巧用向量法 解答數(shù)學(xué)題

莫冬瑩

摘 要：向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，常作為一種解題方法用于解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.實(shí)踐表明，運(yùn)用向量法解決數(shù)學(xué)問題，可迅速找到解題的切入點(diǎn)，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);向量法;數(shù)學(xué)題

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）10-0006-03

運(yùn)用向量法解決高中數(shù)學(xué)習(xí)題常會(huì)應(yīng)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以尋找相關(guān)參數(shù)之間的邏輯關(guān)系.實(shí)踐表明，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的計(jì)算問題，大大降低解題的難度，因此，教學(xué)活動(dòng)中要注重與學(xué)生一起總結(jié)向量與對(duì)應(yīng)幾何之間的關(guān)系以及向量坐標(biāo)運(yùn)算的相關(guān)法則.

1 用于求最值問題

最值問題是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，解該類問題主要有兩種思路：運(yùn)用基本不等式和運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性，因此運(yùn)用向量法解高中數(shù)學(xué)問題時(shí)，可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，而后運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答.

例1 設(shè)a，b，c為平面向量，|a|=|b|=2，若（2c-a）·（c-b）=0，則c·b的最大值為.

解析 根據(jù)題意可設(shè)b=（2，0），a=（2cosα，2sinα），α∈[0，2π]，c=（x，y），則c·b=2x，將問題轉(zhuǎn)化為求x的最大值問題.

因?yàn)?c-a=（2x-2cosα，2y-2sinα），c-b=（x-2，y），

所以（2c-a）·（c-b）=（2x-2cosα）（x-2）+（2y-2sinα）y=0.

整理，得y2-ysinα+x2-x（cosα+2）+2cosα=0.

關(guān)于y的方程有解，則Δ=sin2α-4x2+4x（cosα+2）-8cosα≥0.

令t=cosα∈[-1，1]，則4x2-4x（t+2）+t2+8t-1≤0.

所以t+2-5-4t2≤x≤t+2+5-4t2.

令m=5-4t∈[1，3]，則

t+2+5-4t2=-（m-2）2+178≤178.

所以x≤178，則2x≤174.

2 用于求范圍問題

求解參數(shù)范圍是高中數(shù)學(xué)的一類重要題型，其中借助向量坐標(biāo)的簡單運(yùn)算可將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，借助三角函數(shù)的有界性問題便可迎刃而解.

例2 已知ABCD為正方形，點(diǎn)P在以C為圓心且與直線BD相切的圓上運(yùn)動(dòng)，若AP=λAB+μAD（其中λ，μ∈R），則λ+μ的取值范圍為.

解析 設(shè)正方向ABCD的邊長為1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線，AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）.則直線BD的方程為x+y=1.

由已知條件，得圓C的半徑r=d=22.

則圓C的方程為（x-1）2+（y-1）2=12.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+22cosθ，1+22sinθ），AB=（1，0），AD=（0，1），AP=（1+22cosθ，1+22sinθ）.

又因?yàn)锳P=λAB+μAD，即

（1+22cosθ，1+22sinθ）=λ（1，0）+μ（0，1）.

則λ=1+22cosθ，μ=1+22sinθ.

則λ+μ=2+22（cosθ+sinθ）=2+sin（θ+π4）.

而sin（θ+π4）∈[-1，1]，則λ+μ∈[1，3].

3 用于求軌跡問題

軌跡問題往往涉及到點(diǎn)、線的變化，對(duì)學(xué)生想象以及分析問題的能力要求較高，運(yùn)用向量法可將看似復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的坐標(biāo)運(yùn)算，大大提高解題的正確率.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量法求解軌跡問題，尤其結(jié)合具體習(xí)題為學(xué)生展示如何建系，如何設(shè)點(diǎn)，給其帶來良好的解題啟發(fā)，使學(xué)生能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).

例3 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球?yàn)榍騉，M為B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在球面上運(yùn)動(dòng)，且總有DP⊥BM，則點(diǎn)P軌跡的周長為.

解析 根據(jù)題意，得正方體外接球半徑R=3.

設(shè)點(diǎn)N為BB1的中點(diǎn)，連接CN，DN，DO，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，2，0），D（0，0，0），N（2，2，1），B（2，2，0），M（1，2，2），O（1，1，1）.則CN=（2，0，1），BM=（-1，0，2），DC=（0，2，0）.

則CN·BM=0，BM·DC=0.

則CN⊥BM，DC⊥BM.

又因?yàn)镃D∩CN=C，所以BM⊥平面DCN.

所以點(diǎn)P的軌跡為平面DCN與外接球的交線，則點(diǎn)O到平面DCN的距離d=|DO·BM|BM=55.

截面圓的半徑r=R2-d2=705，點(diǎn)P軌跡的周長C=2πr=270π5.

4 用于求離心率問題

求解離心率是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中的熱門問題.部分問題與向量知識(shí)結(jié)合起來，難度相對(duì)較大.解題的過程中應(yīng)結(jié)合題干創(chuàng)設(shè)的情境運(yùn)用向量法進(jìn)行解答，結(jié)合實(shí)際情況將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系、坐標(biāo)運(yùn)算等.

例4 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上一點(diǎn)，Q為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，點(diǎn)P，Q均位于第一象限，且2QP=PF2，QF1·QF2=0，則雙曲線C的離心率為.

解析 設(shè)Q（m，bam）（m>0），P（s，t），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則QP=（s-m，t-bam），PF2=（c-s，-t）.

因?yàn)?QP=PF2，所以s=m+12c1+12，t=bma1+12.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上，代入雙曲線方程C，整理，得c2+4mc=9a2.

即m=9a2-c24c.

因?yàn)镼F1·QF2=0，則bmam-c·bmam+c=-1.

整理，得c2-m2=b2m2a2.

所以c2=m2·c2a2.

所以m=a.即4ac=9a2-c2.

即e2+4e-9=0，

解得e=-2+13，e=-2-13（舍去）.

所以e=-2+13.

5 用于求解析幾何問題解析幾何是比較常見的一種題型，與普通的平面幾何試題相比難度有明顯提升，因?yàn)榻馕鰩缀晤}目中通常同坐標(biāo)軸一起出現(xiàn)，還具有數(shù)量與方向兩個(gè)特征，所以會(huì)涉及平面向量的知識(shí).在處理解析幾何類試題時(shí)，可

采用向量語言來說明解析幾何的特征，同時(shí)也可借助向量對(duì)解析幾何的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，使其解題思維得以開拓，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu).

例5 已知點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），點(diǎn)P滿足：直線PM的斜率是k1，直線PN的斜率為k2，且k1×k2=-34.

（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程;

（2）過點(diǎn)F（1，0）的直線l同曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，那么在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QA×QB是一個(gè)定值？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由.

解析 （1）根據(jù)題意可以得到k1=yx+2（x≠-2），k2=yx-2（x≠2）.

根據(jù)k1×k2=-34可知yx+2×yx-2=-34.

則軌跡C的方程是x24+y23=1（x≠±2）.

（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得QA×QB是一個(gè)定值.

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程是y=k（x-1）（k≠0），將3x2+4y2=12與y=k（x-1）聯(lián)立起來，可以得到（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0.

令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=8k23+4k2，x1×x2=4k2-123+4k2.

根據(jù)QA=（x1-m，y1），QB=（x2-m，y2），

所以（x1-m）（x2-m）+y1y2

=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）

=（1+k2）x1x2-（m+k2）·（x1+x2）+m2+k2

=-（5+8m）k2-123+4k2+m2.

將m看成常數(shù)，要使上述式子為定值，需滿足5+8m=16，即m=118，這時(shí)QA×QB=-13564.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可以得到A（1，32），B（1，-32），Q（118，0）.

由此得出QA=（-38，32），QB=（-38，-32），QA×QB=-13564.

綜上，存在點(diǎn)Q（118，0），使得QA×QB為定值.

向量法在高中數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.為使學(xué)生更好地掌握這一重要的解題方法，應(yīng)做好向量基礎(chǔ)知識(shí)的講解，使學(xué)生切實(shí)打牢基礎(chǔ).同時(shí)，做好經(jīng)典例題的講解以及相關(guān)習(xí)題的訓(xùn)練，提高學(xué)生運(yùn)用向量法學(xué)習(xí)意識(shí)的同時(shí)，掌握相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)與技巧.

參考文獻(xiàn)：

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吳麗端.向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略[J].數(shù)理化解題研究，2021（22）：49-50.

[2] 魏琦.高中數(shù)學(xué)向量解題基本思想與技巧分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020（07）：139.

[責(zé)任編輯：李 璟]