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      多向打開:尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系

      2022-05-07 23:24:20周孝勇黃紅成
      關(guān)鍵詞:探索規(guī)律

      周孝勇 黃紅成

      摘要:“分數(shù)的基本性質(zhì)”在數(shù)學知識序列中屬于具有承上啟下作用的核心知識。教學時如果既關(guān)注分數(shù)的意義,又聯(lián)通度量單位變化的意義,可以使原來略顯單薄的知識變得豐富且生動,還能夠串聯(lián)起多個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系?;诖耍斗謹?shù)的基本性質(zhì)》一課教學展現(xiàn)了規(guī)律教學的特點,讓學生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程;展現(xiàn)了核心知識的意義和價值,讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程。

      關(guān)鍵詞:《分數(shù)的基本性質(zhì)》;探索規(guī)律;構(gòu)建知識

      本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學數(shù)學核心知識建構(gòu)的教學研究”(編號:DHA200370)的階段性研究成果?!胺謹?shù)的基本性質(zhì)”在數(shù)學知識序列中屬于具有承上啟下作用的核心知識,在學生后繼學習中應(yīng)用頗多。如何培養(yǎng)學生從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光?如何培養(yǎng)學生驗證猜想和運用規(guī)律的意識?讓學生經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”過程,具有重要的教學意義,也是數(shù)學核心知識教學的常用策略。同時,這一知識與之前學習的分數(shù)、除法等知識,與今后將要學習的比的基本性質(zhì)等知識,都有著密切的聯(lián)系。所以,教學時需要將這些知識進行前后勾連。另外,從分數(shù)單位的角度來看,它與單位轉(zhuǎn)化的方法是一致的,教學時如果既關(guān)注分數(shù)的意義,又聯(lián)通度量單位變化的意義,可以使原來略顯單薄的知識變得豐富且生動,還能夠串聯(lián)起多個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

      《分數(shù)的基本性質(zhì)》一課的教學內(nèi)容是蘇教版小學數(shù)學五年級下冊第66—67頁的例11、例12、“練一練”和第69頁的練習十第1—2題。教學目標確定為:(1)自主探究、全面理解分數(shù)的基本性質(zhì),能借助分數(shù)的基本性質(zhì)進行分數(shù)的改寫;(2)學會多角度思考,能充分運用新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系解決問題;(3)發(fā)展初步的歸納、類比能力,養(yǎng)成嚴謹細致的學習態(tài)度。教學重難點是:探究和理解分數(shù)的基本性質(zhì),感悟分數(shù)的基本性質(zhì)與分數(shù)單位的關(guān)系。教學過程及評析如下:

      一、教學過程

      (一)基于舊知,感知規(guī)律

      師(出示圖1)在前面的《動手做》中,我們認識了“分數(shù)墻”。你能在這個“分數(shù)墻”上看到哪些分數(shù)?

      生12、13、14……

      師想一想,什么在變?什么沒變?

      生分母逐漸變大,分子都是1。

      生分數(shù)的大小也變了,變得越來越小。

      師(指第4行)再看這一行,你能看到哪些分數(shù)?

      生我看到了14、24、34、44。

      師屏幕顯示:14、24、34、44再看看這些分數(shù),說說你的發(fā)現(xiàn)。

      生分母沒有變化,分子越來越大,分數(shù)也變得越來越大。

      師看來分數(shù)的分母變化或分子變化都會引起分數(shù)的大小變化。

      師在“分數(shù)墻”上找一找,有與12相等的分數(shù)嗎?

      生24=36=48=12。

      師雖然它們的分子與分母都發(fā)生了變化,但是從“分數(shù)墻”上,我們一眼就可以看出它們是相等的。想一想,與12相等的分數(shù)可能還有哪些?

      生816、1020……

      師看來還真不少,但大家說這些分數(shù)和12相等,光靠直覺是不行的,還需要驗證一下。如果不借助“分數(shù)墻”,你有什么辦法來確定它們與12是否相等呢?

      生我想通過畫圖或折紙來比一比。

      生我想化成小數(shù)后比較大小。

      生我想到了商不變的規(guī)律。

      師有這么多辦法,你們真會思考!

      [思考:從分數(shù)的意義出發(fā),學生一般能發(fā)現(xiàn)分數(shù)的大小變化與分子、分母的變化有聯(lián)系;在發(fā)現(xiàn)分子或分母有規(guī)律的變化中,能初步感悟函數(shù)思想,并對等值分數(shù)有了初步的直覺判斷。其中,在變化中發(fā)現(xiàn)分數(shù)大小不變的特例是本環(huán)節(jié)的要點。]

      (二)初步探索,發(fā)現(xiàn)規(guī)律

      1.自主探究,提出猜想

      師請先選擇一個分數(shù),用你剛才說的方法,比如折一折、畫一畫或者算一算,來驗證它和12是相等的。

      (在學生操作之后,組織交流。教師相機板書。)

      生我用的是折長方形紙的方法。先對折,就是把它平均分成了2份;然后涂出1份,涂色部分就是這個長方形的12。繼續(xù)對折3次,我把它平均分成了16份,這時涂色部分就是這個長方形的816。所以,12=816。

      師用折紙的方法來驗證,比較直觀。

      生我是畫圖來驗證12和510是否相等的。先畫10個小正方形,再把它們平均分成2份,涂出它們的12,就是5個;再把它們平均分成10份,這時涂色部分就是它們的510,還是5個。所以,12和510是相等的。

      師用畫示意圖的方法來驗證,看上去很清晰,也驗證了結(jié)果是相等的。

      生我是化小數(shù)來驗證的。12=1÷2=0.5,1020=10÷20=0.5,所以12和1020是相等的。

      師化成小數(shù)再比較大小,很簡潔。

      生我是用商不變的規(guī)律來驗證的。根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系,先把這幾個分數(shù)改寫為除法算式,12=1÷2,1224=12÷24,依據(jù)商不變的規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)1÷2=12÷24,兩道算式相等,所以兩個分數(shù)也是相等的。

      師能聯(lián)系以前學習過的知識來驗證,你真會思考!通過同學們的探索,我們可以發(fā)現(xiàn)12的分子和分母都變了,但是大小卻可以不變。(指向板書區(qū)域)這里的12的分子和分母是隨便變化的嗎?你能發(fā)現(xiàn)這些分數(shù)變化有什么規(guī)律嗎?

      生12=1×22×2=24。

      生12=1×32×3=36。

      ……

      師結(jié)合剛才驗證的過程,再看一看這些分數(shù),你能概括一下它們的變化規(guī)律嗎?先想一想,再和同桌說一說。

      生12的分子和分母同時乘一個相同的數(shù),分數(shù)的大小不變。

      生分數(shù)的分子和分母同時乘一個相同的數(shù),分數(shù)的大小不變。

      師比一比這兩位同學的說法,哪一種更準確?

      生第一種。

      師用由12發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來概括所有分數(shù),顯然是不行的,但是我們可以把它先當作一個猜想。有了猜想就必然要驗證,你認為可以怎樣驗證?

      生我覺得可以多舉一些不同分數(shù)的例子試一試。

      生我覺得乘相同的數(shù)時也要多試幾個數(shù)。

      師既要選擇不同的分數(shù),又要考慮乘相同的數(shù)時多試幾個,你們真會思考!請大家每人再舉一個例子來驗證這個猜想。

      [思考:基于分數(shù)的意義,借助畫圖、折紙等方式直觀呈現(xiàn),將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù),或者通過商不變的規(guī)律進行推理,多角度地說明這些分數(shù)與12相等,有利于學生得出科學的數(shù)學結(jié)論,形成嚴謹?shù)乃季S習慣。]

      2.豐富素材,驗證猜想

      師我們來交流一下大家驗證猜想的過程。

      生我選的是一個真分數(shù)。45=0.8,分子、分母同時乘2后是810,也等于0.8,說明這個猜想是對的。

      生我選的是一個假分數(shù)。1110=11÷10,110100=110÷100,根據(jù)商不變的規(guī)律,它們的商是相等的,都是1.1。

      師考慮了兩種不同類型的分數(shù),你們的想法比較全面。還有特別的例子嗎?

      生有。我選擇的是66,分子、分母同時乘5,得到3030,它們都等于1。

      師這個例子是有點特別。有不符合這一規(guī)律的例子嗎?

      生沒有。

      師既然找不到反例,我們就基本上可以說前面發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律是正確的。

      [思考:舉出更多的例子,且這些例子盡可能包含所有的類型,以此進一步驗證先前的猜想。同時,變換思考的角度,引導學生尋找猜想的反例,來說明這個猜想是正確的。本環(huán)節(jié),帶領(lǐng)學生經(jīng)歷“驗證猜想—得出結(jié)論”的過程,以形成科學、嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。]

      (三)全面探索,揭示規(guī)律

      1.回顧方法,拓展猜想

      師剛才,我們在“分數(shù)墻”上發(fā)現(xiàn)了許多與12相等的分數(shù),然后猜想、驗證,得到結(jié)論。你能由這個結(jié)論出發(fā)繼續(xù)猜想嗎?先自己想一想,再和大家交流一下。

      生我猜想,分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù),分數(shù)的大小不會發(fā)生變化。

      生如果分數(shù)的分子和分母同時加上一個相同的數(shù),分數(shù)的大小也可能不變。

      生我們還可以試試分數(shù)的分子和分母同時減去一個相同的數(shù),看看分數(shù)的大小會不會發(fā)生變化。

      師一個結(jié)論引發(fā)了我們這么多的猜想,你們很會思考!

      [思考:規(guī)律的發(fā)現(xiàn)離不開猜想,而猜想不是憑空產(chǎn)生的,變換已有結(jié)論中的部分要素是猜想的常用方法。這里,讓學生提出有價值的新猜想,旨在打開學生的思路,為全面探索分數(shù)的基本性質(zhì)做準備。]

      2.自主驗證,集體交流

      師請每個小組任選一個猜想,舉幾個例子驗證一下。

      (在學生分組驗證之后,組織交流。教師相機板書。)

      生我驗證的是第一個猜想。我把1025的分子與分母同時除以5,得到25。1025等于0.4,25也等于0.4,它們是相等的。

      生我舉的例子也可以說明這個猜想是對的。我把1812的分子和分母同時除以6,得到32,化成小數(shù)都等于1.5。

      師這兩個例子說明了第一個猜想是正確的。有說明這個猜想不正確的嗎?

      生沒有。它應(yīng)當是正確的。

      生我的例子驗證了第二個猜想是不正確的。我先寫23,把它的分子、分母同時加上1,得到34。23等于0.666…,而34等于0.75,兩個分數(shù)不相等。

      師只要舉出一個反例,就可以推翻一個結(jié)論。第二個猜想被我們否定了,那第三個猜想呢?

      生我把59的分子、分母同時減去4,得到15,這兩個分數(shù)不相等。

      生老師,我找到了一個特例:55的分子和分母同時加上1,得到66,還是相等的;同時減去1,也相等。

      師這個例子還真的相等。對于這個例子,你有什么想說的?

      生這只是一個特例,可其他的分數(shù)都不行,照樣不能說明后兩個猜想成立。

      [思考:通過從正、反兩個方面驗證猜想,引導學生學會全面地思考問題,養(yǎng)成良好的思維習慣。]

      3.總結(jié)規(guī)律,溝通聯(lián)系

      師通過剛才動手動腦,舉例驗證,我們知道:分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù),分數(shù)的大小也不變。與之前的結(jié)論合起來,可以怎樣說?

      生分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù),分數(shù)的大小不變。

      師這里,“相同的數(shù)”是否要考慮特殊情況?

      生“相同的數(shù)”不能為0。

      師現(xiàn)在誰能用簡潔、準確的語言把我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說一說?

      生分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)(0除外),分數(shù)的大小不變。

      師這是分數(shù)知識中的重要規(guī)律,叫作分數(shù)的基本性質(zhì)。(板書課題)你是否有一種與它似曾相識的感覺?

      生有點像除法中商不變的規(guī)律。

      師是的,一起來看。(出示四年級教材中的“商不變的規(guī)律”)小聲地讀一讀。想一想它們之間的聯(lián)系,然后同桌說一說。

      生根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系,分子可以看成被除數(shù),分母可以看成除數(shù),那么,分子和分母同時乘或除以相同的數(shù),就相當于被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)。

      師找到了這樣的聯(lián)系,可以幫助我們更加深刻地理解新知識。學習了分數(shù)的基本性質(zhì),我們可以用它進行一些簡單的判斷,解決一些簡單的實際問題。

      [思考:借助分數(shù)與除法的關(guān)系,使“商不變的規(guī)律”與“分數(shù)的基本性質(zhì)”前后勾連,幫助學生從不同的角度理解新知識。]

      (四)練習運用,理解規(guī)律

      1.判斷等式正誤

      師下面的等式成立嗎?成立的在后面畫“√”,不成立的畫“×”。

      出示第(1)題:27=2×27×2=414()。

      生27的分子、分母都乘2,它的大小不變,所以這一題是對的。

      師看來這個分數(shù)的變化過程是符合分數(shù)的基本性質(zhì)的。

      出示第(2)題:49=4÷29÷3=23()。

      生這個等式不成立,不能分子除以2、分母除以3。要么同時除以2,要么同時除以3,這樣分數(shù)的大小才不變。

      師他關(guān)注到了要除以一個“相同的數(shù)”。

      出示第(3)題:45=4÷25×2=210? ()。

      生這個等式不成立,不能分子除以2、分母乘2,應(yīng)該分子和分母同時乘或同時除以一個數(shù)。

      師他關(guān)注到了要“同時乘或除以”。

      出示第(4)題:510=5×a10×a()。

      生我認為是對的,因為分子、分母同時乘a。

      生我不同意,這里的a有可能為0。

      師通過爭辯,我們發(fā)現(xiàn)需要關(guān)注“0除外”。

      2.運用規(guī)律填空

      師出示題目:15=()15,918=3()要使這兩個等式成立,可以怎樣填?

      生第一個等式里填3,分母由5到15乘了3,分子1也要同時乘3。

      生第二個等式里填6,分子由9到3除以了3,所以分母18也要除以3。

      師同學們都能根據(jù)已知的分子或分母的變化,再借助分數(shù)的基本性質(zhì)解決問題。

      3.用直線上的點表示分數(shù)

      師出示12、23、1530、400600四個分數(shù)和圖2分數(shù)也可以用直線上的點表示,找一找這些點在哪里,看看誰的方法又準又快。

      生12就等于0.5,所以它在0和1的中間。

      師這位同學利用了化小數(shù)的方法,還有不一樣的方法嗎?

      生我把0—1這一段長度平均分成兩份,中間的點就表示12。

      師他根據(jù)分數(shù)的意義找到了12。

      生我把0—1這一段長度平均分成3份,從左向右看,表示這樣的2份的點就是23。

      師他也根據(jù)分數(shù)的意義找到了23。

      生我根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)1530和12是相等的,從而找到了1530。如果平均分成30份,畫起來很不方便。

      師看來利用分數(shù)的基本性質(zhì)可以更簡便一些。

      生我也根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)400600和23是相等的。

      ……

      師看來,運用分數(shù)的基本性質(zhì)可以讓我們更快、更準地解決這類問題。

      [思考:變換不同的要素,讓學生體會分數(shù)的基本性質(zhì)中各個關(guān)鍵詞的意義,進而從整體上把握這一規(guī)律。通過在數(shù)軸上找分數(shù),學生體會到分數(shù)與直線上點的對應(yīng)關(guān)系以及分數(shù)基本性質(zhì)的價值,進一步認識了等值分數(shù),更深刻地理解了分數(shù)的基本性質(zhì)。]

      (五)課堂總結(jié),解釋規(guī)律

      師通過今天的學習,你能與大家分享一下你的收獲嗎?

      生我知道了分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),分數(shù)的大小不變。

      生我知道了,遇到問題可以先猜想,然后驗證,最后形成結(jié)論;根據(jù)得到的結(jié)論,還可以提出新的猜想。

      師通過今天的學習,同學們不但習得了分數(shù)的基本性質(zhì)這一知識,還完整經(jīng)歷了探究數(shù)學規(guī)律的過程。

      師(出示涂上分數(shù)單位的教材例題圖,見圖3)讓我們再來看一看:之前畫圖研究與12相等的分數(shù)時,分數(shù)的分母乘2,什么變了呢?

      生平均分的份數(shù)變成了4份。

      生分數(shù)單位由12變成了14。

      師分子乘2,又是什么變了呢?

      生表示這樣的份數(shù)變了,也就是分數(shù)單位的個數(shù)變了。

      師那么不變的又是什么?

      生分數(shù)的大小不變。

      生我感覺這與單位互化的方法差不多。

      師從分數(shù)單位變化的角度來看分數(shù)的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)它與之前學過的其他知識的聯(lián)系,轉(zhuǎn)化的方法也是一致的。其他兩幅圖也是這樣變化的嗎?有興趣的同學好好研究研究,感受分數(shù)的基本性質(zhì)背后的奧秘。

      [思考:與整數(shù)一樣,分數(shù)可以看成是由多個計數(shù)單位累加得到的。認識分數(shù)的基本性質(zhì)之后,再次借助圖形,引導學生從分數(shù)單位的視角觀察,認識到分數(shù)的基本性質(zhì)可以看成分數(shù)單位的細分與合并——在此過程中,分數(shù)單位的個數(shù)隨之發(fā)生變化,但是分數(shù)的大小不變。這一過程揭示了分數(shù)的基本性質(zhì)中“變與不變”的重要內(nèi)涵。]

      二、教學評析

      核心知識的教學需要展現(xiàn)核心知識的意義和價值,數(shù)學規(guī)律的教學需要讓學生經(jīng)歷規(guī)律發(fā)現(xiàn)、概括、驗證等探索過程。下面,就從這兩個維度來審視和品味這節(jié)課的教學。

      (一)展現(xiàn)規(guī)律教學的特點,讓學生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程

      首先,這節(jié)課給學生提供了探索規(guī)律的學習場。學生的學習環(huán)境是需要精心設(shè)計的,只有在合宜的學習環(huán)境中,學生才可能獲得真實的收獲和發(fā)展。審視這節(jié)課的學習場,里面有教師結(jié)合學生的已有經(jīng)歷和已有知識(“分數(shù)墻”)精心創(chuàng)設(shè)的問題情境,能夠讓學生在熟悉的問題情境中產(chǎn)生學習的內(nèi)驅(qū)力和傾向,并結(jié)合已有的知識經(jīng)驗進行規(guī)律的探索與學習;里面有學生主動探索規(guī)律的學習時空,學生多次經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—驗證猜想—概括規(guī)律”的過程,有效地培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

      其次,這節(jié)課也體現(xiàn)了規(guī)律教學的科學性??梢哉f,小學階段的數(shù)學規(guī)律大多采用不完全歸納的方法,讓學生通過觀察對比、分析推理等方式獲得,這節(jié)課的教學大抵也是如此。這樣教學,迎合了小學生的認知特點和學習需要,使得“分數(shù)的基本性質(zhì)”的得出自然而然。而更難能可貴的是,這節(jié)課還采用了找反例和特例的方法來體現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的科學性和數(shù)學教學的嚴謹性。比如,在完善結(jié)論階段,詢問學生:“有不符合這一規(guī)律的例子嗎?”因為沒有與之相悖的例子,從而顯現(xiàn)了結(jié)論的科學性,培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。

      (二)展現(xiàn)核心知識的意義和價值,讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程

      其一,凸顯了核心知識的特點。遷移能力強是數(shù)學核心知識的特點之一,數(shù)學核心知識的教學需要凸顯這一特點。這節(jié)課中,在學生初步概括出“分數(shù)的分子和分母同時乘一個(不為0)的數(shù),分數(shù)的大小不變”的規(guī)律之后,還讓學生拓展出“分數(shù)的分子和分母同時除以、加上和減去一個(不為0)的數(shù),分數(shù)的大小不變”的猜想,在完善“分數(shù)的基本性質(zhì)”的同時,也培養(yǎng)了學生的遷移意識和思維能力,更體現(xiàn)了數(shù)學核心知識的特點。

      其二,彰顯核心知識的作用。數(shù)學核心知識在知識序列中一般處于關(guān)聯(lián)前后知識的位置,發(fā)揮著承上啟下的構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的作用。數(shù)學教學,如果能讓學生將彼此相關(guān)的概念、性質(zhì)、規(guī)律等整合起來分析和解決問題,則有益于學生自主構(gòu)建知識體系。這節(jié)課中,在概括出“分數(shù)的基本性質(zhì)”后,新知的教學并沒有偃旗息鼓,而是繼續(xù)讓學生自主地將商不變的規(guī)律融入其中,進行知識的前后對比和本質(zhì)挖掘。這樣,不僅讓學生認識到分數(shù)的基本性質(zhì)和商不變的規(guī)律的關(guān)系和實質(zhì),也幫助學生實現(xiàn)了數(shù)學核心知識的自主建構(gòu)。

      參考文獻:

      [1] 張奠宙,孔凡哲,黃建弘,等.小學數(shù)學研究[M].北京:高等教育出版社,2010.

      [2] 劉正松.讓核心知識自然生長——《分數(shù)的基本性質(zhì)》教學實踐及思考[J].教育研究與評論(小學教育教學),2015(6).

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