基于能量法的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)解析模型

朱龍基，溫留漢·黑沙，劉彥輝

（1.廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣東 廣州 510405；2.廣州大學(xué) 廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510405；3.廣州大學(xué)工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510405）

引言

浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)是一種高效的減振技術(shù)，常用于大型精密儀器的減振［1-3］。浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)包含設(shè)備基礎(chǔ)與隔振器2部分，其中隔振器由帶有黏滯阻尼器的鋼彈簧［4］或帶有附加氣室的空氣彈簧［5］（以下簡稱空氣彈簧）組成，如圖1所示［6］。與鋼彈簧相比，空氣彈簧擁有更低的剛度［7-8］，能更好地滿足大型精密儀器在低頻微振動(dòng)工作環(huán)境下的減振要求［9］。

圖1 浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of floating foundation vibration reduction system

在設(shè)計(jì)浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)時(shí)，需要確定的參數(shù)包括浮置基礎(chǔ)的尺寸、形狀、質(zhì)量以及空氣彈簧的力學(xué)性能參數(shù)、個(gè)數(shù)及其布置形式等［10-11］。雖然以有限元方法建立的實(shí)體模型比解析模型更準(zhǔn)確，但在沒有初始設(shè)計(jì)的情況下建立有限元模型確定設(shè)計(jì)參數(shù)所耗費(fèi)的工作量過大，使得這項(xiàng)工作不現(xiàn)實(shí)［12］。相對而言，解析模型可以更快的幫助設(shè)計(jì)人員獲得較好的初始參數(shù)，為有限元建模提供依據(jù)［13］。解析模型中，這些參數(shù)可以通過以空間矩陣的形式建立浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的六自由度空間解析模型來確定［14］。

在對隔振系統(tǒng)動(dòng)力分析的研究中，系統(tǒng)的剛體動(dòng)力學(xué)特性采用平衡方程的矩陣形式［15］。Himelblau和Rubin［16］提出了牛頓-歐拉動(dòng)態(tài)平衡方程，并對正交彈性支承情況下的平面對稱問題進(jìn)行了研究。Angeles［17］給出了振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的矩陣形式，并通過位置矢量的矩陣形式獲得了平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、平移-轉(zhuǎn)動(dòng)下的靜態(tài)剛度矩陣。Iwan［18］采用等效線性系統(tǒng)方法對隔離系統(tǒng)的非線性彈簧隔振器進(jìn)行線性化。并在研究中使用了不同的平動(dòng)自由度和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，同時(shí)選取慣性主軸作為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，根據(jù)坐標(biāo)系方向選取系統(tǒng)的平移方向。Ibrahim［19］通過解析模型研究了被動(dòng)隔振系統(tǒng)因大變形、大剛度和幾何非線性引起的非線性行為。

以上研究并沒有考慮能量在減振系統(tǒng)中轉(zhuǎn)化所激發(fā)的動(dòng)力學(xué)特性，文中基于能量法分析得到浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能及阻尼耗散能解析表達(dá)式。進(jìn)一步通過建立運(yùn)動(dòng)平衡方程，推導(dǎo)了基于彈性軸向支撐剛體小位移的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。在推導(dǎo)質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣的基礎(chǔ)上，給出了動(dòng)力平衡方程以及實(shí)模態(tài)和復(fù)模態(tài)的特征分析方程。最后在SAP2000有限元軟件中建立了電子束曝光機(jī)的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的有限元模型，并將解析模型和有限元模型進(jìn)行了對比分析，討論了模型求解結(jié)果的正確性。

1 浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的六自由度解析模型

浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)由剛度較大的鋼筋混凝土“T”型基礎(chǔ)和彈性支撐組成，其中彈性支撐通常用空氣彈簧。該減振系統(tǒng)的第七階為“T”型基礎(chǔ)的變形模態(tài)，其頻率遠(yuǎn)大于前六階模態(tài)頻率，因此可以假設(shè)“T”型基礎(chǔ)在減振系統(tǒng)工作時(shí)為剛體形態(tài)。本節(jié)利用能量法建立浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的剛體運(yùn)動(dòng)方程，以方便確定浮置基礎(chǔ)初始設(shè)計(jì)參數(shù)。計(jì)算簡圖如圖2所示，圖中k xi表示第i個(gè)空氣彈簧的x向等效剛度，c xi表示第i個(gè)空氣彈簧的x向等效阻尼，其他符號類似。首先，通過分析得到剛體的動(dòng)能T，彈簧勢能V和阻尼耗散能Q。然后，假設(shè)qk為廣義坐標(biāo)，并將各個(gè)能量表達(dá)式代入Lagrange運(yùn)動(dòng)方程，以矩陣形式表達(dá)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。

圖2 浮置基礎(chǔ)的六自由度解析模型計(jì)算簡圖Fig.2 Calculation diagram of analytical model of 6-DOF floating foundation

1.1 系統(tǒng)能量

系統(tǒng)動(dòng)能：

式中：m表示浮置基礎(chǔ)質(zhì)量；Ix、Iy和Iz表示浮置基礎(chǔ)繞x、y和z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；?、?和?表示浮置基礎(chǔ)沿x、y和z軸向運(yùn)動(dòng)速度?、和?表示浮置基礎(chǔ)繞x、y和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

第i個(gè)彈簧的位移：

系統(tǒng)彈性變形勢能：

式中：xΔi、yΔi和zΔi表示第i個(gè)空氣彈簧x、y和z方向的位移；x0、y0和z0表示浮置基礎(chǔ)剛心坐標(biāo)值；θx、θy和θz表示浮置基礎(chǔ)繞x、y和z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度；nb表示隔振器數(shù)量。

系統(tǒng)阻尼耗散能：

將以上系統(tǒng)能量式（1）～式（6）代入以qk為廣義坐標(biāo)的Lagrange運(yùn)動(dòng)方程：

得到各方向運(yùn)動(dòng)平衡方程。

1.2 減振系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣、阻尼矩陣和力向量

基于各方向運(yùn)動(dòng)平衡方程可以得到減振系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣、阻尼矩陣和力向量。

質(zhì)量矩陣：

剛度矩陣：

阻尼矩陣：

j時(shí)刻的力向量：

式中，a x j、a yj和a zj分別表示第j時(shí)刻x、y和z方向的浮置基礎(chǔ)加速度。

2 特征頻率分析

2.1 實(shí)模態(tài)分析

在工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析中，通常僅由剛度矩陣和質(zhì)量矩陣構(gòu)成無阻尼的自由振動(dòng)的動(dòng)力方程，由此得到的控制方程為：

采用分離變量法，令u=Qe-iωt，則自由振動(dòng)特征分析方程為：

式中，QT=[U x,U y,U z,Θx,Θy,Θz,]為模態(tài)位移矢量；ω為特征頻率。這是減振系統(tǒng)的特征分析方程，對該方程進(jìn)行求解得到減振系統(tǒng)的6個(gè)特征頻率。如果質(zhì)量和剛度均為對稱分布時(shí)，質(zhì)量和剛度矩陣變?yōu)閷ΨQ和對角分布，從而得到了6個(gè)獨(dú)立的特征分析方程。

2.2 復(fù)模態(tài)分析

在實(shí)際工程中，浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)為非經(jīng)典阻尼體系，其阻尼不滿足正交條件。因此，文中利用狀態(tài)空間的方法描述該體系的振動(dòng)問題［20］，以此進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析。

式中：I為N維單位向量。為了把系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)化為一般特征值問題，引入下面的輔助方程：

則對應(yīng)式（17）的特征問題為：

由此可得到復(fù)特征向量值矩陣為：

3 浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)分析案例

本節(jié)以量子芯片實(shí)驗(yàn)室中的電子束曝光機(jī)的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)設(shè)計(jì)案例為例，對比分析其六自由度解析模型及有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果。該系統(tǒng)的工作環(huán)境要求在1.6～16 Hz頻域內(nèi)振動(dòng)的有效速度小于0.8μm/s，16 Hz及以上頻域的有效振動(dòng)速度小于1 μm/s。所以，減振系統(tǒng)的固有頻率需低于該頻率值才有減振效果。為了使質(zhì)心低于空氣彈簧平動(dòng)面以下，以及縮小質(zhì)心和剛心的距離，將設(shè)備基礎(chǔ)設(shè)計(jì)為“T”型截面的鋼筋混凝土浮置基礎(chǔ)。圖3為浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的示意圖，其長11 m，高3 m，質(zhì)量為293 t。為了減小浮置基礎(chǔ)前六階模態(tài)的耦合作用，支撐浮置基礎(chǔ)的12個(gè)空氣彈簧沿著浮置基礎(chǔ)長度方向?qū)ΨQ布置在兩側(cè)的翼緣。

圖3 大型精密儀器的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)Fig.3 Floating foundation vibration reduction system for large precision instrument

3.1 空氣彈簧選型

本案例選用的帶附加氣室空氣彈簧物理參數(shù)如表1所示。

表1 空氣彈簧物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of air spring

文獻(xiàn)［21］中給出空氣彈簧剛度和阻尼的計(jì)算公式：

式中：A為主氣室在平衡位置處的有效面積；Az為有效面積變化率由dA/dz計(jì)算得到；Av為主氣室體積變化率；VA為主氣室體積；VB為附加氣室體積；P0為初始?xì)鈮?；Pat為大氣壓；ρ0初始?xì)怏w密度；Rβ為阻尼系數(shù)；κ為多變指數(shù)，λ=V B/(V A+V B)。

由式（20）～式（22）計(jì)算空氣彈簧的豎向和水平剛度以及阻尼值如表2所示。

表2 空氣彈簧剛度及阻尼Table 2 Stiffness and damping of air spring

3.2 六自由度特征頻率分析

由式（8）、式（10）和式（11）形成質(zhì)量、剛度以及阻尼矩陣：

根據(jù)式（14）和式（19），計(jì)算模態(tài)頻率如表3所示。

表3 解析模型計(jì)算模態(tài)及頻率Table 3 Modes and frequencies calculated by analytical models

3.3 有限元模型分析

為了驗(yàn)證文中提出的數(shù)值解析模型的準(zhǔn)確性，本節(jié)利用SAP2000有限元分析軟件，對同一浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)建模分析。有限元模型中的隔振單元采用線性彈簧單元，并輸入空氣彈簧的等效剛度和等效阻尼比。有限元模型如圖4所示，有限元模型參數(shù)如表4所示，計(jì)算頻率如表5所示。

圖4 浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)有限元模型Fig.4 Finite element model of floating foundation vibration reduction systems

表4 浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)有限元模型參數(shù)Table 4 Finite element model parameters of floating foundation vibration reduction system

表5 SAP2000計(jì)算浮置基礎(chǔ)模態(tài)頻率Table 5 Modal frequency of floating foundation calculated by SAP2000

對比有限元模型和分析計(jì)算所得模態(tài)及其頻率如表6所示。

表6 SAP2000與解析模型計(jì)算模態(tài)對比Table 6 Comparison of calculated modes between SAP2000 and analytical model

由表3及表6可以看出，從解析模型計(jì)算所得到的浮置基礎(chǔ)振動(dòng)模態(tài)和由SAP2000計(jì)算得到的振動(dòng)模態(tài)一致，均由沿3個(gè)軸的剛體平動(dòng)模態(tài)和繞3個(gè)軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)組成。SAP2000計(jì)算的前六階模態(tài)沒有出現(xiàn)浮置基礎(chǔ)變形，進(jìn)一步說明解析模型的六自由度剛體小變形力學(xué)的假設(shè)是合理的。由表6可以看出，SAP2000與實(shí)模態(tài)解析模型計(jì)算的模態(tài)頻率相差最小為1%，出現(xiàn)在繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)和沿z軸平移的第3和第4階模態(tài)，差值最大為5%出現(xiàn)在沿y軸平動(dòng)和繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的第五和第六階模態(tài)。SAP2000與復(fù)模態(tài)解析模型計(jì)算的模態(tài)頻率相差最小為1%，出現(xiàn)在繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)、沿x軸平動(dòng)以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)，相差最大6%為沿y軸平動(dòng)和繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)。由于SAP2000分析模態(tài)時(shí)采用的是實(shí)模態(tài)方法，因此解析模型的實(shí)模態(tài)計(jì)算結(jié)果比復(fù)模態(tài)計(jì)算結(jié)果更接近SAP2000計(jì)算結(jié)果。

4 結(jié)論

文中基于能量法并結(jié)合六自由度剛體小變形力學(xué)，通過Lagrange運(yùn)動(dòng)方程建立了由彈性構(gòu)件支撐的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)解析模型，并推導(dǎo)了系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣。以一個(gè)大型精密儀器的浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)案例，對比分析了其六自由度解析模型及有限元模型的模態(tài)計(jì)算結(jié)果。得到以下結(jié)論：

（1）采用文中提出的解析模型和SAP2000有限元模型計(jì)算的模態(tài)一致，模態(tài)頻率相對誤差在6%以內(nèi)，驗(yàn)證了文中提出的解析模型的可靠性。

（2）解析模型的實(shí)模態(tài)計(jì)算浮置基礎(chǔ)模態(tài)頻率相對有限元方法計(jì)算最大誤差為5%，復(fù)模態(tài)計(jì)算的浮置基礎(chǔ)模態(tài)頻率相對誤差最大為6%，實(shí)模態(tài)計(jì)算結(jié)果更接近有限元方法計(jì)算的結(jié)果。

（3）文中得到的解析模型可以更快的獲得較好的初始參數(shù)，為浮置基礎(chǔ)減振系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

附錄：

各方向運(yùn)動(dòng)平衡方程

x方向：

y方向：

z方向：

θx方向：

θy方向：

θz方向：