新課程背景下的高中數(shù)學題根教學

廣東省中山市實驗中學 劉 強 （郵編：528400）

2017 年12 月，教育部組織修訂并頒布了《普通高中課程方案和語文等學科課程標準（2017 年版）》（簡稱新課程），從2022 年秋季學期起，全國各省（區(qū)、市）均啟動實施新課程新教材.新課程對高中數(shù)學內(nèi)容進行了削枝強干，刪去了算法初步、推理與證明、程序框圖、簡單的線性規(guī)劃問題、三視圖等內(nèi)容，突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計與概率三大知識主線.新課程重視數(shù)學應用，在新教材中設計了大量數(shù)學建模和數(shù)學探究活動.新課程強調(diào)數(shù)學文化的滲透，在新教材的正文和閱讀材料中有大量的文化背景知識.為了適應新時代的要求，筆者將題根引入課堂，借助題根突破重難點題型，引導學生圍繞題根開展探究活動等，取得了不錯的效果.

1 題根簡介

黃坪和尹得好老師在《高中數(shù)學題根》一書的封面上有一句話“記單詞想詞根，解難題找題根”，這給了題根一個形象的類比.他們還對題根進行了描述性的定義，認為題根是一個題族的根祖，一個題系中的根基，一個題群中的代表.抓到了一個題根，就等于抓到了這個題族，這個題群，這個題系.

上述的描述性定義可以借助集合論的語言進行抽象.題根是某個問題的根源，是一類問題的共同特征.每個題根都對應一個問題集，此集合中的每個題目都具備某共同特征，這個共同特征就是我們所說的題根.但由于共同特征表達起來過于抽象，不容易理解，為了直觀通常從這個集合中選取一個典型來代表題根.例如錯位相減法求一類數(shù)列的前n項和是一個題根，但直接用語言來描述錯位相減法的適用條件、操作步驟和注意事項等，會讓大多數(shù)人看得一頭霧水、不知所云.而舉個具體的例子大家就知道錯位相減是怎么一回事了.因此題根是一類問題的共同特征，但常常以問題的形式出現(xiàn).

方亞斌老師在《一題一課.源于課本的高考數(shù)學題賞析》中描述，許多高考題往往源于課本有關例（習）題，而又高于課本有關例（習）題，即在課本中往往能夠找到高考題的題源.因此課本中的一些典型例題、典型習題、典型方法，就是某類題目的“題根”.著名數(shù)學教育家張奠宙先生在《數(shù)學教育“中國路”》一書中專門提到“題根教學”，評價道：“如果積以時日，尋求‘題根’與變式，也許會成為中國數(shù)學教育的又一抹亮色.”

2 高中數(shù)學題根教學的常用模式

2.1 專題式

專題式教學是圍繞某個題根進行各種變式擴展，旨在一次課講透一類問題，能增加教學深度，適用于講解重要題型或重要方法時.方亞斌老師著作的《一題一課.源于世界數(shù)學名題的高考題賞析》《一題一課.源于課本的高考數(shù)學題賞析》《一題一課.源于中華傳統(tǒng)數(shù)學文化的高考題賞析》是一個系列，此系列是運用題根進行專題式教學的典范.每篇都是從一道高考題引入，分析背景、覓其源流、挖掘題根，并進行多角度的延伸演變得到變式題組、題鏈.在平時教學中，善用題根進行專題式教學往往能起到事半功倍的效果.

2.2 滲透式

受限于教學進度的要求，在日常教學中不可能大量進行專題教學，有些重要知識與方法也很難一蹴而就，因此在教學中還經(jīng)常采用滲透式.以二次函數(shù)求最值為例，它的身影出現(xiàn)在高中學習的各個地方，不僅能求解一類基本不等式問題，還可以通過換元法與各類函數(shù)結(jié)合在一起.再比如投影向量，最早出現(xiàn)在平面向量數(shù)量積，在應用空間向量求解立體幾何中的距離問題時又大顯身手，平面解析幾何中的點到直線的距離公式也是用投影向量證明最簡單.

3 數(shù)學題根在教學中的價值

3.1 題根是解決難題的有力武器

正如黃坪和尹得好老師所說的“記單詞想詞根，解難題找題根”，題根概念的提出就是為了方便解題.題根可以幫助學生有效地避開誤區(qū)，快速找到正確的解題思路.

例1（2008 年高考江蘇卷）滿足條件AB=2,AC=BC的△ABC的面積的最大值是___.

分析這道題從表面上看怎么看都是一道解三角形的問題，但是如果用正余弦定理去做就會落入命題人的圈套，運算十分復雜.這道題的題根是“阿波羅尼斯圓”，學生如果了解“平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓”這個結(jié)論，就可以迅速求解此題.

解如圖1，以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸建立坐標系，很容易得到點C的軌跡方程為：(x-3)2+y2=8.

圖1

點C到x軸距離最大值為，此時△ABC面積最大,

例2（2020 年新高考全國卷1（山東）數(shù)學）已知橢圓C=1(a＞b＞0)的離心率為，且過點A(2,1).

（1）求C的方程：（2）點M、N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

分析本題單從結(jié)果來看，很難入手，因為點Q和點D都不知道，距離|DQ|更是無從表示.本題最關鍵的條件是AM⊥AN，如果了解題根“過橢圓上一定點做橢圓的兩條互相垂直的弦，則兩弦端點的連線過定點”，則很容易想到先求MN恒過定點，進而得到下列解法.

解（1）由題意可得橢圓方程為：=1.

圖2

(2) 設點M(x1,y1),N(x2,y2)，直 線MN的方程為：y=kx+m，代入橢圓方程消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0，

整理化簡得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0，

因為A（2,1）不在直線MN上，所以2k+m-1 ≠0，故2k+3m+1=0，

3.2 題根是題型分類的主要依據(jù)

數(shù)學題目浩如煙海，永遠也做不完，但數(shù)學題型是有限的.在教學中對題目進行合理分類，可以降低學生理解難度，提高教學效率.題型分類的方式有很多，依據(jù)題根進行分類是很有效的一種.因為一類題目都屬于同一題根，有相似的解法，便于學生深入理解.以基本不等式求最值為例，這部分內(nèi)容在新教材里作為預備知識出現(xiàn).因為題目千變?nèi)f化、技巧性強，學生學起來很吃力.但如果從題根角度來看，這部分的題根只有兩個：二次函數(shù)型最值與對勾函數(shù)型最值.

再比如圓錐曲線定點問題，除了上面的例2，還有如下題型：

例3（2020 年全國新課標1卷理科）

圖3

已知A、B分別為橢圓E:+y2=1(a＞1)的左、右頂點，G為E的上頂點=8，P為直線x=6 的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.

這兩題雖然都是定點問題，但題根完全不同.本題的題根是極點極線問題，最佳處理方法是先猜后證.如果不了解題根就會籠統(tǒng)地把它們歸為定點問題，不能反應各自的本質(zhì).因此，根據(jù)題根可以把圓錐曲線的定點問題分為內(nèi)接三角形類和極點極線類.

3.3 題根是數(shù)學建模的強大助手

高中數(shù)學人教版新教材十分重視數(shù)學知識在實際生活中的應用，將數(shù)學建模與數(shù)學探究活動作為4 條主線之一.如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和探究能力是數(shù)學教學的新課題，在實際教學中筆者發(fā)現(xiàn)運用題根思想可以幫助學生提高數(shù)學建模的能力.因為，運用數(shù)學知識去解決各類實際問題時，首先需要將它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，然后完成數(shù)學模型的解答，最后回歸為實際問題的解答.這個數(shù)學模型就是一類問題的根源，建模的過程就是尋找根源的過程.

例4如圖4，在寬8 米的矩形教室MEFN正前方有一塊長6 米的黑板AB，學生座位區(qū)域CEFD距黑板最近1米，在教室左側(cè)邊CE上尋找黑板AB的最大視角點P（即使∠APB最大），則CP=______時，∠APB最大.

圖4

例5如圖5 所示，某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上，l與水平地面的夾角為α，tanα=，試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角∠BPC最大.

圖5

分析這兩道題都屬于最大視角問題，可以由正切函數(shù)結(jié)合基本不等式求解，但計算量較大.如果了解這類問題的題根，則很容易建立合適模型，輕松得到解答.

題根（米勒定理）如圖6，設M、N是銳角∠ABC的一邊BA上的兩定點，點P是BC邊上的一動點，則當且僅當△PMN的外接圓與邊BC相切時，∠MPN最大.

圖6

解答如圖7，延長AP交y軸于點M，由已知可得OM=100.由切割線定理知MP2=MB·MC=320×400=12800，所以MP=,AP=MPMA=，可得P點坐標為P(320,60).

圖7

故當此人距水平地面60 米高時，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

3.4 題根是數(shù)學探究的基本方向

數(shù)學探究即數(shù)學探究性課題學習，是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探索、學習的過程.與數(shù)學建模不同，數(shù)學探究是數(shù)學知識在數(shù)學內(nèi)部的聯(lián)系和應用，而數(shù)學建模是數(shù)學知識在數(shù)學外部的應用.要想提高學生的探究能力，需要老師適當引導，讓學生去自主探索數(shù)學知識之間的聯(lián)系和應用.在探究過程中如果了解一類問題的題根，將會為探究活動指明方向.

例6如圖8，放置的正方形ABCD，AB=2，A、D分別在x軸、y軸上滑動，求的最大值.

圖8

分析本題看似是一道簡單的數(shù)量積問題，但如果設∠ODA=θ，然后用θ表示四個頂點，則很容易得出錯誤解答，因為正方形在不同象限時，點的表達式是不同的.這就需要老師引導學生去探究題目的根源.

問題1當AD移動時，∠AOD有什么特點？

問題2如果讓正方形不動，你能求出O點的軌跡嗎？

通過上述引導，可以讓學生發(fā)現(xiàn)：無論AD如何移動，∠AOD都是直角，也就是說O點落在以AD為直徑的圓上.根據(jù)相對運動的思想，可以把正方形固定，讓O點運動，則O點的軌跡是以AD為直徑的圓，由圓的參數(shù)方程可得以下解法.解如圖9，建立新的 坐 標系，可得A(1,0)，D(-1,0)，B(1,2)，C(-1,2),O(cosθ,sinθ)，則=(-1-cosθ,2-sinθ),=(1-cosθ,2-sinθ)=-1+cos2θ+4-4 sinθ+sin2θ=4-4 sinθ.

圖9

故當θ=時取得最大值8.

變式1等邊三角形ABC的邊長為2，A、B兩點分別在x軸、y軸上滑動，P、Q分別為AC、BC的中點，求的取 值范圍.

變式2矩形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸滑動，其中AD=2,AB=1，求的取值范圍.

通過探究，可知這類問題的題根是圓的參數(shù)方程，運用了相對運動思想.這種探究可以讓學生學會不能被題目的表象所迷惑，感受數(shù)學知識間的聯(lián)系與應用.

3.5 題根是數(shù)學文化的傳播途徑

在漫長的數(shù)學發(fā)展史中，形成了無數(shù)的數(shù)學文化瑰寶，例如趙爽弦圖、楊輝三角、祖暅原理、秦九韶公式、鱉臑陽馬等等.每一個文化瑰寶都是一個題根，為了充分展示它們的魅力，可以借助題根的滲透性，圍繞它們進行各種變式，與高中數(shù)學各知識點結(jié)合，滲透到日常教學中去.下面以趙爽弦圖為例.

例7（與三角結(jié)合）“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖10），若大、小正方形的面積分別為25 和1，直角三角形中較大的銳角為θ，則cos 2θ=_________.

圖10

例8（與向量結(jié)合）受“趙爽弦圖”啟發(fā)，某同學設計了一個圖形，該圖形是由三個全等的鈍角三角形與中間的一個小正三角形拼成的一個大正三角形，如圖11所示，若AD=4，BD=2，那么=______.

圖11

例9（與數(shù)列結(jié)合）第24屆國際數(shù)學家大會會標就是以“趙爽弦圖”為基礎進行設計的.如圖12，四邊形A1B1C1D1是由四個全等的直角三角形與一個小正方形ABCD拼成的一個大正方形.如果小正方形ABCD的面積為1，再以正方形A1B1C1D1為“小”正方形向外作“弦圖”，得到正方形A2B2C2D2……按此做法進行下去，記∠AA1B1=θ，)，正方形An BnCn Dn的面積為an(n∈N*).若tanθ=則an=________.

圖12

可見，題根有強大的生命力，可以在數(shù)學教學的方方面面發(fā)揮重要作用.研究數(shù)學題根不僅對老師在教學和解題方面有重要意義，還能幫助學生跳出題海、深入理解數(shù)學內(nèi)涵進而發(fā)展學生核心素養(yǎng).在數(shù)學教學中，如果能根據(jù)新課程的特點，充分發(fā)揮題根教學的優(yōu)勢，一定能成為教育的又一抹亮色.