Z-number綜合熵及其在多屬性決策中的應用

王翠翠

安徽三聯(lián)學院基礎部，安徽合肥，230601

自然界和社會充滿各種類型的不確定性信息，為刻畫和分析這些不確定性信息，1965年，Zadeh[1]創(chuàng)新性地提出模糊集理論。此后，模糊集理論被不斷拓展，先后演化出直覺模糊集[2]、猶豫模糊集[3]、二型模糊集[4]等多種形式。隨著研究和應用的不斷深入，單純的模糊集理論已經無法滿足人們更加精準地刻畫復雜不確定性問題模糊性特征的需要。因此，2011年Zadeh[5]提出Z-number理論，Z-number可以將自然語言的客觀信息和人類主觀理解進行融合表達，不僅考慮了信息的模糊性，也對模糊信息的“可信賴”程度給予充分考查。可見，Z-number理論為描述和分析不確定信息，構建新型不確定多屬性決策方法提供更加有益、便捷的分析工具。

Z-number概念提出以后，國內外學者對其進行了較為深入細致的研究。Aliev等[6-7]在模糊集截集概念的基礎上，給出了Z-number的加、減、乘、除等基本算術運算，以及連續(xù)Z-number最大、最小、平方、平方根等常用代數(shù)運算，并基于線性規(guī)劃和簡單的最優(yōu)化問題提出了一種權衡計算復雜度和精度的Z-number計算方法。Hong等[8]提出Z-number的優(yōu)序關系并定義Z-number優(yōu)勢度的概念，通過ELECTRE III方法的偏好、無差異、否定三個閾值考慮準則之間的不可補償性。Pirmuhammadi等[9]介紹Z-number的參數(shù)形式并定義其上的算術運算，為了解決Z-number參數(shù)形式的問題，提出廣義的hukuhara積分、廣義積分以及Z-number距離等概念，并證明了Z-number初值問題的相關性質。Kang等[10]利用期望方法將Z-number轉化為一般模糊數(shù)。姚愛婷等[11]定義了Z-number的兩種參數(shù)形式，并提出Z-number頻譜。

對于Z-number不確定性的刻畫是Z-number理論研究中非常重要的部分，本文綜合考慮Z-number的不確定性來源，即模糊限制A的模糊性與可靠程度B的模糊性，以及可靠程度B的內在不確定性構建了Z-number的綜合熵。在決策應用中，基于風險最小原則通過熵權法給出屬性權重的求解方法。最后，結合復合效用函數(shù)建立一種新的Z-number決策模型，并給出了相應的計算方法。

1 基礎概念

模糊集(Fuzzy Set)和模糊截集是模糊理論的基礎性概念，尤其是三角模糊集和三角模糊截集的具體表達形式可以參見文獻[1]。2011年Zadeh[5]在模糊集理論基礎上提出Z-number理論，相關概念如下：

定義1[5]Z-number是由一對有序模糊數(shù)表示，即Z=(A,B)，其中第一個元素A是不確定變量X的實值函數(shù)，是對X在數(shù)值上的約束；第二個元素B是對第一個元素A可靠性的一種測度。

Zahed指出，B是對A在概率測度上的一種約束，即B實際上可表示為

(1)

其中，pX未知，是X的概率密度函數(shù)，μA是A的隸屬函數(shù)，x∈X。

定義2[6-7]有序數(shù)對Z=(A,B)稱為一個連續(xù)Z-number，其中A是一個連續(xù)型模糊數(shù)，是對變量X在數(shù)值上的一個模糊約束；B是一個隸屬函數(shù)μB:[0,1]→[0,1]的連續(xù)型模糊數(shù)，是對A在概率測度上的模糊約束。

2 Z-number效用函數(shù)

為了度量不同模糊集之間的優(yōu)勢關系，這里基于Z-number提出效用函數(shù)的概念。

定義3設A是一個模糊集，ξ為區(qū)間[0,1]上的一個實數(shù)值，則A上的模糊效用函數(shù)U可定義為模糊集A到實數(shù)ξ的一個映射，即U:A→ξ。

定義4設Z=(A,B)為一個Z-number，A和B是一個連續(xù)型模糊數(shù)，可分別考慮A和B的效用值，再進行復合求得Z-number的復合效用函數(shù)為

(2)

利用上述Z-number復合效用函數(shù)可定義Z-number的偏好關系。

定義5假設Z1、Z2是兩個連續(xù)Z-number，定義偏好關系“”表示Z1劣于或者等同于Z2，即Z1Z2表示CU(Z1)

(1)如果CU(Z1)

(2)如果CU(Z1)>CU(Z2) ，表示Z1優(yōu)于Z2，用Z1?Z2表示；

(3)如果CU(Z1)=CU(Z2) ，表示Z1等同于Z2，用Z1～Z2表示。

直觀上看，Z-number效用函數(shù)會隨著其均值的增大而增大。為了更好地求解Z-number復合效用函數(shù)，本文基于積分中值與截集提出了兩類新的效用函數(shù)。

(1)基于積分中值的效用函數(shù)。

(3)

其中A-、A+分別為模糊集A的左、右端點橫坐標值。

(2)基于λ截集的效用函數(shù)。

(4)

其中A+(λ),A-(λ)分別為模糊數(shù)A的λ-截集的左、右端點。

下面以三角模糊數(shù)為例，對于三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3)，則其對應的效用函數(shù)公式可表達為：

同理，基于截集的效用函數(shù)可表示為：

例1假設有一個Z-numberZ= ((0.4,0.5,x),(0.4,0.7,1))，其復合效用函數(shù)CU1和CU2隨x變化趨勢如圖1所示。

圖1 Z-number的復合效用CU1和CU2隨x變化趨勢圖

例2設有一個Z-numberZ=((0,x,1),(0,y,1))，其符合效用函數(shù)U1隨x和y變化趨勢如圖2所示。

圖2 Z-number的復合效用隨x,y變化趨勢圖

從上面的例子可以看出隨著模糊集均值向右平移，其效用函數(shù)不斷增大，Z-number的復合效用值也隨A與B效用增加而不斷增加。

3 模糊度

一個模糊集的模糊程度可以用模糊度來量化，Luca等[12]給出如下模糊度的概念。

定義6[12]設F(X)為論域X上所有模糊集的全體，任意模糊集A∈F(X)，若映射E:F(X)→[0,1]滿足如下條件：

①當且僅當A是清晰集時，E(A)=0；

④對?A∈F(X)，有E(A)=E(A)c。

則稱E為模糊集F(X)上的一個模糊度函數(shù)，而E(A)為模糊集A的模糊度。

設A為一個連續(xù)型模糊數(shù)，下面提出如下兩種新的模糊度公式。

(1)利用正弦函數(shù)構造正弦模糊度：

(5)

(2)利用多項式函數(shù)構造上弦模糊度：

(6)

下面僅證明(5)式滿足定義6的四條性質,(6)式可類似證明。

證明對于性質①，當A為清晰集時，即μA(x)=0，可得E(A)=0；反之，若E(A)=0，由于μA(x)∈[0,1]，則sin(μA(x)·π)≥0恒成立。又因為A為連續(xù)性模糊數(shù)，μA(x)在[0,1]上也具有連續(xù)性，則sin(μA(x)·π)在[0,1]上連續(xù)。所以sin(μA(x)·π)=0時得到μA(x)=0或1，進而A是清晰集。

對于性質④，由于μAc(x)=1-μA(x)，使得sin(μAc(x)·π)=sin(π-μAc(x)·π) =sin(μA(x)·π)，所以E(A)=E(A)c。證畢。

特別地，對于任意三角模糊數(shù)A=(a1,a2,a3)，根據(jù)(5)和(6)式可計算其正弦模糊度和上弦模糊度分別為：

4 Z-number綜合熵

由Z-number的結構可知，Z-number信息的不確定性主要來自A和B的模糊性以及B中的內在不確定性。其中A和B的模糊性可用其模糊度來度量，B對A可靠性的評價及B的內在不確定性用B的效用函數(shù)度量?；谶@個思想，可構建如下Z-number綜合熵。

定義7設Z=(A,B)為一個Z-number，則Z-number綜合熵可定義為

CE(Z)=f(E(A),E(B),U(B))

(7)

其中，E(A),E(B)分別為A、B的模糊度，U(B)為B的效用函數(shù)。同時，CE(Z)需要滿足如下性質：

(1)綜合熵取值范圍0≤CE(Z)≤1。

(2)CE(Z)=0當且僅當E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

(3)當E(A)=1,E(B)=1,U(B)=0.5任一等式成立時，有CE(Z)=1。

(4)CE(Z)隨著E(A)和E(B)增大而增大；當0≤U(B)≤0.5時，CE(Z)隨U(B)增大而增大；當0.5≤U(B)≤1時，CE(Z)隨U(B)增大而減小。

定義8Z=(A,B)為一個Z-number，可定義如下的具體的Z-number綜合熵：

CE(Z)=1-(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)

(8)

下面證明(8)式滿足定義7中的四個性質：

證明對于性質①，因為0≤E(A)≤1,0≤E(B)≤1,0≤U(B)≤1 ，則有

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2×|U(B)-0.5|≤1。

所以,0≤(1-E(A))(1-E(B))×(2|U(B)-0.5|)≤1，進而可得0≤CE(Z)≤1。

對于性質②，充分性代入即可得證。

若有CE(Z)=0，則有(1-E(A))(1-E(B))(2|U(B)-0.5|)=1。又因為

0≤1-E(A)≤1,0≤1-E(B)≤1,0≤2|U(B)-0.5|≤1，

故1-E(A)=1,1-E(B)=1,2|U(B)-0.5|=1,所以E(A)=0,E(B)=0,U(B)=0或1。

對于性質③，E(A)=1或E(B)=1或U(B)=0.5代入(8)式，即可求得CE(Z)=0。

對于性質④，CE(Z)分別關于E(A)和E(B)求偏導數(shù)可得:

因此CE(Z)會隨著E(A)和E(B)增大而增大。

下面舉一個例子觀察Z-number綜合熵隨模糊限制A及可靠性B變化的情況。

例3假設有一個Z-numberZ=((0,x/2,x),(0,y/2,y))，則其綜合熵隨x與y變化情況如圖3所示。

圖3 Z-number的綜合熵隨x,y變化趨勢圖

5 Z-number多屬性決策方法

5.1 基于Z-number綜合熵的多屬性決策方法

下面基于效用函數(shù)、模糊度和Z-number綜合熵，提出一種新的Z-number多屬性決策方法，具體步驟如下：

假設有一位決策者需要對n個方案進行評價(A1,A2,…,An)，每個方案有m個屬性(a1,a2,…,am)，評價矩陣為D=(zij)n×m，其中zij為決策者對方案Ai在屬性aj下給出的評價值，該評價值以Z-number的形式給出。

步驟1：規(guī)范化Z-number決策矩陣D。通常決策屬性可以分為成本型和效益型兩大類，為保持數(shù)據(jù)屬性和趨向的一致性，需要對其進行規(guī)范化處理。設規(guī)范化后的決策矩陣為R=(rij)n×m，其中

(9)

步驟2：結合(2)式計算規(guī)范化后Z-number復合效用函數(shù)矩陣CE=(CE(rij))n×m。

步驟5： 通過得分公式Score=R×ωT計算每個方案的綜合得分，并根據(jù)方案得分進行排序，從而得到最優(yōu)方案。

5.2 實例分析

下面以姚愛婷等[11]中的例題展示上述多屬性決策方法的計算過程。假設某位乘客旅行在選擇交通工具時有三種不同選擇，即汽車、出租車和火車，該乘客主要考慮的因素為價格、舒適度與旅行時間。根據(jù)實際情況，成本一般是最重要的影響因素，因此將價格與旅行時間都歸屬于成本類因素，而舒適度則歸屬于效益類因素，規(guī)范化為效益型后的具體數(shù)值如表1所示。

表1 規(guī)范化后的決策矩陣

首先，選擇效用函數(shù)U1((2)式)計算Z-number復合效用矩陣為

然后，結合步驟3分別使用正弦模糊度((5)式)和上弦模糊度(式(6))計算三個屬性的綜合熵，并根據(jù)步驟4的熵值法計算每個屬性的權重，綜合熵和屬性權重計算結果如表2所示。

最后，結合步驟5中的得分公式Score=R×ωT，可計算三種出行方案的綜合得分，得分結果如表2所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，無論采用正弦模糊度，還是上弦模糊度，出行方案的排序均為A1?A3?A2，說明該旅客在綜合考慮價格、旅行時間和舒適度因素下最優(yōu)的出行方式是汽車。該結果也與姚愛婷等[11]中的結論是一致的，說明所提出的多屬性決策方法是有效且可行的。

表2 綜合熵、權重和得分的計算結果

6 結 論

本文在Z-number理論的基礎上提出Z-number的復合效用函數(shù)和綜合熵，給出兩種新的模糊度求解公式(即正弦模糊度和上弦模糊度)。在決策屬性完全未知的情況下，本文利用Z-number綜合熵判斷各方案評價信息的不確定性大小，給予不確定性較小的方案更大的權重，計算各方案的加權復合效用并加以排序得到最好的決策結果。該決策方法同時考慮了屬性權重未知、專家偏好未知等不確定因素，為決策者實施決策提供了更準確、直觀的理論依據(jù)。