一類流行性出血熱周期模型的動(dòng)力學(xué)分析

李 鳳，劉俊利

(1.西安醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)部， 陜西 西安 710309；2.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710032)

腎綜合征出血熱(hemorrhagic fever with renal syndrome，HFRS)[1]，又稱流行性出血熱，其主要傳染源是鼠類,潛伏期2周左右.流行性出血熱是由漢坦病毒屬各亞型引起的一類以發(fā)熱、出血、腎功能損害等多種癥狀為臨床表現(xiàn)的自然疫源性傳染病.主要傳播途徑有動(dòng)物源性傳播、垂直傳播和蟲(chóng)媒傳播.根據(jù)其抗原結(jié)構(gòu)基因特點(diǎn)，可分為至少40個(gè)亞型[2-5].其傳染分布特點(diǎn)呈明顯的地域性，且多發(fā)于秋冬季節(jié).近幾年的相關(guān)數(shù)據(jù)表明，中國(guó)是世界范圍內(nèi)流行性出血熱疫情最重的國(guó)家[6]，該疾病已嚴(yán)重影響人類的正常生活.

出血熱的傳染和爆發(fā)會(huì)隨季節(jié)呈周期性波動(dòng)[7].許多學(xué)者對(duì)具有周期性波動(dòng)傳染病的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究[8-11].研究成果主要集中在計(jì)算模型的閾值，利用閾值分析周期解的存在性和穩(wěn)定性，討論系統(tǒng)的一致持久性和滅絕性.國(guó)內(nèi)對(duì)出血熱的研究除了臨床和統(tǒng)計(jì)學(xué)方面[12]，還可以建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)而從數(shù)值模擬方面進(jìn)行分析預(yù)測(cè)[13-15].本文中，筆者依據(jù)出血熱具有周期流行的特點(diǎn)，在建立模型時(shí)考慮周期系數(shù)，建立一個(gè)非自治模型.

1 模型建立

根據(jù)圖1中的倉(cāng)室圖建立如下模型：

(1)

圖1 模型倉(cāng)室圖Fig.1 Compartment Diagram of Model

其中S(t),I(t)分別表示t時(shí)刻鼠群中的易感者、染病者.N(t)表示易感鼠和染病鼠的全體，即N(t)=S(t)+I(t)，X(t)表示已具有傳染性的出血熱病毒(病鼠尿液污染或被病鼠啃咬過(guò)的食物等含有的病毒)，A(t)為易感鼠的增長(zhǎng)率，β1(t)為帶病鼠對(duì)易感鼠的感染率，β2(t)為鼠釋放的病毒對(duì)易感鼠的感染率，a(t)為染病鼠出血熱病毒釋放率，μ(t)為鼠的自然死亡率，σ(t)為病毒的清除率.A(t)，β1(t)，β2(t)，μ(t)，a(t)，σ(t)是連續(xù)的正的ω-周期函數(shù)，ω>0.

顯然，系統(tǒng)(1)的解是非負(fù)的.

引理1系統(tǒng)(1)的所有解最終有界且一致有界.

證由模型(1)易知

(2)

易證(2)有一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的正周期解

(3)

即

(4)

因此,(1)最終有界，由(1)中第3式可得X(t)最終有界.

對(duì)一個(gè)連續(xù)的ω-周期函數(shù)，定義

(5)

的基解矩陣,r(ΦB(ω))為ΦB(ω)的譜半徑.由Perron-Frobenius引理，r(ΦB(ω))是ΦB(ω)的特征值，對(duì)應(yīng)特征向量v*>0.

顯然E0(t)=(N*(t),0,0)是模型(1)的無(wú)病周期解.下面根據(jù)文獻(xiàn)[17]，定義模型(1)的基本再生數(shù).定義

由文獻(xiàn)[17]，定義模型(1)的基本再生數(shù)為R0=r(L)，其中r(L)代表算子L的譜半徑.

定理1[17]R0滿足如下結(jié)論:

1)R0=1?r(ΦF-V(ω))=1;

2)R0>1?r(ΦF-V(ω))>1;

3)R0<1?r(ΦF-V(ω))<1.

因此，當(dāng)R0<1時(shí)模型(1)的無(wú)病周期解E0(t)=(N*(t),0,0)是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)R0>1時(shí)不穩(wěn)定.

2 疾病的滅絕和持久性

本節(jié)證明當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病周期解E0(t)=(N*(t),0,0)全局漸近穩(wěn)定，說(shuō)明疾病消失；當(dāng)R0>1時(shí)，則疾病持續(xù)存在.

定理2當(dāng)R0<1時(shí)，無(wú)病周期解E0(t)=(N*(t),0,0)全局漸近穩(wěn)定，當(dāng)R0>1時(shí)，它是不穩(wěn)定的.

證由定理1，如果R0>1,則E0(t)=(N*(t),0,0)不穩(wěn)定;如果R0<1，則E0(t)=(N*(t),0,0)局部漸近穩(wěn)定，下面證明當(dāng)R0<1時(shí)，E0(t)=(N*(t),0,0)全局吸引.

由(4)知，?η>0,存在T>0，當(dāng)t>T時(shí)，有N(t)≤N*(t)+η.當(dāng)t>T時(shí)，由(1)得

考慮如下系統(tǒng)：

記M?={(S0,I0,X0)∈?Y0:Pm(S0,I0,X0)∈?Y0,?m≥0}.

下面證明

M?={(S,0,0):S≥0}.

(6)

顯然M??{(S,0,0):S≥0}.由模型(1)的第1式知S(t)>0,?t>0.對(duì)任意的(S0,I0,X0)∈?Y0{(S,0,0):S≥0},若I0=0，X0>0，因?yàn)?/p>

(7)

顯然,M?中的每個(gè)軌道收斂于E0，因此E0在M?中是非循環(huán)的.通過(guò)文獻(xiàn)[18]中定理1.3.1和注1.3.1得P相對(duì)于(Y0,?Y0)一致持續(xù)，由文獻(xiàn)[18]的定理3.1.1得(1)的解關(guān)于(X′,?X0′)是一致持續(xù)的.

b(t)=β1(t)I(t)+β2(t)X(t)+μ(t),與S*(0)=0,矛盾.

3 數(shù)值模擬

當(dāng)q1=1.5×10-9,q2=2.4×10-9時(shí)，得R0=0.168 5<1,由定理2知，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(2.4×105,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的，說(shuō)明疾病絕滅.圖2的a,b,c表示模型(1)的解隨時(shí)間變化的曲線圖.

當(dāng)q1=1.5×10-7,q2=2.4×10-7時(shí)，得R0=8.797 1>1.由圖3的a,b,c可知，疾病持續(xù)生存，系統(tǒng)的解趨向于一個(gè)正周期解，顯示出血熱疾病是持續(xù)存在的，與定理3結(jié)論一致，并且模型的解收斂到一個(gè)周期為12的正周期解.

圖2 當(dāng)R0=0.168 5<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，疾病絕滅Fig.2 When R0=0.1685<1,the Diseas-free Peiodic Solution Is Glbally Asymptotically Stable and the Disease Dies Out

圖3 當(dāng)R0=8.797 1>1時(shí)，系統(tǒng)的解趨向于一個(gè)正周期解Fig.3 When R0=8.797 1>1 System Solution Tends to a Positive Periodis Solution

4 結(jié) 語(yǔ)

根據(jù)流行性出血熱季節(jié)性爆發(fā)的特點(diǎn)，研究了一個(gè)周期的出血熱疾病傳播模型，模型的閾值通過(guò)積分算子的譜半徑來(lái)定義，證明了無(wú)病周期解的全局穩(wěn)定性和疾病的持久性.最后通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果.數(shù)值模擬的結(jié)果表明，隨著帶病鼠對(duì)易感鼠的感染率，鼠釋放的病毒對(duì)易感鼠的感染率的增加，出血熱疾病會(huì)持續(xù)存在，疾病呈現(xiàn)周期震蕩，因此清理環(huán)境.減少環(huán)境中的出血熱病毒對(duì)控制出血熱疾病是有利的.