以應(yīng)用為導(dǎo)向的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐

曾 亮

(廣東理工學(xué)院 基礎(chǔ)課教學(xué)研究部，廣東 肇慶 526100)

離散數(shù)學(xué)是一門研究離散量的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的學(xué)科，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)工程、軟件工程等計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程。該課程的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫原理、編譯原理、操作系統(tǒng)、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、人工智能等后續(xù)核心課程提供了程序設(shè)計(jì)所需要的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。因此，離散數(shù)學(xué)教學(xué)在計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的人才培養(yǎng)中具有重要作用[1]。廣東理工學(xué)院是一所應(yīng)用型本科高校，自2015年新增計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)以來，根據(jù)專業(yè)人才培養(yǎng)的需要開設(shè)了離散數(shù)學(xué)課程。近幾年，新增了軟件工程和網(wǎng)絡(luò)工程兩個(gè)專業(yè)，三個(gè)計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)都在第四學(xué)期開設(shè)離散數(shù)學(xué)課程。現(xiàn)階段，本校離散數(shù)學(xué)課程在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)方法和考核評(píng)價(jià)等方面還處于探索階段，當(dāng)前教學(xué)中存在的一些問題亟待解決。另外，學(xué)校在以實(shí)踐應(yīng)用為特點(diǎn)和出發(fā)點(diǎn)的應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式中，要求教育不僅要考慮到學(xué)科的發(fā)展，還要兼顧社會(huì)的需要。因此，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力為目標(biāo)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革刻不容緩。通過借鑒國(guó)內(nèi)外應(yīng)用型本科院校的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)手段和評(píng)價(jià)體系等方面提出離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革的具體措施。

1 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)中存在的問題

1.1 教學(xué)課時(shí)量偏少

離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論、代數(shù)系統(tǒng)等四大部分，涵蓋了計(jì)算機(jī)領(lǐng)域可能涉及的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)。例如，數(shù)理邏輯部分與人工智能課程密不可分，集合論部分與數(shù)據(jù)庫原理課程密切相關(guān)，圖論部分與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課程密切相關(guān)[2]。教學(xué)時(shí)數(shù)從原有的64學(xué)時(shí)壓縮至48學(xué)時(shí)，與其他一般本科學(xué)校相比，課時(shí)總量偏少。由于該課程包含了較多的數(shù)學(xué)分支內(nèi)容，概念和公式較多，導(dǎo)致一些重要的教學(xué)內(nèi)容被放棄，授課過程中很難擠出時(shí)間將理論與實(shí)踐很好地結(jié)合，教學(xué)效果不理想。

1.2 教學(xué)方法和手段單一

部分教師在授課過程中片面追求數(shù)學(xué)的理論性和邏輯性，沒有體現(xiàn)其在計(jì)算機(jī)學(xué)科中的應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感覺抽象難懂和枯燥乏味，甚至出現(xiàn)厭學(xué)的情況。部分教師教學(xué)手段單一，仍采取純板書的形式授課，不能充分利用多媒體技術(shù)、線上MOOC或SPOC、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)等資源。與其他應(yīng)用性很強(qiáng)的專業(yè)課相比，這種教學(xué)方法和手段顯得過于枯燥，容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

1.3 學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)普遍不高

本校為民辦本科類院校，創(chuàng)辦時(shí)間不長(zhǎng)，在社會(huì)上的影響力有限，所招收的學(xué)生大部分在本科分?jǐn)?shù)線附近。這部分學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普遍不夠扎實(shí)，自學(xué)能力偏差。由于離散數(shù)學(xué)中的很多內(nèi)容與其他數(shù)學(xué)理論課類似，需要學(xué)生具備較好的邏輯思維能力，尤其是數(shù)理邏輯和代數(shù)系統(tǒng)部分，因此有很大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒。對(duì)計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)二年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)情況開展問卷調(diào)查，共有510名學(xué)生參與了調(diào)查。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，認(rèn)為自己的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般的占49.8%，認(rèn)為比較薄弱的占31.6%；在觀察力、記憶力、思維力、想象力、注意力、自學(xué)能力、表達(dá)能力等智力因素方面，認(rèn)為自己學(xué)習(xí)容易分神的占60.2%，認(rèn)為學(xué)過的知識(shí)記不住的占50.6%，認(rèn)為自學(xué)效率很低的占49.4%；在學(xué)習(xí)需要、動(dòng)機(jī)、興趣、毅力、情緒等非智力因素方面，認(rèn)為自己學(xué)習(xí)情緒不穩(wěn)定、興趣時(shí)有時(shí)無的占62.6%，毅力差、不能堅(jiān)持學(xué)習(xí)的占40.4%，會(huì)主動(dòng)學(xué)習(xí)的僅占29.8%。

2 離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革與實(shí)踐

2.1 合理設(shè)置教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)涉及的內(nèi)容較多，主要包括數(shù)理邏輯、集合論、二元關(guān)系、圖論和代數(shù)系統(tǒng)，本校的教學(xué)時(shí)數(shù)僅為48學(xué)時(shí)，教學(xué)時(shí)數(shù)偏少，所以在課堂教學(xué)中很多內(nèi)容要有所取舍，既要考慮專業(yè)對(duì)課程內(nèi)容的后續(xù)需求，也要考慮內(nèi)容之間的合理銜接。根據(jù)本校實(shí)際情況做出了教學(xué)內(nèi)容及相應(yīng)學(xué)時(shí)安排，如表1所示。

2.2 改變教學(xué)模式，提升實(shí)踐應(yīng)用能力

傳統(tǒng)的教學(xué)模式是“概念→定理→證明→例題”，這種純數(shù)學(xué)的教學(xué)方法忽視了其應(yīng)用背景和實(shí)用性。許多學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)這門課枯燥難懂且毫無用處，也體會(huì)不到對(duì)計(jì)算機(jī)編程的作用。為此，我們改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，實(shí)施逆向案例教學(xué)模式，即“提出問題→分析問題→引入概念→抽象建?！O(shè)計(jì)分析→程序設(shè)計(jì)”模式[3]，其中問題來源于專業(yè)案例或者實(shí)際問題。通過精心選擇和設(shè)置一些有趣、實(shí)用的問題，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，而且可以引導(dǎo)他們解決更困難、更深層次的問題，使其在解決這些問題的過程中找到快樂和成就感，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)習(xí)慣，提升知識(shí)遷移的能力[4]。任課教師需要熟悉所要講授的內(nèi)容并掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，精挑細(xì)選出適合的應(yīng)用問題。例如，在講解數(shù)理邏輯中的邏輯演算法前，可以提出以下問題：

表1 各單元教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配Tab.1 Teaching content and class time allocation of each unit

在某次學(xué)術(shù)會(huì)議的茶歇階段，三名參會(huì)人員根據(jù)張教授的口音對(duì)他是哪個(gè)省市的人進(jìn)行了判斷：甲說張教授不是南京人，是上海人；乙說張教授不是上海人，是南京人；丙說張教授既不是上海人，也不是杭州人。聽完以上三人的判斷后，張教授笑著說，他們?nèi)酥杏幸蝗苏f的全對(duì)，有一人說對(duì)了一半，另一人說的全不對(duì)。

在講解集合論中的容斥原理前，可提出以下問題：10個(gè)小朋友愛吃香蕉或蘋果，其中有8個(gè)愛吃香蕉，5個(gè)愛吃蘋果，問幾個(gè)小朋友既愛吃香蕉又愛吃蘋果？

在講解圖論中圖的連通性前，可提出經(jīng)典的渡河問題[5]：一個(gè)船夫要把一只狼、一只羊和一捆菜運(yùn)過河對(duì)岸去。由于船很小，每次船夫至多只能帶一樣?xùn)|西。另外，如果人不在旁邊時(shí)狼就要吃羊，羊就要吃菜，問這個(gè)船夫怎樣才能將它們運(yùn)過河去。

講解完相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)后，提供解決問題的算法或程序，將學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)與提升學(xué)生程序設(shè)計(jì)能力相結(jié)合，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和編寫程序的能力，而且可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)對(duì)后續(xù)專業(yè)課程的重要性[6]。為此，設(shè)計(jì)了部分程序題供學(xué)生課后學(xué)習(xí)。每道程序題分難度等級(jí)，并設(shè)置相應(yīng)的分?jǐn)?shù)作為平時(shí)成績(jī)的一部分，部分程序題如下：(1)編寫一段程序，測(cè)試P和Q的兩個(gè)邏輯表達(dá)式是否邏輯等價(jià)；(2)已知集合A和B，編寫程序求A與B的笛卡爾積；(3)編寫一段程序，判定關(guān)系是否是自反的、反自反的、對(duì)稱的、反對(duì)稱的、傳遞的；(4)若R是A上的關(guān)系，編寫程序求R的自反閉包、對(duì)稱閉包和傳遞閉包；(5)給定n個(gè)權(quán)，通過編寫程序方式構(gòu)造一棵最優(yōu)二叉樹。

2.3 多種教學(xué)手段相結(jié)合

現(xiàn)階段，部分教師依然采用“粉筆+板書”的傳統(tǒng)教學(xué)手段。黑板板書能夠充分展示出數(shù)學(xué)思維的推導(dǎo)過程，也能讓學(xué)生有充分思考的時(shí)間，跟上教師節(jié)奏，但學(xué)習(xí)效率較低，在有限的時(shí)間內(nèi)很難展示較多的內(nèi)容。缺少圖形或動(dòng)態(tài)展示會(huì)使課堂不夠生動(dòng)，課堂氛圍較為枯燥，不利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。多媒體技術(shù)能夠彌補(bǔ)純板書的缺陷，“板書+多媒體”成為當(dāng)前課堂教學(xué)的主流教學(xué)手段，利用多媒體展示定義、定理、圖形和程序運(yùn)行，板書演示證明推導(dǎo)的過程。例如，在圖論的教學(xué)中，通過動(dòng)畫演示路徑、回路、簡(jiǎn)單路徑、基本路徑和圈之間的聯(lián)系與區(qū)別，通過程序演示最短路徑算法等。利用智慧教學(xué)軟件“雨課堂”同步發(fā)送課件、實(shí)時(shí)考勤和實(shí)時(shí)發(fā)布習(xí)題，方便了學(xué)生查看歷史PPT內(nèi)容，減少考勤時(shí)間，提高課堂效率，實(shí)現(xiàn)師生的線上實(shí)時(shí)互動(dòng)，使課堂氛圍更加活躍[7]。

在現(xiàn)代信息技術(shù)引領(lǐng)下的高等教育課堂中，線上線下混合教學(xué)模式受到許多教師的青睞。這種教學(xué)模式具有幾大特點(diǎn)：一是信息空間與真實(shí)物理空間的有效融合，二是體現(xiàn)出淺層學(xué)習(xí)與深度學(xué)習(xí)的融合，三是學(xué)習(xí)時(shí)間和地點(diǎn)被有效拓展。利用MOOC、SPOC網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)等優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，設(shè)置課前自主完成的部分學(xué)習(xí)任務(wù)，課堂教學(xué)根據(jù)線上學(xué)習(xí)反饋情況，進(jìn)一步鞏固所學(xué)內(nèi)容，對(duì)知識(shí)做進(jìn)一步的應(yīng)用性拓展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。錄制重要知識(shí)點(diǎn)或習(xí)題的講解視頻，發(fā)布至網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上供學(xué)生課后學(xué)習(xí)鞏固。例如，不定期錄制講解視頻，發(fā)布在學(xué)生群體關(guān)注度較高的“嗶哩嗶哩”網(wǎng)站上，受到學(xué)生的一致好評(píng)。

2.4 改革評(píng)價(jià)體系，增加實(shí)踐能力考核

本校離散數(shù)學(xué)課程的原評(píng)價(jià)體系是按照平時(shí)成績(jī)(考勤和課后習(xí)題作業(yè))占40%和期末閉卷考試成績(jī)占60%計(jì)算綜合成績(jī)的。課后習(xí)題作業(yè)和考試內(nèi)容圍繞所學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行設(shè)置和考核。這種方式只能檢測(cè)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，不能反映學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力。為增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力，采用以下幾個(gè)方面的考核：考勤(利用雨課堂平臺(tái)簽到)占10%、課后習(xí)題作業(yè)占10%、實(shí)踐大作業(yè)(程序設(shè)計(jì)題)占10%、課堂表現(xiàn)(設(shè)置搶答環(huán)節(jié))占10%、期末考試(增加應(yīng)用題)占60%。這種考核方式不僅可以增強(qiáng)學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的參與性，還能增強(qiáng)程序設(shè)計(jì)能力，改善學(xué)生“平時(shí)不重視學(xué)習(xí)，考前突擊應(yīng)付”的陋習(xí)。

3 結(jié)語

在當(dāng)前就業(yè)形勢(shì)下，如何培養(yǎng)具有一定理論基礎(chǔ)和熟練掌握計(jì)算機(jī)操作技能的應(yīng)用型人才，是應(yīng)用型本科高校制訂人才培養(yǎng)方案時(shí)需要深入思考的問題。離散數(shù)學(xué)作為一門計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，由于其課時(shí)的有限性和理論的抽象性給課程教學(xué)帶來了很大挑戰(zhàn)，需進(jìn)一步改革和創(chuàng)新教學(xué)體系。通過合理設(shè)置課程內(nèi)容、創(chuàng)新教學(xué)模式、有效融合多種教學(xué)手段和改革評(píng)價(jià)體系，使學(xué)生在有限的課時(shí)內(nèi)不僅能夠掌握離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，還能提高程序設(shè)計(jì)能力和應(yīng)用實(shí)踐能力。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，離散數(shù)學(xué)課程也需要不斷改革與探索，進(jìn)一步提高教學(xué)水平和人才培養(yǎng)質(zhì)量。