緊扣知識本質，建構分數(shù)概念

朱建玲 朱小平

摘要：在分數(shù)知識中，“分數(shù)的意義”屬于數(shù)學核心知識，主要引導學生抽象出單位“1”的概念，概括分數(shù)的意義，認識分數(shù)單位?！斗謹?shù)的意義》一課教學，依照分數(shù)概念的要素確立認知序列，按照認知活動的側重精選學習素材，觀照學生的認知特點確定學習方式。

關鍵詞：《分數(shù)的意義》;知識本質;分數(shù)概念

本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學數(shù)學核心知識建構的教學研究”（編號：DHA200370）的階段性研究成果?！斗謹?shù)的意義》一課的教學內(nèi)容是蘇教版小學數(shù)學五年級下冊第52頁的例1及相應的練習，教學目標確定為：（1）初步理解單位“1”和分數(shù)單位的含義，從平均分和度量兩個角度，經(jīng)歷分數(shù)意義的抽象概括過程，進一步理解分數(shù)的意義和分數(shù)單位的含義;（2）在建構分數(shù)意義的過程中，進一步培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括的能力，發(fā)展數(shù)學思考;（3）在解釋實際情境中分數(shù)所表示的意義等活動中，進一步體會分數(shù)的應用價值，感受分數(shù)與生活的聯(lián)系，增強學習數(shù)學的興趣。教學過程及評析如下：

一、教學過程

（一）揭示單位“1”，歸納分數(shù)的意義

1.認識單位“1”

師每到新的一年，中國郵政都會發(fā)行當年的生肖郵票。一起來看，這是今年發(fā)行的虎年郵票。（出示1枚郵票）1枚郵票可以用自然數(shù)幾來表示？

生1。

（教師板書：1。）

師（出示2枚郵票）現(xiàn)在是幾枚？也就是幾個1？

生2個1。

師2個1就是——

生2。

師（出示3枚郵票）現(xiàn)在呢？

生3，3個1是3。

師在集郵愛好者眼里，還有一種郵票特別珍貴。一起來看，（出示4枚郵票）它是由4枚同樣的郵票連在一起的四方聯(lián)。這時，你覺得可以用哪個自然數(shù)表示？

生可以用4表示。

生我覺得也可以用1表示，因為4枚郵票是連在一起的，是一個整體。

（教師板書：一個整體。）

師你思考的角度與眾不同，那么這時的1和以前我們所認識的1一樣嗎？

生不一樣，現(xiàn)在是一個整體，原來是一個物體。

師說得真好！

（板書：一個物體。）

師既然這樣，一起來看，（出示8枚郵票）把1張四方聯(lián)看作“1”，那么這些郵票用幾來表示呢？

生用2來表示。因為把4枚郵票看作“1”，現(xiàn)在有2個這樣的“1”，當然就是2了。

師（出示12枚郵票）現(xiàn)在呢？

生應該用3來表示。

師在這里，4枚郵票所看作的“1”，其實就成了計數(shù)的單位。我們把這樣的“1”又叫作單位“1”。

（補充板書：單位。）

師其實，除了可以把“4枚郵票”這樣由一些物體組成的一個整體看作單位“1”，（補充板書：一些物體）我們以前研究的一個物體、一個計量單位和一些物體也都可以看作一個整體，用自然數(shù)1來表示。通常，我們把它們都叫作單位“1”。

（補充板書：一個計量單位。）

[思考：在蘇教版小學數(shù)學教材中，學生是分三次認識分數(shù)的，分別安排在三年級上冊、三年級下冊和五年級下冊。在三年級兩次認識分數(shù)的教學中，學生需要理解分數(shù)既可以表示把一個物體或一個圖形平均分得到的結果，也可以表示把一些物體看作一個整體平均分得到的結果。這里，以單張郵票和四方聯(lián)郵票為學材，讓學生理解4枚郵票所看作的“1”，實際上相當于一個計數(shù)單位，由此引出單位“1”的概念。]

2.借助單位“1”理解分數(shù)的意義

師（出示圖1）一起來看大屏幕，認識嗎？它們能被看作單位“1”嗎？說一說這里分別把什么看作單位“1”。

生一塊月餅，1米，8個圓組成的整體。

師（出示圖2）把這些單位“1”平均分，會得到什么？

生分數(shù)。

（教師板書：分數(shù)。）

師那涂色部分分別是單位“1”的幾分之幾呢？在學習單上寫一寫。

（學生寫。）

師誰來說說第一幅圖？

生把一塊月餅平均分成8份，取其中的5份，就是58。

師沒錯。今天我們認識了單位“1”，那么在交流這個分數(shù)時，可以說“把一塊月餅看作單位‘1’，平均分成……”，誰來試試？

生把一塊月餅看作單位“1”，平均分成8份，涂色部分是5份，涂色部分是這塊月餅的58。

師同桌互相說一說。

（學生說。）

師剩下的兩幅圖呢？

生把1米看作單位“1”，平均分成8份，涂色部分是5份，涂色部分是1米的58。

生把8個圓組成的整體看作單位“1”，平均分成8份，涂色部分是5份，涂色部分是這些圓的58。

師同學們說得都非常準確！繼續(xù)觀察這幾幅圖和分數(shù)，什么相同？什么不同？

生都表示58。

生物體不同。

師物體不同，也就是單位“1”——

生（齊）不同。

師單位“1”各不相同，為什么涂色部分都可以用58表示呢？

生因為它們都是把單位“1”平均分成8份，表示這樣的5份。

師是啊，不管單位“1”是什么，只要是把單位“1”平均分成8份，表示這樣的5份，就可以用58表示。

[思考：本環(huán)節(jié)特意創(chuàng)設了三幅圖的情境。這三幅圖的單位“1”不同，但都是把單位“1”平均分成8份，表示這樣的5份，所以都可以用分數(shù)58表示。這樣的設計可以讓學生在比較中進一步理解分數(shù)的產(chǎn)生與平均分的份數(shù)以及表示的份數(shù)密切相關。]

3.在比較中歸納分數(shù)的意義

（1）單位“1”不同，可以表示相同的分數(shù)

師剛才，同學們借助單位“1”深刻理解了58的意義。接著，（出示圖3）我們來看這幾幅圖，看看它們分別把什么看作單位“1”，涂色部分各是單位“1”的幾分之幾。在學習單上寫一寫，寫完后比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生第一幅圖的涂色部分用14表示，這里把這些圓看作單位“1”，平均分成4份，涂色部分表示這樣的1份，所以涂色的圓表示總數(shù)的14。

生第二幅圖的涂色部分也用14表示，這里把這些圓看作單位“1”，平均分成4份，涂色部分表示這樣的1份，所以涂色的圓表示總數(shù)的14。

生第三幅圖的涂色部分還是用14表示，這里把這些圓看作單位“1”，平均分成4份，涂色部分表示這樣的1份，所以涂色的圓表示總數(shù)的14。

生我發(fā)現(xiàn)這里都是用14表示涂色部分，但是每一幅圖中涂色的圓的個數(shù)不一樣。

師這是為什么呢？

生因為這里的單位“1”所包含的圓的個數(shù)不一樣。單位“1”越大，它的14就越大;單位“1”越小，它的14就越小。

師從同學們的交流中不難看出，理解分數(shù)時要關注單位“1”。

（2）單位“1”相同，可以表示不同的分數(shù)

師（出示圖4）這一回，單位“1”一樣嗎？

生一樣。

師涂色三角形又是單位“1”的幾分之幾呢？在學習單上寫一寫，然后比一比，把你的發(fā)現(xiàn)寫下來。

生第一幅圖的涂色部分用56表示，這里把這些三角形看作單位“1”，平均分成6份，涂色部分表示這樣的5份，所以涂色三角形表示總數(shù)的56。

生第二幅圖的涂色部分用23表示，這里把這些三角形看作單位“1”，平均分成3份，涂色部分表示這樣的2份，所以涂色三角形表示總數(shù)的23。

生第三幅圖的涂色部分用12表示，這里把這些三角形看作單位“1”，平均分成2份，涂色部分表示這樣的1份，所以涂色三角形表示總數(shù)的12。

生我發(fā)現(xiàn)這里的單位“1”都一樣，但是平均分的份數(shù)不同，涂色的份數(shù)不同，表示的分數(shù)就不同。

師這樣看來，要說清楚一個分數(shù)的意義，除了要思考單位“1”是什么，還要思考——

生（齊）單位“1”被平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

（教師補充板書：平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)。最終形成的板書如圖5所示。）

師弄清了這些，也就準確理解了分數(shù)的意義。

（教師板書課題：分數(shù)的意義。）

[思考：學習分數(shù)的意義，學生需要把握三個關鍵：單位“1”、平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)。基于此，本環(huán)節(jié)的第一道例題設計了單位“1”不同而平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)都相同的情境，啟發(fā)學生思考為什么表示的分數(shù)相同。第二道例題變換為單位“1”相同而表示的分數(shù)不同的情境。學生經(jīng)歷兩種情境的對比，能進一步把握分數(shù)的意義。]

（二）引入生活情境，多元表征分數(shù)的意義

師剛才同學們動手動腦，踴躍發(fā)言，非常精彩！在生活中，我們也經(jīng)常會用到分數(shù)。不過，有時單位“1”不像剛才那樣“看得見”。現(xiàn)在，你還能理解這些分數(shù)的意義嗎？

（出示：地球表面有71100被海洋覆蓋。指名讀一讀。）

師誰來說說這里的“71100”表示的意思？

生把地球表面積看作單位“1”，平均分成100份，被海洋覆蓋的面積是這樣的71份。

師說得非常準確！大家閉上眼睛想一想剛才的畫面。

（稍后PPT呈現(xiàn)地球海洋圖。隨后繼續(xù)出示：五年級一班學生中，會打乒乓球的占34。指名讀一讀。）

師這里的“34”是什么意思？

生把五一班學生的人數(shù)看作單位“1”，平均分成4份，會打乒乓球的人是這樣的3份。

師你能用畫圖的方式表示出34的含義嗎？試一試。

（學生嘗試畫圖表示，教師組織交流。）

生（展示作品，見圖6）我用一個圓表示五一班學生的總數(shù)，那么涂色部分就表示會打乒乓球的人數(shù)。

生（展示作品，見圖7）我用8個圓組成了一個整體，表示五一班學生的總數(shù)，那么涂色部分就表示會打乒乓球的人數(shù)。

生（展示作品，見圖8）我用一條線段表示五一班學生的總數(shù)，把它平均分成4份，這樣的3份就表示會打乒乓球的人數(shù)。

師從同學們的作品中，我們更加清晰形象地理解了這里的“34”的含義。雖然大家表示的單位“1”形式不同，但都表示出了會打乒乓球的人數(shù)與全班人數(shù)的關系。

[思考：本環(huán)節(jié)，用生活中的情境進一步幫助學生具體理解分數(shù)的意義。同時，學生用畫圖的方式直觀地表示出對分數(shù)的理解，展示了思維的多元性。]

（三）基于動手操作，理解分數(shù)單位的度量屬性

師說到分數(shù)，它發(fā)展到現(xiàn)在我們書寫的樣子，經(jīng)歷了漫長的時間。（出示圖9）3000多年前，古埃及人在分物體時不能得到整數(shù)的結果，于是就用這樣特殊的符號表示分數(shù)。猜猜這個分數(shù)是多少？

（學生猜測。教師揭示“14”，隨后出示圖10。）

師2000多年前，我國古代最初用算籌表示分數(shù)?？匆豢矗@個分數(shù)是什么？

生25。

（教師揭示“25”，接著出示圖11。）

師后來，印度人發(fā)明了數(shù)字，他們這樣來表示分數(shù)。這個是——

生23。

（教師揭示“23”，隨后出示圖12。）

師公元12世紀，阿拉伯人發(fā)明了分數(shù)線，就把分數(shù)表示成現(xiàn)在這樣了。從分數(shù)的發(fā)展史中我們不難看出，埃及是世界上最早使用分數(shù)的國家，但古埃及人在進行分數(shù)運算時，只使用分子為1的分數(shù)，因此這種分數(shù)也叫作埃及分數(shù)。

（出示圖13。）

13、15、19、116……——埃及分數(shù)

師（出示圖14）老師這里有一根彩色紙條，從中你發(fā)現(xiàn)埃及分數(shù)了嗎？

生17。

師是的，紅色部分是這根彩色紙條的17。這個17是怎么得到的呢？

生把彩色紙條看作單位“1”，平均分成7份，紅色部分表示這樣的1份。

師那黃色部分占整張彩色紙條的幾分之幾呢？估一估。

（學生估。許多學生說是47。）

師你是怎么估的？

生我參考了旁邊的紅色部分，覺得黃色部分的長大約是紅色部分寬的4倍。

師我聽明白了，你是用17為參照來估的。打開信封，拿出老師為你們準備的材料，用你喜歡的方法驗證是不是47，可以留下你驗證的痕跡。

（學生嘗試操作后，教師組織交流互動，同步投影展示。）

生我用表示17的紅色小紙片量，1個17，2個17，3個17，4個17，黃色部分有4個17，所以是47。

生我是以紅色部分為標準折的，發(fā)現(xiàn)黃色部分包含了4個17。

師比一比，這些方法有什么相同之處？

生都是以17為標準去數(shù)的。

師和自然數(shù)一樣，分數(shù)也有它的計數(shù)單位，就是分數(shù)單位。

（板書：分數(shù)單位。）

師在數(shù)學上，我們把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)叫作分數(shù)單位。其實，剛才我們認識的埃及分數(shù)就是分數(shù)單位。

師47的分數(shù)單位是什么？它里面有幾個分數(shù)單位？

生47的分數(shù)單位是17，它里面有4個17。

師17呢？

生17的分數(shù)單位是17，它里面有1個17。

師你能再說幾個分數(shù)單位是17的分數(shù)嗎？

生67的分數(shù)單位是17，它里面有6個17。

……

[思考：前面的環(huán)節(jié)，側重從平均分的角度讓學生理解分數(shù)的意義。其實，分數(shù)是在分物、度量等情況下產(chǎn)生的。我們還應從度量的視角設計教學，拓寬學生對分數(shù)意義的理解。因此，本環(huán)節(jié)突出分數(shù)單位的意義和價值，強調(diào)通過度量或比較得到幾個幾分之一就是幾分之幾，也就是突出分數(shù)單位的計數(shù)單位屬性，幫助學生體會分數(shù)單位的累加可以形成不同的分數(shù)。這里，用一根沒有平均分痕跡的紙條制造認知沖突，讓學生無法數(shù)出“平均分的份數(shù)”和“表示的份數(shù)”，激發(fā)探究的欲望。學生用“量”和“折”的方法得出分數(shù)，感受分數(shù)的“度量”含義，感悟分數(shù)單位是分數(shù)的計數(shù)單位。]

（四）借助數(shù)軸，感受分數(shù)單位的累加價值

師（出示數(shù)軸，標0、1、2）認識了分數(shù)的意義和分數(shù)單位，應該說我們對分數(shù)的認識又深了一步。老師記得我們在學習整數(shù)和小數(shù)的時候，可以用直線上的點表示這些數(shù)，那分數(shù)也能用直線上的點表示嗎？

生能。

師通常我們把0到1這一段看作單位“1”，如果把它平均分成7份，這個點就表示17。那表示27的點在哪里呢？

生27里有2個17，所以只要往后再加一段17，那個點就表示27了。

師你是從分數(shù)單位的角度來理解的。那如果再增加一個17，現(xiàn)在是幾個17？是多少？

生3個17，所以是37。

師這樣接著數(shù)下去呢？

生47，57，67。

師觀察這里的分數(shù)，它們有沒有相同的地方？

生分數(shù)單位都是17。

師不同的地方呢？

生分子不同。

師也就是包含的分數(shù)單位的個數(shù)不同。剛才，我們從17數(shù)到了67，如果再接著數(shù)下去，是多少？

生1。

生77。

師77在哪里？

生和1重合。

師那按照這樣的思考，再增加一個17，8個17用哪個分數(shù)表示呢？

生87。

師像77、87這樣的分數(shù)，后面我們會進一步研究，不過今天我們已經(jīng)從中體會到了分數(shù)單位的作用。

[思考：通過用數(shù)軸上的點來表示分數(shù)，進一步從度量的視角強化學生對分數(shù)單位的認識，使其理解通過分數(shù)單位的累加可以得到不同的分數(shù)。除此之外，在學生找到了表示67的點以后，不就此停步，而是引導學生接著數(shù)下去，認識到7個17是77，77和1在同一個位置，進而認識到8個17是87。此時，學生對分數(shù)的認識已經(jīng)突破了已有的平均分觀念，對大于1的分數(shù)也有了認知的基礎。]

二、教學評析

在分數(shù)知識中，“分數(shù)的意義”屬于數(shù)學核心知識。這部分內(nèi)容是在學生初步認識分數(shù)的基礎上教學的，主要引導學生抽象出單位“1”的概念，概括分數(shù)的意義，認識分數(shù)單位?！斗謹?shù)的意義》一課教學，在確立認知序列、精選學習素材、確定學習方式三個方面具有鮮明的特點和一定的新意。

（一）依照分數(shù)概念的要素確立認知序列

分數(shù)的產(chǎn)生有兩個背景，一個是測量，一個是整數(shù)除法計算（也就是平均分）。第一種背景可以理解為：用一個作為標準的量n（度量單位）來度量另一個量，如果量了若干次不能恰好量完，而將n分成若干等份，用其中的一份作為新的度量單位來度量，恰好可以量完，在這種情況下，用分數(shù)來表示度量的結果。第二種背景則是將若干數(shù)量平均分，如果每一份的計算結果，也就是除法的商無法用整數(shù)表示，則可以用分數(shù)表示。顯然，教材對應第一種背景定義了分數(shù)的基本意義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分數(shù)。因此，教師科學地確立本節(jié)課的認知序列：先認識單位“1”，后借助單位“1”理解具體情境中某個分數(shù)的意義，再歸納出分數(shù)的意義;在此基礎上，認識分數(shù)單位并體驗其度量屬性和累加價值。

（二）按照認知活動的側重精選學習素材

在認識單位“1”時，教師用虎年生肖郵票作為學習素材。郵票類型從單枚到四方聯(lián)，巧妙地將單位“1”的意指對象從單個完整的物體過渡到了由多個物體組成的一個整體?！霸诒容^中歸納分數(shù)的意義”這個環(huán)節(jié)，教師先后呈現(xiàn)兩組圖片，旨在讓學生直觀地感受到“單位‘1’不同，可以表示相同的分數(shù)”和“單位‘1’相同，可以表示不同的分數(shù)”，從而形成清晰的數(shù)學認識——要準確描述一個分數(shù)的意義，既要關注單位“1”是什么，還要關注單位“1”被平均分成了幾份以及表示這樣的幾份。如此，學生對分數(shù)的意義的歸納也就順理成章、水到渠成了。此外，有關分數(shù)的數(shù)學史的適時介紹，尤其是“埃及分數(shù)”的補充介紹，可謂神來之筆，既調(diào)節(jié)了本節(jié)課的學習節(jié)奏，又讓學生對分數(shù)單位有了一個先行的且深刻的認知。

（三）觀照學生的認知特點確定學習方式

小學生喜歡聽故事、畫圖畫，喜歡動手操作，對世界充滿好奇和向往。他們受思維水平的限制，認識概念時需要有直觀的感受為支撐。教師充分考慮到學生的認知特點，采用恰當?shù)膶W習方式組織學生開展學習活動。例如，在理解生活情境“五年級一班學生中，會打乒乓球的占34”中的分數(shù)時，讓學生用畫圖的形式多元表征“34”，可以幫助他們清晰地解釋其所表示的意義。又如，學生僅憑觀察就可以輕易地發(fā)現(xiàn)分數(shù)單位的外在特征是“幾分之一”，但對其作為“計數(shù)單位”的內(nèi)在特征，則需要從度量的視角體驗和感悟。為此，教師特地為學生準備了裝有學習材料的信封，讓他們通過量一量或折一折的方法驗證黃色部分是不是47。這樣的學習方式深受學生喜愛，并且效果非常好。

參考文獻：

[1] 劉正松.小學數(shù)學核心知識“慢教學”與“長教學”課例研究[J].新課程研究（上旬刊），2018（1）.