具有梯度源和非局部源的反應(yīng)擴散方程解的爆破時刻下界*

沈旭輝

（山西財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030006）

引 言

在過去的幾十年中，由于在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)以及其他應(yīng)用學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，反應(yīng)擴散方程解的爆破現(xiàn)象成為研究的熱點.許多學(xué)者研究了解的整體存在、有限時刻爆破及解的定性分析等并取得了一系列有意義的成果(參見文獻[1-4]).眾所周知，當(dāng)方程的解在有限時刻發(fā)生爆破時，對于爆破時刻的估計具有很大的實際意義.關(guān)于爆破時刻的上界已有大量的研究，特別是在文獻[5]中，作者概括性地給出了幾種尋找爆破時刻上界的方法.然而在實際問題中，僅知道爆破時刻的上界是不夠的；從安全地控制實際生產(chǎn)的角度來說，爆破時刻的下界可以給出安全的控制時間，因此研究爆破時刻的下界更加有意義但也更加困難.Payne 等在文獻[6]中首次給出解的爆破時刻的下界.此后，學(xué)者們研究解的爆破時刻的下界并取得了豐富的成果[7-12].據(jù)筆者所知，目前許多研究解的爆破時刻下界的工作集中在Ω ?R3上 .關(guān)于在Ω ?Rn(n≥2)上，解的爆破時刻下界的研究不多，而對于具有梯度源及非局部源的反應(yīng)擴散方程的爆破時刻下界的研究則更少.本文研究了下列具有梯度源和非局部源的反應(yīng)擴散方程解的爆破現(xiàn)象：

其中Ω為 Rn(n≥2)上 帶有光滑邊界的有界凸區(qū)域，為Ω的閉包，t?為 可能發(fā)生的爆破時刻.令 R+=(0,∞)，假設(shè)a為正常數(shù)，g(u)∈C1()為 非負函數(shù)，u0∈C1()為初始值且滿足相容性條件.

對于已有的諸多研究，我們主要關(guān)注文獻[13-14]中的工作.Song 在文獻[13]中研究了下列問題解的爆破現(xiàn)象：

其中 Ω ?R3為帶有光滑邊界的有界凸區(qū)域.通過使用Sobolev 不等式和微分不等式技術(shù)，其給出了爆破現(xiàn)象發(fā)生時解的爆破時刻的下界.Marras、Vernier Piro 等在文獻[14]中討論了下列問題解的爆破現(xiàn)象：

其中區(qū)域Ω ?Rn(n≥2)為有界光滑凸區(qū)域.當(dāng)Ω ?R3時，作者在合適的假定之下給出解的爆破時刻的下界估計.

受上述文獻工作的啟發(fā)，我們研究了問題(1)解的爆破現(xiàn)象.首先，問題(1)的研究具有重要的理論背景和實際意義，它不僅可以描述一些熱力學(xué)問題，而且可以用來解釋一些生活在特定區(qū)域內(nèi)生物種群密度(如細胞、細菌等)的演化問題.對于一個種群而言，物種的密度受種群中個體生長因素的影響，其中個體自身的生長不僅受其自身周邊物種的影響，而且還受到與整個區(qū)域內(nèi)其他物種之間的競爭關(guān)系的影響.因此，建立非局部源則更加符合實際.其次，對種群密度而言，個體的意外死亡因素也是不可忽視的，從而可以借助梯度源? |?u|q來描述物種的意外死亡.有關(guān)具有梯度源和非局部源的反應(yīng)擴散方程讀者還可以參考文獻[15-17].再者，據(jù)筆者所知，目前還沒有文獻針對問題(1)的爆破時刻下界進行估計.因此在本文中，我們將考慮具有梯度源和非局部源的反應(yīng)擴散問題，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，利用微分不等式技術(shù)和Sobolev 不等式，分別給出當(dāng)爆破現(xiàn)象出現(xiàn)時，在Ω ?Rn(n≥3)和 Ω ?R2上解的爆破時刻下界.

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：在第1 節(jié)中，當(dāng) Ω ?Rn(n≥3)時，我們給出解的爆破時刻下界；在第2 節(jié)中，當(dāng)Ω ?R2時，我們導(dǎo)出解的爆破時刻下界；在第3 節(jié)中，我們給出具體的實例應(yīng)用來解釋文中取得的抽象結(jié)果；第4 節(jié)對全文進行了總結(jié).

1 在Ω ?Rn(n≥3)上解的爆破時刻下界

在本節(jié)中，我們給出有界凸區(qū)域Ω ?Rn(n≥3)上問題解的爆破時刻下界.為此我們假設(shè)

其中b為正常數(shù).此外，還假設(shè)常數(shù)p>1,q>2且滿足

定義下列輔助函數(shù)：

其中

此外，我們還將使用下列Sobolev 不等式(參見文獻[18])：

這里C=C(n,Ω)為依賴于空間維數(shù)n和區(qū)域Ω的常數(shù).下面給出本節(jié)的主要結(jié)論.

定理1設(shè)u是問題(1)的一個非負經(jīng)典解，假設(shè)條件(2)～ (4)成立.如果方程的解u在有限時刻爆破，則有爆破時刻的下界為

其中

且ρ0=min?Ω(x·ν)，d=maxΩˉ|x|.

證明使用條件(2)、(4)及散度定理，我們有

運用H?lder 不等式推出

等價于

將式(12)代入式(10)中可得

利用H?lder 不等式和Young 不等式，有

其中 ε1在式(8)中給出.將式(14)、(15)代入式(13)得

使用條件(3)、(4), H?lder 不等式及Young 不等式，我們有

聯(lián)合式(16)～ (19)，得到

其中A1,A2在式(6)中給出，M在式(9)中給出.

接下來，我們估計式(20)中的第四項.使用Sobolev 不等式以及H?lder 不等式得到

我們有

將式(23)、(24)代入式(21)可得

聯(lián)合式(20)及式(25)推導(dǎo)出

對式(26)兩邊從0 到t積分，得

2 在Ω ?R2上解的爆破時刻下界

本節(jié)中，我們在Ω ?R2上給出解的爆破時刻下界.這里仍然假設(shè)條件(2)、(3)成立.定義下列輔助函數(shù)：

且

當(dāng)n=2時，由于式(5)中的嵌入定理不再成立，因此我們使用下列嵌入定理：

即

其中C1=(n,Ω)為依賴于n和Ω的常數(shù).主要結(jié)論陳述如下.

定理2假設(shè)u為問題(1)的非負經(jīng)典解，假設(shè)條件(2)、(3)和式(28)成立，如果問題的解在有限時刻t?發(fā)生爆破，則有爆破時刻的下界為

其中

證明重復(fù)第1 節(jié)中式(10)～ (15)中的計算過程，我們有

對式(36)運用H?lder 不等式和Young 不等式，有

將式(35)～ (37)代入式(34)，推出

對式(38)兩邊從0 到t積分可得

3 應(yīng) 用

在本節(jié)中，我們給出具體的實例來論述文中的抽象結(jié)論.

例1令u(x,t)為下列問題的非負經(jīng)典解：

其中

例2令u(x,t)為下面問題的非負經(jīng)典解:

其中

4 結(jié) 論

本文通過考慮一類帶有非局部源和梯度源的反應(yīng)擴散問題，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，利用微分不等式技術(shù)和Sobolev 嵌入不等式，分別給出了區(qū)域 Ω ?Rn(n≥3)和 Ω ?R2上解的爆破時刻下界，并通過實例對結(jié)論進行驗證.解決本文的關(guān)鍵是通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)和使用Sobolev 不等式，本文的方法可為此類問題研究提供一定的借鑒.同時，關(guān)于在非線性邊界條件下具有非局部源和梯度源的反應(yīng)擴散問題解的爆破時刻討論仍可開展持續(xù)的研究.