考慮舵機動力學的旋轉彈自適應解耦控制

石忠佼，朱化杰，趙良玉,*，劉志杰

1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2.北京理工大學 機電學院，北京 100081 3.北京科技大學 自動化學院，北京 100083

旋轉彈通常是指一類采用旋轉體制的彈箭飛行器。由于能夠繞自身縱軸連續(xù)滾轉使得這類飛行器具有簡化制導控制系統(tǒng)的組成、放寬加工制造誤差容限、避免不對稱燒蝕等一系列優(yōu)勢，因此，旋轉體制廣泛用于各類炮彈、火箭彈和戰(zhàn)術導彈。隨著戰(zhàn)爭模式的轉變，高密集度、精確打擊能力已成為現(xiàn)代戰(zhàn)爭對于武器裝備的核心要求，但傳統(tǒng)的無控炮射武器由于密集度低、打擊精度差往往難以滿足這些要求。雖然復雜的制導武器(例如導彈)能夠滿足高精度打擊，但由于配備了高性能的傳感器和執(zhí)行機構使得成本較高，使其大規(guī)模部署遇到了極大的挑戰(zhàn)。

傳統(tǒng)無控炮彈、火箭彈等常規(guī)彈箭武器的制導化成為了一種折中的解決方案。由于采用旋轉體制，馬格努斯效應誘導的氣動交聯(lián)、陀螺效應誘導的慣性交聯(lián)以及舵機動力學誘導的控制交聯(lián)使得彈體成為一個存在俯仰和偏航通道強耦合的雙輸入-雙輸出動力學系統(tǒng)。若不采取任何補償或解耦措施而直接采用現(xiàn)有的分通道控制器設計方法，往往無法取得滿意的控制效果，嚴重時會誘發(fā)不收斂的錐形運動，導致旋轉彈的打擊精度下降，甚至達不到預定射程。

為了設計具有良好性能的自動駕駛儀，解耦成了旋轉彈控制系統(tǒng)設計的永恒主題。圍繞旋轉彈的解耦控制方法，國內外專家學者已經(jīng)取得了較為豐富的研究成果。早期應用于旋轉彈的解耦措施主要包括前饋補償器解耦、串聯(lián)補償器解耦、對角占優(yōu)理論解耦以及狀態(tài)反饋交叉補償解耦等，這些方法均屬于靜態(tài)解耦控制方法，其算法簡單、便于工程應用，但是很難保證控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應特性。為克服靜態(tài)解耦方法固有的缺陷，研究人員將現(xiàn)代控制理論用于旋轉彈控制系統(tǒng)設計，主要包括滾動時域解耦控制、動態(tài)逆解耦控制、魯棒解耦控制、自適應解耦控制以及模糊解耦控制等。這些方法為動態(tài)解耦控制方法，能夠很好地解決模型中多變量間的耦合問題，并且對外界干擾以及模型不確定性具有魯棒性。

在現(xiàn)有的解耦控制方法設計過程中，均假設執(zhí)行機構動力學足夠快，即未考慮執(zhí)行機構動態(tài)響應過程或僅考慮了執(zhí)行機構穩(wěn)態(tài)響應引起的通道間耦合。但基于成本和系統(tǒng)復雜性考慮，制導炮彈、制導火箭彈的控制系統(tǒng)執(zhí)行機構不能采用鉸鏈力矩大、響應速度快但成本也較高的液壓舵機，導致快執(zhí)行機構假設不再成立，使得上述解耦控制方法的有效性得不到保證。因此，有必要在考慮執(zhí)行機構動態(tài)響應過程的條件下設計適用于旋轉彈的解耦控制方法。

本文在文獻[17]所提出的設計方法基礎上，以一類鴨舵作用下的雙通道控制旋轉彈為研究對象，針對俯仰和偏航通道間的強耦合問題，考慮執(zhí)行機構的動態(tài)響應過程及氣動不確定性，進行自適應解耦控制器的設計與分析。首先，在非旋轉彈體坐標系下建立了旋轉彈法向/側向加速度運動方程以及舵機動力學方程。其次，在考慮氣動不確定以及舵機動態(tài)響應過程的條件下設計了自適應解耦控制方法，并通過理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號有界且跟蹤誤差能夠實現(xiàn)漸近穩(wěn)定。最后，通過數(shù)值仿真驗證了所提自適應解耦控制器能夠實現(xiàn)俯仰和偏航通道之間的解耦。

1 動力學建模與問題描述

1.1 旋轉彈動力學模型

為便于描述旋轉彈在空間中的姿態(tài)運動，將其動力學模型建立在非旋轉彈體坐標系下。根據(jù)文獻[13]可知，旋轉彈的平動動力學模型在非旋轉彈體坐標系下可以表示為

(1)

旋轉彈繞質心轉動的動力學方程建立在非旋轉彈體坐標系下可以表示為

(2)

式中:、、分別為彈體的極轉動慣量和赤道轉動慣量；=[,,]為氣動力矩在非旋轉彈體坐標系下的投影。

聯(lián)立式(1)和式(2)即可得到描述旋轉彈姿態(tài)運動的動力學方程。方程組本質上是非線性的，但為了簡化自動駕駛儀設計與分析過程，通常根據(jù)工程經(jīng)驗進行合理假設，對動力學模型進行簡化。

首先，采用鴨式布局的旋轉彈不對其滾轉通道進行控制，靠斜置尾翼提供的滾轉力矩和彈體自身的滾轉阻尼力矩進行平衡獲得穩(wěn)定轉速。因此，在自動駕駛儀設計過程中只需考慮式(1)和式(2) 中的后兩式。

其次，由于旋轉彈采用軸對稱構型，因此可以在俯仰和偏航通道忽略不對稱因素產生的氣動力/力矩，只考慮線性化氣動力/力矩：

(3)

式中：=2為動壓；為參考面積；為參考長度；為法/側向力系數(shù)對攻角/側滑角的導數(shù)；為法/側向力系數(shù)對舵偏角的導數(shù)；為靜穩(wěn)定力矩系數(shù)對攻角/側滑角的導數(shù)；為阻尼力矩系數(shù)對角速度的導數(shù)；為馬格努斯力矩系數(shù)對攻角/側滑角的導數(shù)；為控制力矩系數(shù)對舵偏角的導數(shù)；、分別為非旋轉彈體坐標系內的等效俯仰、偏航舵偏角；=,=為彈體的攻角和側滑角。

最后，假設彈體速度、轉速以及氣動力系數(shù)在較小的時間內保持不變，忽略小量tan，并且在駕駛儀設計過程中忽略彈體重力以及舵面升力的影響。

定義法向/側向加速度為

(4)

將式(3)和式(4)代入式(1)和式(2)中，即可得到描述旋轉彈法向/側向加速度的動力學方程為

(5)

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量=[,,,]，系統(tǒng)被控輸出=[,]，系統(tǒng)輸入=[,]，則將式(5)改寫為狀態(tài)空間形式:

(6)

式中：

()用來表示跟系統(tǒng)狀態(tài)()有關的匹配不確定性；為未知的不確定性參數(shù)矩陣，用來表示包括、以及在內的氣動參數(shù)不確定性。

從式(6)中可以看出，由于彈體的轉速在俯仰和偏航通道引入了交叉耦合項，使得傳統(tǒng)的分通道自動駕駛儀設計方法不再適用，因此需要設計適用于旋轉彈的解耦控制方法。

1.2 舵機動力學模型

舵機的動力學特性是影響駕駛儀設計的重要環(huán)節(jié)。研究表明，舵機的延遲會導致旋轉彈自動駕駛儀性能下降甚至失穩(wěn)。因此需要建立非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學模型，結合旋轉彈動力學模型設計自動駕駛儀。

在旋轉彈體坐標系下，可將舵機建模為二階動力學模型：

(7)

式中：′為舵機的輸入指令;′為舵機的輸出;為舵機的穩(wěn)態(tài)增益;為舵機的時間常數(shù);為舵機的阻尼比。

由于舵機隨著彈體的旋轉而旋轉，因此將其動力學模型投影到非旋轉坐標系時，需要進行坐標轉換。如圖1所示，為舵機基準位置的當前滾轉角，、以及、為非旋轉彈體體坐標系中的舵機指令及實際的偏轉響應；′、′以及′、′為旋轉彈體坐標系中相應的舵機指令及實際的舵偏角響應。

根據(jù)旋轉彈體坐標系與非旋轉彈體坐標系的轉換關系，可得舵偏角由旋轉彈體坐標系向非旋轉彈體坐標系的轉換矩陣為

圖1 舵機指令分解示意圖Fig.1 Illustration of actuator command decomposition

(8)

根據(jù)式(8)可以將彈體坐標系中的舵機偏轉指令′=[′c,′c]和偏轉響應′=[′,′]轉換為非旋轉彈體坐標系中的舵機偏轉指令=[c,c]和偏轉響應=[,]:

(9)

對式(9)進行求導可得

(10)

式中：

(11)

將彈體坐標系下得到的舵機動力學傳遞函數(shù)(7)改寫為微分方程形式:

(12)

將式(12)兩端同時乘上轉換矩陣(8)可得

(13)

將式(9)、式(10)代入式(13)中，消除旋轉彈體坐標系中的舵偏角指令′以及舵偏角響應′，可得

(14)

通過合并同類項簡化可得

(15)

根據(jù)式(11)計算可得

(16)

再將式(16)代入式(15)可得非旋轉彈體坐標系下舵機動力學方程為

(17)

(18)

式中：

由于舵機系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，因此系統(tǒng)矩陣為赫爾維茨矩陣，必然存在一個正定對稱矩陣滿足如下李雅普諾夫方程

(19)

式中：矩陣為任意正定矩陣。

聯(lián)立式(6)和式(18)即可得到考慮舵機動態(tài)過程的旋轉彈動力學模型。

2 自適應解耦控制器設計

本部分將針對第1節(jié)中建立的考慮舵機動態(tài)過程的旋轉彈耦合動力學模型，設計自適應解耦控制器，實現(xiàn)俯仰和偏航通道的解耦，并使得閉環(huán)系統(tǒng)能夠漸近跟蹤外部加速度指令()。

2.1 系統(tǒng)擴維

定義跟蹤誤差的積分為輔助狀態(tài)變量

(20)

為了提升系統(tǒng)的跟蹤性能，在設計控制器時通常會將跟蹤誤差的積分項式(20)擴維至被控系統(tǒng)方程(6)中，可得

(21)

(22)

聯(lián)立非旋轉彈體坐標系下的擴維系統(tǒng)方程(21)以及非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學方程(18)，可得被控系統(tǒng)為

(23)

2.2 解耦控制器設計

至此，為旋轉彈設計解耦控制器的問題轉化為設計非旋轉彈體坐標系下的舵機輸入指令()使得被控系統(tǒng)(23)中的系統(tǒng)狀態(tài)()能夠跟蹤如下參考模型:

(24)

式中：()為參考模型的狀態(tài)變量；為根據(jù)需求預先設計的用來描述參考模型動力學的赫爾維茨矩陣，滿足匹配條件:

=-

(25)

式中：為待設計的系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益。

設計非旋轉彈體坐標系下的舵機輸入指令()由兩部分組成:

()=()+()

(26)

式中：()表示固定增益控制器，表達式為

()=-()

(27)

用來保證名義系統(tǒng)的基礎響應特性；自適應控制器()表示為

(28)

在式(21)右端加上、減去()，再將式(26) 代入可得

(29)

定義系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤誤差()=()-()，則根據(jù)式(24)和式(29)可得系統(tǒng)的誤差動力學方程為

(30)

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)傳統(tǒng)自適應控制理論可知，為證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要設計自適應律使得誤差動力學方程(42)有界，具體可有如下引理描述：

(31)

考慮以下李雅普諾夫候選函數(shù)

(32)

式中：矩陣為李雅普諾夫方程的正定對稱解,

(33)

其中:矩陣為任意正定矩陣。

求取李雅普諾夫候選函數(shù)(32)對時間的導數(shù)為

(34)

將式(30)以及式(33)代入式(34)化簡可得

(35)

(36)

將式(36)代入式(35)中可得

(37)

與傳統(tǒng)模型參考自適應控制不同的是，本文對所采用的參考模型進行了修正。因此，即使參考模型系統(tǒng)矩陣為赫爾維茨矩陣也無法保證參考模型系統(tǒng)狀態(tài)()有界，從而也無法保證被控系統(tǒng)狀態(tài)()有界(即使跟蹤誤差()有界)。為證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要證明參考模型系統(tǒng)狀態(tài)()的有界性。

將舵機輸入指令(26)和執(zhí)行機構動力學方程(18)代入到參考模型(24)中，可得

(38)

(39)

式中：

(40)

如果存在正常值、正定矩陣以及正定矩陣滿足:

(41)

那么矩陣A二次穩(wěn)定。其中:

(42)

令

(43)

(44)

定義

(45)

式中：

(46)

(47)

因此如果正常值、正定矩陣以及正定矩陣滿足式(41)，那么矩陣A二次穩(wěn)定。

當舵機參數(shù)和彈體參數(shù)(即矩陣,,,,,)已知時，可以通過選定正定矩陣,,求得和，根據(jù)不等式(41)是否有解來判斷正常值的存在性。

根據(jù)引理 2可知矩陣A二次穩(wěn)定，并且信號()有界，因此信號()有界(詳細證明見文獻[19])。因此，參考模型狀態(tài)()以及舵機系統(tǒng)狀態(tài)()均有界。根據(jù)跟蹤誤差的定義()=()-()可得被控系統(tǒng)的狀態(tài)向量()有界。

(48)

3 算例仿真

為驗證本文所提出的自適應解耦控制方法的有效性，首先選取旋轉火箭彈彈道特征點進行數(shù)值仿真，然后將所提自動駕駛設計方法應用到旋轉火箭彈的6自由度彈道仿真中并進行數(shù)值仿真驗證。

3.1 舵機動態(tài)響應

根據(jù)式(17)得到的非旋轉彈體坐標系下的舵機動力學進行仿真，舵機動力學參數(shù)如表1所示。

表1 舵機動力學參數(shù)Table 1 Parameters of actuator

航通道舵偏角指令c選用常值零信號，仿真結果如圖2所示。從仿真結果中可以看出，當彈體不旋轉(=0 s)時，俯仰和偏航通道均能夠跟蹤外部指令信號，通道間不存耦合效應；當彈體旋轉時，俯仰通道舵偏角指令不僅會激起俯仰通道舵偏角響應還會引起偏航通道的舵偏響應，從而造成通道間的耦合。隨著轉速的增加，俯仰、偏航通道間的耦合作用隨之加強。

圖2 不同轉速條件非旋轉彈體坐標系下舵機響應Fig.2 Actuator response with different spinning rate in non-rolling body frame

3.2 考慮舵機動力學的旋轉彈動態(tài)響應

根據(jù)式(5)和式(17)構成的閉環(huán)系統(tǒng)，對考慮舵機動力學的旋轉彈動態(tài)響應進行仿真。其中舵機動力學參數(shù)如表1所示，旋轉彈法向/側向加速度的動力學參數(shù)如表2所示。

在仿真中，俯仰通道加速度指令c為單位階躍函數(shù)，偏航通道的加速度指令c為常值零函數(shù)。式(25)的狀態(tài)反饋增益可由線性二次調節(jié)器(LQR)進行設計，其中權重矩陣取值為=diag(01,01,10,10,10,10),=diag(10,10),進而可得參考模型的系統(tǒng)矩陣。考慮旋轉彈氣動參數(shù)50%的不確定性，即=±05。自適應律(36)中的自適應增益選用=1 000進行控制器參數(shù)的實時在線更新。

為驗證所提算法的有效性，與固定增益解耦控制器、傳統(tǒng)自適應控制器進行對比，仿真結果如圖3～圖5所示。

表2 旋轉彈動力學參數(shù)Table 2 Parameters of spinning rocket

圖3 固定增益解耦控制方法Fig.3 Control method of fixed-gain decoupling

圖4 不考慮舵機動力學的自適應解耦控制方法Fig.4 Adaptive-decoupling control method without considering actuator dynamics

圖5 考慮舵機動力學的自適應解耦控制方法Fig.5 Adaptive-decoupling control method considering actuator dynamics

圖3為采用固定增益解耦控制方法的旋轉彈加速度響應曲線。從圖中可以看出，在加速度響應初期由舵機動力學導致的通道耦合也會引起加速度響應的通道耦合。但由于在被控系統(tǒng)中考慮了跟蹤誤差的積分項(見式(20))，因此在響應后期通道間耦合效應消除，實現(xiàn)了外部指令的漸近跟蹤。

圖4為采用不考慮舵機動力學的自適應控制器的旋轉彈加速度響應曲線。從圖中可以看出，在響應初期就出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。這是因為舵機動力學充當了閉環(huán)模型參考自適應控制系統(tǒng)的未建模系統(tǒng)，并且傳統(tǒng)模型參考自適應控制對未建模系統(tǒng)缺乏魯棒性，因此導致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

圖5為本文所提出的考慮舵機動力學的自適應解耦控制器響應曲線。根據(jù)式(24)可知，所提方法將舵機輸入指令反饋到參考模型中，從而改善了初期跟蹤性能。相比于固定增益解耦控制和傳統(tǒng)自適應解耦控制具有較好的解耦性能以及指令跟蹤性能。

3.3 6自由度彈道

為進一步展示所提控制方法的有效性，將其應用到旋轉火箭彈的6自由度彈道仿真中。定義旋轉火箭彈的發(fā)射位置為慣性坐標系的原點，發(fā)射方向指向目標位置(72 000,0,0)。初始俯仰角=45°，初始發(fā)射速度為==50 m/s。旋轉彈的發(fā)動機推力、質量、轉動慣量以及氣動系數(shù)取自文獻[13]。在旋轉彈的末制導階段，自適應解耦控制駕駛儀接收來自比例導引律產生的加速度指令產生舵機偏轉角，控制彈體跟蹤制導指令。

末制導段的6自由度仿真結果如圖6～圖9所示。在整個末制導階段，旋轉彈的飛行速度從580 m/s減速至518 m/s，如圖6所示。轉速從25.4 rad/s下降至22.5 rad/s，如圖7所示。

圖8為在本文所提出的考慮舵機動力學的自適應解耦控制器作用下彈體加速度的響應曲線。從圖中可以看出，在慢變參數(shù)和的作用下，旋轉彈的加速度,仍然能夠跟蹤由制導律給出的加速度指令c,c。整個末制導階段的鴨舵偏轉角如圖9所示，從圖中可以看出所提的解耦控制器能夠產生較為平滑的控制信號。

圖6 旋轉火箭彈飛行速度Fig.6 Velocity of spinning rocket

圖7 旋轉火箭彈旋轉速度Fig.7 Spinning rate of spinning rocket

圖8 旋轉火箭彈加速度Fig.8 Acceleration of spinning rocket

圖9 旋轉火箭彈舵機偏轉角Fig.9 Canard deflection of spinning rocket

4 結 論

基于模型參考自適應控制理論，本文提出一種考慮執(zhí)行機構動力學的自適應解耦控制方法，通過理論證明以及數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性。主要結論如下：

1) 通過在非旋轉彈體坐標系下建立舵機動力學方程構建了考慮執(zhí)行機構動力學的旋轉彈加速度運動方程。

2) 通過將執(zhí)行機構的輸入與輸出誤差反饋到參考模型中，實現(xiàn)了考慮執(zhí)行機構動力學的旋轉彈俯仰與偏航通道之間的解耦。

3) 通過構造李雅普諾夫函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界并且能夠實現(xiàn)對加速度指令的漸近跟蹤。