)1 000 m井距體積壓裂水平井單井控制面積范圍為0.39～0.64 km2，油藏厚度范圍為8.90～18.60 m，由圖9還可知單井控制有效彈性能量范圍為3.65×104～8.42×104m3。

利用彈性能量定量表征模型計(jì)算該區(qū)初始有效彈性能量(截至計(jì)算至地層平均壓力為廢棄壓力6 MPa)總計(jì)為27.96×104m3。圖10所示為X試驗(yàn)區(qū)彈性能量分布圖。從圖10 可知：壓裂液彈性能為3.07×104m3，占比10.98%；儲(chǔ)層及流體彈性能為12.24×104m3，占比43.78%；溶解氣彈性能為12.65×104m3，占比45.24%。

圖11 所示為X 試驗(yàn)區(qū)彈性能量分布。從圖11可以看出，X井區(qū)北區(qū)壓裂液彈性能從2011-11開始釋放，2014-01壓裂液抬升地層壓力后彈性能量增加量釋放完畢，儲(chǔ)層及流體彈性能接替釋放，2015-05，溶解氣開始析出，溶解氣彈性能開始釋放，截止到2020-06，累積產(chǎn)油量13.22×104m3，采收率4.57%，X北區(qū)有效彈性能釋放64.09%，壓裂液增加彈性能釋放100%；巖石及流體彈性能釋放80.36%，其中改造控制區(qū)域釋放92.44%，剩余7.56%，未改造控制區(qū)域釋放74.14%，剩余25.86%；溶解氣彈性能釋放10.45%，其中改造控制區(qū)域釋放11.80%，剩余88.20%，未改造控制區(qū)域釋放4.69%，剩余95.31%。后期開發(fā)主要依靠溶解氣彈性能釋放，后續(xù)應(yīng)采取一定的措施補(bǔ)充能量，提高能量的利用率，達(dá)到提高采收率的目的。

6 結(jié)論

1)致密油藏壓裂后彈性能量控制區(qū)域分為縫網(wǎng)控制區(qū)和基質(zhì)控制區(qū)，結(jié)合滲流力學(xué)和油藏工程方法得出，無限大地層中一口體積壓裂水平井彈性能量控制范圍在生產(chǎn)初期的拓展速度較快，后期組建減緩并趨于穩(wěn)定，較大的滲透率和較小的啟動(dòng)壓力梯度有助于擴(kuò)大動(dòng)邊界范圍。

2)利用物質(zhì)平衡方程建立了致密油體積壓裂水平井壓裂后增加彈性能、儲(chǔ)層及流體彈性能及溶解氣彈性能的定量表征方法。

3)利用彈性能量定量表征方法對(duì)X 試驗(yàn)區(qū)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)彈性能釋放階段及對(duì)采收率的貢獻(xiàn)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明該區(qū)壓裂后增加彈性能、儲(chǔ)層及流體彈性能釋放超過80%，后續(xù)開采主要依靠溶解氣彈性能的釋放，應(yīng)采取相應(yīng)措施補(bǔ)充地層能量，提高能量利用率，達(dá)到提高采收率的目的。