一個力學結論引發(fā)的教學思考與探索
——臨界速度公式的推導與應用

重慶 楊天才

1 問題呈現(xiàn)

圖1

L

O

m

h

圖2

圖3

2 臨界速度公式的推導

做勻速圓周運動的物體應受到大小恒定的合外力F提供的向心力作用，且合外力F與速度方向垂直，始終沿半徑指向圓心(如圖4所示)；如果物體做變速圓周運動，即線速度的大小和方向都在發(fā)生變化，其受力的特點是：合外力F的法向分力Fn，方向始終與速度方向垂直，它的作用效果只改變線速度的方向，不改變線速度的大小(即平常所說的向心力)，合外力F的切向分力Fτ，方向始終與速度方向平行，它只起改變線速度大小的作用(如圖5所示)。

圖4

圖5

長為L的輕繩一端拴一個質量為m的小球繞另一固定端點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，小球在圓心等高線上方某點C的受力分析如圖6所示，顯然Fn=T+mgsinθ提供向心力，只改變線速度的方向，使小球做圓周運動，F(xiàn)τ=mgcosθ，提供切向力，與線速度方向相反，只改變線速度的大小，所以小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，即小球從最高點A運動到最低點B，線速度逐漸變大，小球做加速圓周運動；從B運動A線速度逐漸變小，小球做減速圓周運動。只有在最高點和最低點才滿足合外力提供向心力，在其他點都不成立。

圖6

3 用臨界速度公式解決問題

3.1 圓周運動接拋體運動問題

【例1】如圖7所示，物塊m(可視為質點)從半徑為R的光滑固定半球面頂端無初速的滑下，求物塊m脫離球面處距地面的高度。

圖7

圖8

3.2 拋體運動接圓周運動問題

圖9

圖10

3.3 自由落體運動接圓周運動問題

【例3】如圖11所示，將一質量為m的小球用長為L的輕繩系住，繩的另一端固定在O點，現(xiàn)讓繩子剛好繃直且與水平方向成30°夾角，釋放小球，求小球運動到最低點時的速度大小。

圖11

圖12

3.4 等效場臨界速度問題

【例4】一長為L的絕緣絲線上端固定，下端拴一質量為m的帶電小球，小球所帶電荷量為q，將它置于水平向左的勻強電場中，當細線偏角為θ=30°時，小球處于平衡狀態(tài)，如圖13所示，試求：

圖13

(1)勻強電場的電場強度E；

(2)若將小球拉至右側水平位置P處，設電場范圍足夠大，問小球能否擺到左側與P等高的P′處，如果能夠擺到P′處，求小球位于該處時的速度，若不能，求擺動到左側能達到的最大高度；

(3)仍將小球拉至右側水平位置P處，小球能否完成完整的圓周運動呢，如果不能，脫離處在哪。

圖14

3.5 脫離軌道后最高點問題

【例5】如圖15所示，輕質彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質量為5m的物體由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為l，現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，物塊P與AB間的動摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運動，重力加速度大小為g。若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質量的取值范圍。

圖15

4 結束語

在解題時，凡是物體在圓心等高線上某點做圓周運動的情況，我們首先要判斷物體的速度是否達到臨界速度，否則物體不再繼續(xù)做圓周運動，而是做斜拋運動。

學生只有了解了知識的形成過程，才能達成有意義的建構，才能達到深度思維所要求的遷移。對于豎直平面內(nèi)的繩連體的圓周運動問題，既涉及運動和力的關系，又涉及功和能的變化，本文通過推導圓心等高線以上各點的臨界速度，深入剖析幾個典型例題，這不僅有助于提高教學效果，也有助于增強學生學習的積極性和主動性。