多向打開：尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系

周孝勇 黃紅成

摘要：“分數(shù)的基本性質(zhì)”在數(shù)學知識序列中屬于具有承上啟下作用的核心知識。教學時如果既關(guān)注分數(shù)的意義，又聯(lián)通度量單位變化的意義，可以使原來略顯單薄的知識變得豐富且生動，還能夠串聯(lián)起多個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系?；诖耍斗謹?shù)的基本性質(zhì)》一課教學展現(xiàn)了規(guī)律教學的特點，讓學生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程;展現(xiàn)了核心知識的意義和價值，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程。

關(guān)鍵詞：《分數(shù)的基本性質(zhì)》;探索規(guī)律;構(gòu)建知識

本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學數(shù)學核心知識建構(gòu)的教學研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果?！胺謹?shù)的基本性質(zhì)”在數(shù)學知識序列中屬于具有承上啟下作用的核心知識，在學生后繼學習中應(yīng)用頗多。如何培養(yǎng)學生從現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼光？如何培養(yǎng)學生驗證猜想和運用規(guī)律的意識？讓學生經(jīng)歷知識“再創(chuàng)造”過程，具有重要的教學意義，也是數(shù)學核心知識教學的常用策略。同時，這一知識與之前學習的分數(shù)、除法等知識，與今后將要學習的比的基本性質(zhì)等知識，都有著密切的聯(lián)系。所以，教學時需要將這些知識進行前后勾連。另外，從分數(shù)單位的角度來看，它與單位轉(zhuǎn)化的方法是一致的，教學時如果既關(guān)注分數(shù)的意義，又聯(lián)通度量單位變化的意義，可以使原來略顯單薄的知識變得豐富且生動，還能夠串聯(lián)起多個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

《分數(shù)的基本性質(zhì)》一課的教學內(nèi)容是蘇教版小學數(shù)學五年級下冊第66—67頁的例11、例12、“練一練”和第69頁的練習十第1—2題。教學目標確定為：（1）自主探究、全面理解分數(shù)的基本性質(zhì)，能借助分數(shù)的基本性質(zhì)進行分數(shù)的改寫;（2）學會多角度思考，能充分運用新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系解決問題;（3）發(fā)展初步的歸納、類比能力，養(yǎng)成嚴謹細致的學習態(tài)度。教學重難點是：探究和理解分數(shù)的基本性質(zhì)，感悟分數(shù)的基本性質(zhì)與分數(shù)單位的關(guān)系。教學過程及評析如下：

一、教學過程

（一）基于舊知，感知規(guī)律

師（出示圖1）在前面的《動手做》中，我們認識了“分數(shù)墻”。你能在這個“分數(shù)墻”上看到哪些分數(shù)？

生12、13、14……

師想一想，什么在變？什么沒變？

生分母逐漸變大，分子都是1。

生分數(shù)的大小也變了，變得越來越小。

師（指第4行）再看這一行，你能看到哪些分數(shù)？

生我看到了14、24、34、44。

師屏幕顯示：14、24、34、44再看看這些分數(shù)，說說你的發(fā)現(xiàn)。

生分母沒有變化，分子越來越大，分數(shù)也變得越來越大。

師看來分數(shù)的分母變化或分子變化都會引起分數(shù)的大小變化。

師在“分數(shù)墻”上找一找，有與12相等的分數(shù)嗎？

生24=36=48=12。

師雖然它們的分子與分母都發(fā)生了變化，但是從“分數(shù)墻”上，我們一眼就可以看出它們是相等的。想一想，與12相等的分數(shù)可能還有哪些？

生816、1020……

師看來還真不少，但大家說這些分數(shù)和12相等，光靠直覺是不行的，還需要驗證一下。如果不借助“分數(shù)墻”，你有什么辦法來確定它們與12是否相等呢？

生我想通過畫圖或折紙來比一比。

生我想化成小數(shù)后比較大小。

生我想到了商不變的規(guī)律。

師有這么多辦法，你們真會思考！

[思考：從分數(shù)的意義出發(fā)，學生一般能發(fā)現(xiàn)分數(shù)的大小變化與分子、分母的變化有聯(lián)系;在發(fā)現(xiàn)分子或分母有規(guī)律的變化中，能初步感悟函數(shù)思想，并對等值分數(shù)有了初步的直覺判斷。其中，在變化中發(fā)現(xiàn)分數(shù)大小不變的特例是本環(huán)節(jié)的要點。]

（二）初步探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.自主探究，提出猜想

師請先選擇一個分數(shù)，用你剛才說的方法，比如折一折、畫一畫或者算一算，來驗證它和12是相等的。

（在學生操作之后，組織交流。教師相機板書。）

生我用的是折長方形紙的方法。先對折，就是把它平均分成了2份;然后涂出1份，涂色部分就是這個長方形的12。繼續(xù)對折3次，我把它平均分成了16份，這時涂色部分就是這個長方形的816。所以，12=816。

師用折紙的方法來驗證，比較直觀。

生我是畫圖來驗證12和510是否相等的。先畫10個小正方形，再把它們平均分成2份，涂出它們的12，就是5個;再把它們平均分成10份，這時涂色部分就是它們的510，還是5個。所以，12和510是相等的。

師用畫示意圖的方法來驗證，看上去很清晰，也驗證了結(jié)果是相等的。

生我是化小數(shù)來驗證的。12=1÷2=0.5，1020=10÷20=0.5，所以12和1020是相等的。

師化成小數(shù)再比較大小，很簡潔。

生我是用商不變的規(guī)律來驗證的。根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，先把這幾個分數(shù)改寫為除法算式，12=1÷2，1224=12÷24，依據(jù)商不變的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)1÷2=12÷24，兩道算式相等，所以兩個分數(shù)也是相等的。

師能聯(lián)系以前學習過的知識來驗證，你真會思考！通過同學們的探索，我們可以發(fā)現(xiàn)12的分子和分母都變了，但是大小卻可以不變。（指向板書區(qū)域）這里的12的分子和分母是隨便變化的嗎？你能發(fā)現(xiàn)這些分數(shù)變化有什么規(guī)律嗎？

生12=1×22×2=24。

生12=1×32×3=36。

……

師結(jié)合剛才驗證的過程，再看一看這些分數(shù)，你能概括一下它們的變化規(guī)律嗎？先想一想，再和同桌說一說。

生12的分子和分母同時乘一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

生分數(shù)的分子和分母同時乘一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

師比一比這兩位同學的說法，哪一種更準確？

生第一種。

師用由12發(fā)現(xiàn)的結(jié)論來概括所有分數(shù)，顯然是不行的，但是我們可以把它先當作一個猜想。有了猜想就必然要驗證，你認為可以怎樣驗證？

生我覺得可以多舉一些不同分數(shù)的例子試一試。

生我覺得乘相同的數(shù)時也要多試幾個數(shù)。

師既要選擇不同的分數(shù)，又要考慮乘相同的數(shù)時多試幾個，你們真會思考！請大家每人再舉一個例子來驗證這個猜想。

[思考：基于分數(shù)的意義，借助畫圖、折紙等方式直觀呈現(xiàn)，將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或者通過商不變的規(guī)律進行推理，多角度地說明這些分數(shù)與12相等，有利于學生得出科學的數(shù)學結(jié)論，形成嚴謹?shù)乃季S習慣。]

2.豐富素材，驗證猜想

師我們來交流一下大家驗證猜想的過程。

生我選的是一個真分數(shù)。45=0.8，分子、分母同時乘2后是810，也等于0.8，說明這個猜想是對的。

生我選的是一個假分數(shù)。1110=11÷10，110100=110÷100，根據(jù)商不變的規(guī)律，它們的商是相等的，都是1.1。

師考慮了兩種不同類型的分數(shù)，你們的想法比較全面。還有特別的例子嗎？

生有。我選擇的是66，分子、分母同時乘5，得到3030，它們都等于1。

師這個例子是有點特別。有不符合這一規(guī)律的例子嗎？

生沒有。

師既然找不到反例，我們就基本上可以說前面發(fā)現(xiàn)的這個規(guī)律是正確的。

[思考：舉出更多的例子，且這些例子盡可能包含所有的類型，以此進一步驗證先前的猜想。同時，變換思考的角度，引導學生尋找猜想的反例，來說明這個猜想是正確的。本環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學生經(jīng)歷“驗證猜想—得出結(jié)論”的過程，以形成科學、嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。]

（三）全面探索，揭示規(guī)律

1.回顧方法，拓展猜想

師剛才，我們在“分數(shù)墻”上發(fā)現(xiàn)了許多與12相等的分數(shù)，然后猜想、驗證，得到結(jié)論。你能由這個結(jié)論出發(fā)繼續(xù)猜想嗎？先自己想一想，再和大家交流一下。

生我猜想，分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不會發(fā)生變化。

生如果分數(shù)的分子和分母同時加上一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小也可能不變。

生我們還可以試試分數(shù)的分子和分母同時減去一個相同的數(shù)，看看分數(shù)的大小會不會發(fā)生變化。

師一個結(jié)論引發(fā)了我們這么多的猜想，你們很會思考！

[思考：規(guī)律的發(fā)現(xiàn)離不開猜想，而猜想不是憑空產(chǎn)生的，變換已有結(jié)論中的部分要素是猜想的常用方法。這里，讓學生提出有價值的新猜想，旨在打開學生的思路，為全面探索分數(shù)的基本性質(zhì)做準備。]

2.自主驗證，集體交流

師請每個小組任選一個猜想，舉幾個例子驗證一下。

（在學生分組驗證之后，組織交流。教師相機板書。）

生我驗證的是第一個猜想。我把1025的分子與分母同時除以5，得到25。1025等于0.4，25也等于0.4，它們是相等的。

生我舉的例子也可以說明這個猜想是對的。我把1812的分子和分母同時除以6，得到32，化成小數(shù)都等于1.5。

師這兩個例子說明了第一個猜想是正確的。有說明這個猜想不正確的嗎？

生沒有。它應(yīng)當是正確的。

生我的例子驗證了第二個猜想是不正確的。我先寫23，把它的分子、分母同時加上1，得到34。23等于0.666…，而34等于0.75，兩個分數(shù)不相等。

師只要舉出一個反例，就可以推翻一個結(jié)論。第二個猜想被我們否定了，那第三個猜想呢？

生我把59的分子、分母同時減去4，得到15，這兩個分數(shù)不相等。

生老師，我找到了一個特例：55的分子和分母同時加上1，得到66，還是相等的;同時減去1，也相等。

師這個例子還真的相等。對于這個例子，你有什么想說的？

生這只是一個特例，可其他的分數(shù)都不行，照樣不能說明后兩個猜想成立。

[思考：通過從正、反兩個方面驗證猜想，引導學生學會全面地思考問題，養(yǎng)成良好的思維習慣。]

3.總結(jié)規(guī)律，溝通聯(lián)系

師通過剛才動手動腦，舉例驗證，我們知道：分數(shù)的分子和分母同時除以一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小也不變。與之前的結(jié)論合起來，可以怎樣說？

生分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變。

師這里，“相同的數(shù)”是否要考慮特殊情況？

生“相同的數(shù)”不能為0。

師現(xiàn)在誰能用簡潔、準確的語言把我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說一說？

生分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

師這是分數(shù)知識中的重要規(guī)律，叫作分數(shù)的基本性質(zhì)。（板書課題）你是否有一種與它似曾相識的感覺？

生有點像除法中商不變的規(guī)律。

師是的，一起來看。（出示四年級教材中的“商不變的規(guī)律”）小聲地讀一讀。想一想它們之間的聯(lián)系，然后同桌說一說。

生根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，分子可以看成被除數(shù)，分母可以看成除數(shù)，那么，分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)，就相當于被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)。

師找到了這樣的聯(lián)系，可以幫助我們更加深刻地理解新知識。學習了分數(shù)的基本性質(zhì)，我們可以用它進行一些簡單的判斷，解決一些簡單的實際問題。

[思考：借助分數(shù)與除法的關(guān)系，使“商不變的規(guī)律”與“分數(shù)的基本性質(zhì)”前后勾連，幫助學生從不同的角度理解新知識。]

（四）練習運用，理解規(guī)律

1.判斷等式正誤

師下面的等式成立嗎？成立的在后面畫“√”，不成立的畫“×”。

出示第（1）題：27=2×27×2=414（）。

生27的分子、分母都乘2，它的大小不變，所以這一題是對的。

師看來這個分數(shù)的變化過程是符合分數(shù)的基本性質(zhì)的。

出示第（2）題：49=4÷29÷3=23（）。

生這個等式不成立，不能分子除以2、分母除以3。要么同時除以2，要么同時除以3，這樣分數(shù)的大小才不變。

師他關(guān)注到了要除以一個“相同的數(shù)”。

出示第（3）題：45=4÷25×2=210? （）。

生這個等式不成立，不能分子除以2、分母乘2，應(yīng)該分子和分母同時乘或同時除以一個數(shù)。

師他關(guān)注到了要“同時乘或除以”。

出示第（4）題：510=5×a10×a（）。

生我認為是對的，因為分子、分母同時乘a。

生我不同意，這里的a有可能為0。

師通過爭辯，我們發(fā)現(xiàn)需要關(guān)注“0除外”。

2.運用規(guī)律填空

師出示題目：15=（）15，918=3（）要使這兩個等式成立，可以怎樣填？

生第一個等式里填3，分母由5到15乘了3，分子1也要同時乘3。

生第二個等式里填6，分子由9到3除以了3，所以分母18也要除以3。

師同學們都能根據(jù)已知的分子或分母的變化，再借助分數(shù)的基本性質(zhì)解決問題。

3.用直線上的點表示分數(shù)

師出示12、23、1530、400600四個分數(shù)和圖2分數(shù)也可以用直線上的點表示，找一找這些點在哪里，看看誰的方法又準又快。

生12就等于0.5，所以它在0和1的中間。

師這位同學利用了化小數(shù)的方法，還有不一樣的方法嗎？

生我把0—1這一段長度平均分成兩份，中間的點就表示12。

師他根據(jù)分數(shù)的意義找到了12。

生我把0—1這一段長度平均分成3份，從左向右看，表示這樣的2份的點就是23。

師他也根據(jù)分數(shù)的意義找到了23。

生我根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)1530和12是相等的，從而找到了1530。如果平均分成30份，畫起來很不方便。

師看來利用分數(shù)的基本性質(zhì)可以更簡便一些。

生我也根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)發(fā)現(xiàn)400600和23是相等的。

……

師看來，運用分數(shù)的基本性質(zhì)可以讓我們更快、更準地解決這類問題。

[思考：變換不同的要素，讓學生體會分數(shù)的基本性質(zhì)中各個關(guān)鍵詞的意義，進而從整體上把握這一規(guī)律。通過在數(shù)軸上找分數(shù)，學生體會到分數(shù)與直線上點的對應(yīng)關(guān)系以及分數(shù)基本性質(zhì)的價值，進一步認識了等值分數(shù)，更深刻地理解了分數(shù)的基本性質(zhì)。]

（五）課堂總結(jié)，解釋規(guī)律

師通過今天的學習，你能與大家分享一下你的收獲嗎？

生我知道了分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

生我知道了，遇到問題可以先猜想，然后驗證，最后形成結(jié)論;根據(jù)得到的結(jié)論，還可以提出新的猜想。

師通過今天的學習，同學們不但習得了分數(shù)的基本性質(zhì)這一知識，還完整經(jīng)歷了探究數(shù)學規(guī)律的過程。

師（出示涂上分數(shù)單位的教材例題圖，見圖3）讓我們再來看一看：之前畫圖研究與12相等的分數(shù)時，分數(shù)的分母乘2，什么變了呢？

生平均分的份數(shù)變成了4份。

生分數(shù)單位由12變成了14。

師分子乘2，又是什么變了呢？

生表示這樣的份數(shù)變了，也就是分數(shù)單位的個數(shù)變了。

師那么不變的又是什么？

生分數(shù)的大小不變。

生我感覺這與單位互化的方法差不多。

師從分數(shù)單位變化的角度來看分數(shù)的基本性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)它與之前學過的其他知識的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化的方法也是一致的。其他兩幅圖也是這樣變化的嗎？有興趣的同學好好研究研究，感受分數(shù)的基本性質(zhì)背后的奧秘。

[思考：與整數(shù)一樣，分數(shù)可以看成是由多個計數(shù)單位累加得到的。認識分數(shù)的基本性質(zhì)之后，再次借助圖形，引導學生從分數(shù)單位的視角觀察，認識到分數(shù)的基本性質(zhì)可以看成分數(shù)單位的細分與合并——在此過程中，分數(shù)單位的個數(shù)隨之發(fā)生變化，但是分數(shù)的大小不變。這一過程揭示了分數(shù)的基本性質(zhì)中“變與不變”的重要內(nèi)涵。]

二、教學評析

核心知識的教學需要展現(xiàn)核心知識的意義和價值，數(shù)學規(guī)律的教學需要讓學生經(jīng)歷規(guī)律發(fā)現(xiàn)、概括、驗證等探索過程。下面，就從這兩個維度來審視和品味這節(jié)課的教學。

（一）展現(xiàn)規(guī)律教學的特點，讓學生經(jīng)歷規(guī)律的探索過程

首先，這節(jié)課給學生提供了探索規(guī)律的學習場。學生的學習環(huán)境是需要精心設(shè)計的，只有在合宜的學習環(huán)境中，學生才可能獲得真實的收獲和發(fā)展。審視這節(jié)課的學習場，里面有教師結(jié)合學生的已有經(jīng)歷和已有知識（“分數(shù)墻”）精心創(chuàng)設(shè)的問題情境，能夠讓學生在熟悉的問題情境中產(chǎn)生學習的內(nèi)驅(qū)力和傾向，并結(jié)合已有的知識經(jīng)驗進行規(guī)律的探索與學習;里面有學生主動探索規(guī)律的學習時空，學生多次經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—提出猜想—驗證猜想—概括規(guī)律”的過程，有效地培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

其次，這節(jié)課也體現(xiàn)了規(guī)律教學的科學性?？梢哉f，小學階段的數(shù)學規(guī)律大多采用不完全歸納的方法，讓學生通過觀察對比、分析推理等方式獲得，這節(jié)課的教學大抵也是如此。這樣教學，迎合了小學生的認知特點和學習需要，使得“分數(shù)的基本性質(zhì)”的得出自然而然。而更難能可貴的是，這節(jié)課還采用了找反例和特例的方法來體現(xiàn)數(shù)學結(jié)論的科學性和數(shù)學教學的嚴謹性。比如，在完善結(jié)論階段，詢問學生：“有不符合這一規(guī)律的例子嗎？”因為沒有與之相悖的例子，從而顯現(xiàn)了結(jié)論的科學性，培養(yǎng)了學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。

（二）展現(xiàn)核心知識的意義和價值，讓學生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程

其一，凸顯了核心知識的特點。遷移能力強是數(shù)學核心知識的特點之一，數(shù)學核心知識的教學需要凸顯這一特點。這節(jié)課中，在學生初步概括出“分數(shù)的分子和分母同時乘一個（不為0）的數(shù)，分數(shù)的大小不變”的規(guī)律之后，還讓學生拓展出“分數(shù)的分子和分母同時除以、加上和減去一個（不為0）的數(shù)，分數(shù)的大小不變”的猜想，在完善“分數(shù)的基本性質(zhì)”的同時，也培養(yǎng)了學生的遷移意識和思維能力，更體現(xiàn)了數(shù)學核心知識的特點。

其二，彰顯核心知識的作用。數(shù)學核心知識在知識序列中一般處于關(guān)聯(lián)前后知識的位置，發(fā)揮著承上啟下的構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的作用。數(shù)學教學，如果能讓學生將彼此相關(guān)的概念、性質(zhì)、規(guī)律等整合起來分析和解決問題，則有益于學生自主構(gòu)建知識體系。這節(jié)課中，在概括出“分數(shù)的基本性質(zhì)”后，新知的教學并沒有偃旗息鼓，而是繼續(xù)讓學生自主地將商不變的規(guī)律融入其中，進行知識的前后對比和本質(zhì)挖掘。這樣，不僅讓學生認識到分數(shù)的基本性質(zhì)和商不變的規(guī)律的關(guān)系和實質(zhì)，也幫助學生實現(xiàn)了數(shù)學核心知識的自主建構(gòu)。

參考文獻：

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[2] 劉正松.讓核心知識自然生長——《分數(shù)的基本性質(zhì)》教學實踐及思考[J].教育研究與評論（小學教育教學），2015（6）.