含執(zhí)行器飽和主動懸架反饋控制的LMI方法

曹青松，易 星，許 力

（江西科技學(xué)院機械工程學(xué)院，江西 南昌 330098）

1 引言

主動懸架系統(tǒng)是在被動懸架系統(tǒng)中附加一個可控作用力裝置，能夠根據(jù)不同的路況主動并實時地產(chǎn)生所需的控制力，能使系統(tǒng)始終處于最佳的工作狀態(tài)，已經(jīng)越來越廣泛使用在軍用車、高檔乘用車上。主動懸架執(zhí)行器飽和現(xiàn)象作為其常見非線性現(xiàn)象之一，會大大降低系統(tǒng)的控制性能，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。陳士安等采用LMI方法設(shè)計主動懸架H2控制器，通過多工況數(shù)值仿真驗證控制器對提高車輛側(cè)傾安全的良好效果[1]。文獻(xiàn)[2]綜合考慮半主動懸架座椅系統(tǒng)的參數(shù)不確定性、作動器飽和時滯問題，建立人體垂直振動模型，利用Lyapunov函數(shù)及LMI方法設(shè)計狀態(tài)反饋控制器。文獻(xiàn)[3]針對廣義系統(tǒng)、切換系統(tǒng)以及大規(guī)模分散系統(tǒng)等具有執(zhí)行器飽和的典型控制系統(tǒng)，研究在輸入飽和情況下的吸引域估計方法和干擾抑制問題。文獻(xiàn)[4]通過描述函數(shù)法表達(dá)死區(qū)飽和特性，給出確定含有死區(qū)飽和的非線性系統(tǒng)PID控制器參數(shù)的穩(wěn)定域方法。文獻(xiàn)[5]慮作動器飽和、外部干擾及參數(shù)不確定性因素，采用帶約束的自適應(yīng)控制策略，研究車輛主動懸架隔振問題。文獻(xiàn)[6]考慮作動器失效及飽和對主動懸架系統(tǒng)的影響，設(shè)計自適應(yīng)H∞控制器，分別在狀態(tài)反饋和動態(tài)輸出反饋條件下通過對系統(tǒng)失效率的實時估計，實現(xiàn)對作動器自適應(yīng)補償控制。文獻(xiàn)[7]研究主動懸架靜態(tài)反饋控制問題，考慮主動懸架撓度、作動器飽和等因素，采用基于變量替換的靜態(tài)輸出反饋方法設(shè)計控制器，通過線性矩陣不等式進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]考慮主動懸架的參數(shù)不確定性、路面擾動和作動器飽和，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行狀態(tài)估計，設(shè)計基于粒子群優(yōu)化算法的含飽和輸入的狀態(tài)反饋控制器。文獻(xiàn)[9]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究含執(zhí)行器飽和的主動懸架自適應(yīng)控制器，通過backstepping技術(shù)和障礙Lyapunov函數(shù)方法解決系統(tǒng)約束問題。基于上述研究背景，建立具有執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間模型，確定含執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)的橢圓不變集條件，估計系統(tǒng)的收斂域大小，采用LMI方法設(shè)計含執(zhí)行器飽和的主動懸架反饋控制律。

2 含執(zhí)行器飽和的1∕4車體主動懸架數(shù)學(xué)模型

將1∕4車體主動懸架系統(tǒng)簡化為具有彈簧、阻尼器和執(zhí)行器的二自由度振動系統(tǒng)，如圖1所示。圖中：x1、x2—車身垂直位移和懸架垂直位移；x0—路面輸入量；m1、m2—簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量；k1、k2—懸架彈簧剛度和輪胎剛度；c—等效懸架阻尼系數(shù)；u—執(zhí)行器產(chǎn)生的作動力。

圖1 1∕4車體主動懸架系統(tǒng)模型Fig.1 The Model of Active Suspension System for 1∕4 Vehicle Body

由圖1可推導(dǎo)出1∕4車體主動懸架系統(tǒng)的運動方程如下：

考慮執(zhí)行器具有非線性飽和現(xiàn)象，sat：u∈Rm→Rm是標(biāo)準(zhǔn)的飽和函數(shù)向量，則：

飽和函數(shù)示意圖，如圖2所示。圖中：umax、umin—飽和上下限值；xi、xj—對應(yīng)的自變量值。作動力未達(dá)到飽和時，其曲線呈線性或非線性變化；當(dāng)達(dá)到飽和時，其曲線保持恒定值。建立含執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下：

圖2 飽和函數(shù)示意圖Fig.2 Diagram of Saturation Function

3 含執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)不變集條件分析

系統(tǒng)（4）是一個非線性系統(tǒng)，研究它在原點的平衡點附近的收斂區(qū)域，即曲線收斂到原點的所有相容的初始條件的集合。通過以下形式來估計收斂區(qū)域：

其中，P1∈R q×q是正定矩陣，ε(P1，1)是一個具有收縮性的橢圓不變集：

定義D為所有m×m對角線上元素為1或0的對角矩陣的集合，有2m個元素，假定D中的元素表示成Ds，s∈[ 1，2m]。

定義Di=I-D i，顯然，如果D s∈D，那么D-s∈D。

給定F，H∈Rm×n。那么，對于任意的x∈ζ(H)，存在：

其中，co—凸集合。

根據(jù)上述Ds和co的描述，將Ds定義為系統(tǒng)執(zhí)行器的飽和度，即執(zhí)行器可輸出的最大作用力占其額定值的比例。

考慮具有以下形式的非奇異矩陣：

其中，P1∈R q×q，P4∈R(n-q)×(n-q)是非奇異矩陣。

由此，給出橢圓ε(P1，1)的不變集條件，即給定矩陣P1>0，如果存在一個形如上述P矩陣和一個H∈Rm×n，使得：

且ε(EP，1)?ζ(H)，那么閉環(huán)系統(tǒng)在ε(EP，1)中是正則、無脈沖的，即ε(P1，1)是一個具有收縮性的橢圓不變集。

4 含執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與反饋控制律設(shè)計

將具有執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)收斂域問題歸結(jié)為求解一個最大且具有收縮性的橢圓不變集ε(P1，1)。定義一個形狀參考集合X R和目標(biāo)值α，求解最大的α，并使得X R?ε(P1，1)，去接近橢圓不變集ε(P1，1)的大小。因此，通過以下優(yōu)化算法求解最大的橢圓不變集ε(P1，1)。

考慮形狀參考集合是橢圓，即：

那么，約束（1）等價于

進(jìn)一步，通過Schur補定理，可以等價于

約束（2）等價于

式中：h1i—H1的第i行。

定義：

g1i表示G1=H1Q1的第1行。在橢圓作為形狀參考集合X R的情況下，式（8）可轉(zhuǎn)換成求解LMI，算法如下：

為使得具有執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)具有盡可能大的橢圓不變集，應(yīng)對反饋控制律F進(jìn)行優(yōu)化。進(jìn)一步改進(jìn)LMI算法，將其轉(zhuǎn)化成F的優(yōu)化設(shè)計，將F視為額外的一個優(yōu)化參數(shù)，定義M=FQ，式（16）變換成

則優(yōu)化后的F通過F=M Q-1求解。

5 實例仿真分析

5.1 仿真參數(shù)與計算步驟

5.1.1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

用于實例仿真的主動懸架系統(tǒng)參數(shù)，如表1所示。

表1 主動懸架仿真參數(shù)Tab.1 Simulation Parameters of Active Suspension

5.1.2 計算與仿真步驟

（1）根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程（4）和系統(tǒng)仿真參數(shù)，確定系統(tǒng)模型系數(shù)矩陣或向量。

（2）設(shè)定飽和度Ds值及初始控制律F，通過LMI算法，求解初始狀態(tài)下的系統(tǒng)最大橢圓不變集。

適宜性分值銜接了空間開發(fā)限制性與建設(shè)用地空間管制[15]，即適宜性等級評價中最適宜區(qū)為非強限制區(qū)與較強限制區(qū)，得分最高的疊加區(qū)域，該區(qū)域宜劃入適建區(qū)；特別不適宜區(qū)分布在強限制區(qū)內(nèi)，該區(qū)域應(yīng)劃入禁建區(qū)；不適宜區(qū)處于非強限制區(qū)與較強限制區(qū)得分最低的區(qū)域，該區(qū)域宜劃入限建區(qū)；基本適宜區(qū)雖然不在強限制區(qū)內(nèi)但適宜性分值并不高，可根據(jù)具體情況將分別劃入適建區(qū)、限建區(qū)。

（3）根據(jù)（1）和（2），建立Simulink模型，觀測系統(tǒng)輸入與輸出。

（4）設(shè)置某一飽和度Ds值，將控制律F作為參數(shù)變量，利用LMI算法進(jìn)行優(yōu)化，得到最優(yōu)控制律F和最大橢圓不變集。

（5）設(shè)置不同飽和度Ds值，求解其對應(yīng)的最優(yōu)控制律F。

5.2 結(jié)果與分析

5.2.1 求解初始狀態(tài)，分析系統(tǒng)穩(wěn)定性

為驗證含飽和的主動懸架系統(tǒng)滿足不變集條件，根據(jù)仿真參數(shù)及狀態(tài)空間模型（4），以階躍信號作為路面輸入，設(shè)置飽和度Ds=1，初始控制律F=［-1，-6，-1，-3］，采用LMI算法進(jìn)行仿真求解，得到系統(tǒng)初始橢圓不變集ε(P1，1)，如圖3所示。

圖3 初始F下的系統(tǒng)橢圓不變集Fig.3 Elliptic Invariant Set of System for Initial F

由圖3可知，主動懸架系統(tǒng)的不變集ε(P1，1)是個橢圓，證明具有執(zhí)行器飽和的主動懸架系統(tǒng)滿足不變集條件，進(jìn)一步表明系統(tǒng)是收斂的，且具有一定的穩(wěn)定區(qū)域。

同時，為觀測初始控制律F下系統(tǒng)的輸入輸出響應(yīng)情況，在Simulink中建立系統(tǒng)仿真模型，觀測主動懸架系統(tǒng)簧載質(zhì)量的位移x1和加速度a1，如圖4、圖5所示。圖中：L1—階躍路面激勵；L2—系統(tǒng)簧載質(zhì)量位移；L3—系統(tǒng)簧載質(zhì)量加速度；L4—執(zhí)行器加速度。

圖4 路面階躍激勵與簧載質(zhì)量位移曲線Fig.4 Curves of Road Step Excitation and Sprung Mass Displacement

圖5 簧載質(zhì)量與執(zhí)行器加速度曲線Fig.5 Acceleration Curves of Sprung Mass and Actuator

5.2.2 求解控制律F，優(yōu)化橢圓不變集

為增大系統(tǒng)收斂區(qū)域，設(shè)置飽和度Ds=1，把F視為設(shè)計變量，通過LMI算法求解得到優(yōu)化后的最大橢圓不變集ε(P1，1)，如圖6所示。比較圖3和圖6，通過把F視為設(shè)計變量對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，使得橢圓不變集ε(P1，1)有了明顯的增大，并求得最大橢圓不變集對應(yīng)的控制律F。

圖6 優(yōu)化后的最大橢圓不變集Fig.6 Maximum Ellipsoidal Invariant Set After Optimization

以最大橢圓不變集為前提，進(jìn)一步研究不同飽和度Ds對控制律F的影響，選取不同的Ds值進(jìn)行仿真，不同Ds下的控制律F仿真結(jié)果，如表2所示。當(dāng)系統(tǒng)飽和度Ds不同時，控制律F也不同，隨著Ds減小，控制律F值隨之增大，即當(dāng)執(zhí)行器能夠提供的最大作用力占其額定輸出力的比例越小時，系統(tǒng)需要提供更大的反饋增益來盡可能滿足系統(tǒng)的需求。此外，通過LMI求解的最大α和γ值不變，即表明將控制律F作為設(shè)計變量時，系統(tǒng)橢圓不變集的最大值不變且唯一。

表2 不同Ds下的控制律F仿真結(jié)果Tab.2 Simulation Results of Control Law F with Different Ds

6 結(jié)論

建立了含執(zhí)行器飽和的1∕4車體主動懸架系統(tǒng)動力學(xué)模型，確定了系統(tǒng)橢圓不變集條件，通過LMI方法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并將控制律作為設(shè)計變量，得到優(yōu)化后的控制律。該控制律能顯著增大系統(tǒng)的橢圓不變集，且當(dāng)改變執(zhí)行器飽和度時，控制律也隨之改變，可得到不同飽和度下的控制律。所研究的主動懸架反饋控制律設(shè)計方法，可為改善執(zhí)行器非線性不利影響提供參考，為高性能主動懸架系統(tǒng)研制奠定理論基礎(chǔ)。