基于改進(jìn)多重同步擠壓廣義S變換的結(jié)構(gòu)瞬時頻率識別研究

袁平平， 程雪莉， 王航航， 沈中祥， 任偉新， 張 健

(1. 江蘇科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100； 2. 江蘇新?lián)P子造船有限公司，江蘇 靖江 214532； 3. 江蘇科技大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100； 4. 江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212100；5. 深圳大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，廣東 深圳 518061)

隨著社會的發(fā)展，土木工程逐漸趨于大型化、高層化、結(jié)構(gòu)異形化，其在人們?nèi)粘Ｉ钪邪缪莸慕巧灿l(fā)重要[1]。土木工程結(jié)構(gòu)的損傷必定會導(dǎo)致其動力特性發(fā)生變化，隨著損失的累積其一旦出現(xiàn)問題，輕則發(fā)生財產(chǎn)損失、影響人們的正常生活，重則造成人員傷亡[2-3]。Kijewski等[4]認(rèn)為工程結(jié)構(gòu)具有較長的周期運(yùn)動，動力特性在其使用壽命內(nèi)往往會隨著時間的推移而發(fā)生變化。因此，精確識別工程結(jié)構(gòu)的瞬時頻率等時變動態(tài)參數(shù)至關(guān)重要，這將有助于工程結(jié)構(gòu)的狀態(tài)監(jiān)測、損傷識別及安全評估等。

時頻分析作為一種新興的信號處理方法，是研究非平穩(wěn)信號的一個重要工具，其通過設(shè)計時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)，把時域信號轉(zhuǎn)換到二維平面上，從而在時間域和頻率域上同時體現(xiàn)信號的能量和強(qiáng)度[5-6]。作為傳統(tǒng)時頻分析方法，短時傅里葉變換(short-time Fourier transform, STFT)、Wigner-Ville(Winger-Ville distribution, WWD)分布、S變換(S-transform, ST)、希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang Transform, HHT)等均存在一定的不足[7]。基于此，諸多學(xué)者進(jìn)一步展開了相關(guān)研究。裴強(qiáng)等[8]研究了基于時頻分析ST的高層框架損傷識別。Zidelmal等[9]提出了基于緊湊型支持內(nèi)核的ST。續(xù)秀忠等[10]提出了一種基于線性時頻表示和Hilbert變換的時變模態(tài)參數(shù)識別方法。Hou等[11]提出了一種基于連續(xù)小波的時變結(jié)構(gòu)瞬時模態(tài)參數(shù)識別。連續(xù)小波變換與傅里葉變換相似，能夠?qū)崿F(xiàn)信號變換與信號重構(gòu)，且能保持原有信息的完整并具有可逆性。Daubechies等[12]提出了同步擠壓小波變換(synchrosqueezed wavelet transform, SST)，該方法以小波變換為基礎(chǔ)，通過對時頻周圍的能量進(jìn)行擠壓，有效提高了時頻能量的集中度。張志禹等[13]將SST應(yīng)用于地震信號瞬時屬性的提取。劉景良等[14-15]提出了基于SST的結(jié)構(gòu)瞬時頻率識別并對其進(jìn)行了改進(jìn)。受同步擠壓變換算法的啟示，以實(shí)現(xiàn)理想的時頻分析為目標(biāo)，Yu等[16]提出了一種新的時頻分析方法，即同步提取變換(synchroextracting transform, SET)。該方法是基于STFT的一種時頻分析方法，可提高瞬時頻率的識別精度。康佳星[17]研究了SET在地震信號分析中的應(yīng)用。張文海等[18]提出了基于SET與Vold-Kalman濾波的燃機(jī)階次跟蹤方法。Li等[19]提出了用于地震時頻分析的時間同步提取廣義Chirplet變換。然而，SET無法實(shí)現(xiàn)信號的精確重構(gòu)，因此，Yu等[20]進(jìn)一步提出了多重同步壓縮變換(multi-synchrosqueezing transform, MSST)，該方法對STFT獲得的時頻圖執(zhí)行多次同步壓縮處理，從而有效提高了時頻能量的聚集性。

本文對廣義S變換(generalized S-transform,GST)的窗函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，并根據(jù)能量集中度(concentration measure, CM)[21]選取窗函數(shù)的參數(shù)，同時結(jié)合MSST，提出了一種新穎的改進(jìn)多重同步擠壓廣義S變換(improved multi-synchrosqueezing generalized S-transform, IMSSGST)。在數(shù)值模擬方面，采用兩層剪切框架時變結(jié)構(gòu)驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性；試驗(yàn)方面，采用某七層鋼筋混凝土(reinforced concrete, RC)剪力墻振動臺的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了時頻分析，用于驗(yàn)證該方法在實(shí)際工程中的實(shí)用性和準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 改進(jìn)廣義ST

ST是STFT和連續(xù)小波變換(continue wavelet transform,CWT)相結(jié)合聯(lián)合起來的一種時頻分析方法，其特點(diǎn)是引入了寬度和頻率成反比的高斯窗

(1)

式中：Sx(τ,f)為ST；x(t)為原始信號；g(t)為窗函數(shù)；τ為時移因子；f為頻率。g(t)的表達(dá)式為

(2)

將式(2)代入式(1)，可以得到ST的表達(dá)式，即

(3)

ST具有完全可逆性，其逆變換如式(4)所示

(4)

(5)

將式(5)代入式(1)即可得到GST，其計算結(jié)果為

(6)

(7)

該窗函數(shù)可以通過多項(xiàng)式來表達(dá)GST中的窗函數(shù)。將式(7)代入式(1)得到IGST(improred GST)的計算結(jié)果如式(8)所示

(8)

IGST的頻域表達(dá)式如式(9)所示

(9)

1.2 IGST的參數(shù)優(yōu)化算法

本文采用能量CM的方法進(jìn)行計算

(10)

對IGST進(jìn)行歸一化處理，可得

(11)

則，IGST的優(yōu)化問題可由式(12)表示

(12)

優(yōu)化問題的約束條件與所分析窗口的寬度范圍有關(guān)，窗口不應(yīng)太窄而改變時間分辨率，但也不能太寬而影響頻率分辨率，即

(13)

式中：Ts為采樣周期；f∈[fmin,fmax]；fmin=1 Hz；為滿足奈奎斯特采樣定理，fmax取采樣頻率的一半。式(13)可簡化為

(14)

在Zidelmal等和He等的研究中，相關(guān)學(xué)者令m∈(0,3]，p∈[0,3]，r=[0,1]，K=10，L=1 000。本文采用相同的邊界條件，因此，最終的優(yōu)化問題如下所示

(15)

通過優(yōu)化算法對上述問題進(jìn)行求解即可得到IGST窗函數(shù)的參數(shù)值。

1.3 改進(jìn)多重同步擠壓廣義S變換

原信號的瞬時頻率ωi(τ,f)可由式(16)得到

(16)

其中，

(17)

所以，對信號x(t)的IGST計算結(jié)果Gx(τ,f)進(jìn)行單次壓縮，可得

(18)

進(jìn)行多次擠壓，可得IMSSGST的計算結(jié)果如式(19)所示

…

(19)

其中，

(20)

2 數(shù)值模擬

2.1 框架結(jié)構(gòu)模型

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)往往受到極限荷載或周期荷載的作用，結(jié)構(gòu)的剛度也會隨之發(fā)生改變，其響應(yīng)信號的瞬時頻率往往也會隨之改變。為了驗(yàn)證該方法對結(jié)構(gòu)瞬時頻率識別的可行性，建立兩層框架模型進(jìn)行驗(yàn)證，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)的剛度會隨著時間變化，結(jié)構(gòu)的具體參數(shù)如表1所示。

圖1 兩層剪切框架結(jié)構(gòu)Fig.1 Two-layer shear frame structure

表1 兩層剪切框架結(jié)構(gòu)模型參數(shù)

框架結(jié)構(gòu)相應(yīng)的運(yùn)動方程

(21)

結(jié)構(gòu)的剛度按式(22)和式(23)變化，其時變剛度如圖2所示。

(22)

(23)

圖2 框架結(jié)構(gòu)剛度Fig.2 Stiffness of frame structure

通過矩陣特征值計算，可得框架結(jié)構(gòu)的理論瞬時頻率如圖3所示。

2.2 瞬時頻率識別

對該框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行白噪聲激勵，用Runge-Kutta法求得結(jié)構(gòu)的位移，速度及加速度響應(yīng)。采樣頻率為50 Hz，采樣時間為30 s。其中：噪聲激勵如圖4所示；第一層結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)見如圖5所示。

圖4 白噪聲激勵Fig.4 White noise excitation

圖5 白噪聲激勵下第一層的加速度響應(yīng)Fig.5 Acceleration response of first layer under white noise

為了確定IMSSGST的壓縮次數(shù)，本文采用瞬時頻率在整個時間歷程內(nèi)的均方根值作為瞬時頻率識別精度的指標(biāo)(index of accuracy，IA)。IA值越小，說明識別值與理論值越接近。隨著壓縮次數(shù)的增加，IA值會趨于平穩(wěn)，以此來確定IMSSGST的壓縮次數(shù)。IA值的計算方法如下所示

(24)

式中：fd(t)為瞬時頻率識別值；fe(t)為瞬時頻率理論值。

MSST和IMSSGST識別的低頻的精度值基本保持一致，但在高頻處，IA值在第4次和第5次達(dá)到最小，識別的精度最高，如圖6所示。本文將采用一次、兩次和四次壓縮分別對信號進(jìn)行頻率識別。

圖6 壓縮1～10次的IA值Fig.6 IA value compressed 1-10 times

對加速度響應(yīng)信號進(jìn)行IMSSGST及MSST時頻分析，壓縮次數(shù)為一次、兩次和四次，其中，通過優(yōu)化算法得到IMSSGST的參數(shù)：m=3，p=2.155 1，r=0.645 4。時頻分析結(jié)果如圖7所示。從圖7可知，隨著壓縮次數(shù)的增加，IMSSGST、MSST的時頻能量更加集中。

提取四次壓縮后的頻率如圖8所示。從圖8可知，通過多次壓縮后，IMSSGST和MSST均能有效識別該框架結(jié)構(gòu)的瞬時頻率，且識別值與理論值保持在較小的誤差范圍內(nèi)，有較高的實(shí)用性。

圖7 時頻分析結(jié)果Fig.7 Time frequency analysis results

圖8 瞬時頻率識別結(jié)果Fig.8 Instantaneous frequency identification results

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證IMSSGST對實(shí)際工程結(jié)構(gòu)瞬時頻率的識別效果，本文對加州大學(xué)圣地亞哥分校Panagiotou等[24]設(shè)計完成的七層RC剪力墻振動臺的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了時頻分析。施加于結(jié)構(gòu)的地震波加速度及剪力墻的加速度響應(yīng)，分別如圖9和圖10所示。

圖9 施加在剪力墻的地震波Fig.9 Seismic wave applied to the shear wall

圖10 剪力墻的加速度響應(yīng)Fig.10 Acceleration response of shear wall

分別用IMSSGST、MSST對測得的加速度響應(yīng)信號進(jìn)行時頻分析，壓縮次數(shù)為一次、兩次和四次，時頻分析結(jié)果如圖10所示。在IMSSGST中，通過優(yōu)化算法得到m=1.346 9，p=3，r=0.917 0。由圖11可知：隨著壓縮次數(shù)的增加，IMSSGST、MSST識別出的頻率脊線也更加準(zhǔn)確、明顯；在相同壓縮次數(shù)下，與MSST相比，IMSSGST的曲線波動更小，這有利于提取結(jié)構(gòu)的瞬時頻率。

圖11 剪力墻的多次壓縮時頻分析結(jié)果Fig.11 Time-frequency analysis results of shear wall

采用極值法提取IMSSGST、MSST四次壓縮后的瞬時頻率，頻率提取結(jié)果如圖12所示。從圖12可知，該RC剪力墻結(jié)構(gòu)在地震激勵作用下的頻率范圍在0.8～2.1 Hz，IMSSGST和MSST都能有效地識別其頻率范圍，但是，IMSSGST識別的瞬時頻率的曲線更加光滑，曲線波動更小。

圖12 四次壓縮后剪力墻的頻率識別結(jié)果Fig.12 Frequency identification result of shear wall after four-synchrosqueezing

4 結(jié) 論

本文結(jié)合IGST和MSST，提出了新穎的IMSSGST，并將其應(yīng)用到工程結(jié)構(gòu)的瞬時頻率識別中。對兩層剪切框架和七層RC剪力墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行了瞬時頻率識別，數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果表明：

(1) 將CM原理和參數(shù)優(yōu)化算法結(jié)合起來，可以快速得到IGST中調(diào)節(jié)因子的參數(shù)，有效地縮短了IGST的計算時間。

(2) 通過多次壓縮后，IMSSGST識別的瞬時頻率更加準(zhǔn)確，能量更加集中，有效地改善了IMSSGST的頻率識別效果。

(3) 與MSST算法相比，壓縮相同次數(shù)的情況下，IMSSGST識別的頻率曲線更加光滑，曲線波動更小，且與理論值更加接近，是一種準(zhǔn)確、高效的時頻分析方法。