巧借數(shù)字對(duì)換，增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)

封功敏

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)知識(shí)千變?nèi)f化，蘊(yùn)含各種各樣的規(guī)律。在數(shù)字對(duì)換中，有很多規(guī)律值得學(xué)生探索。探求規(guī)律，理解運(yùn)算法則，提升運(yùn)算能力，可以直接增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。文章主要探討了數(shù)字對(duì)換在數(shù)學(xué)課堂中的運(yùn)用。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)字對(duì)換;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

對(duì)于單個(gè)的數(shù)字來(lái)說(shuō)，數(shù)字對(duì)換可以是個(gè)位、十位、百位上的數(shù)相互對(duì)換。對(duì)于不同的數(shù)來(lái)說(shuō)，數(shù)字對(duì)換可以理解為在算術(shù)運(yùn)算中，兩個(gè)數(shù)交換位置。比如，減數(shù)與被減數(shù)位置的交換等。

[?] 一、設(shè)置課堂沖突，激發(fā)探究欲望

小學(xué)生的探究欲望是非常強(qiáng)烈的。當(dāng)新知與舊知碰撞，當(dāng)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生知識(shí)矛盾時(shí)，他們會(huì)十分渴求一個(gè)可以解決疑惑的答案。所以，他們會(huì)想辦法解決認(rèn)知沖突。教師要做的就是揭示認(rèn)知沖突，引導(dǎo)他們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，針對(duì)“估算”這一內(nèi)容的教學(xué)，教師可以讓學(xué)生把兩位、三位數(shù)看成與它最接近的整十?dāng)?shù)或者整百數(shù)，再把這個(gè)數(shù)和其他的數(shù)相乘。“估算”是一種簡(jiǎn)便運(yùn)算，也是一種近似運(yùn)算，它可以幫助學(xué)生減少一定的計(jì)算量，但得到的只是大致結(jié)果而不是精確結(jié)果。教學(xué)時(shí)，筆者向?qū)W生出示一個(gè)題目：請(qǐng)同學(xué)們估算對(duì)比這兩個(gè)算式的大小，“26×31”與“ 62×13”。

生：26近似30，31近似30，算式1可估算為30×30=900。62近似60，13近似10，算式2可估算為60×10=600。顯然，900大于600，第一個(gè)算式的結(jié)果大。

師：最近，我們學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，同學(xué)們還記得計(jì)算法則嗎？現(xiàn)在不妨先來(lái)算一下這兩個(gè)算式的精確結(jié)果。

生：奇怪。26×31=806，62×13=806，兩個(gè)算式的結(jié)果相等。這是為什么呢？按照估算法則，第1個(gè)算式的結(jié)果明顯大于第2個(gè)算式的結(jié)果。但使用運(yùn)算法則精確計(jì)算，這兩個(gè)算式的結(jié)果又確實(shí)相等。到底估算錯(cuò)了，還是我們計(jì)算錯(cuò)了呢？

師：同學(xué)們，我們剛剛就是按照四舍五入的法則估算的，這肯定沒(méi)有錯(cuò)。我們也是按照運(yùn)算法則來(lái)精確計(jì)算的，也沒(méi)有錯(cuò)。為什么這兩個(gè)算式會(huì)相等？那么我們交換一個(gè)算式乘數(shù)的個(gè)位和十位，相乘的結(jié)果不變，這是不是通用的呢？

筆者的這個(gè)問(wèn)題瞬間勾起了學(xué)生的好奇心，學(xué)生紛紛拿出草稿本，驗(yàn)算起來(lái)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，大部分算式都不符合剛剛所說(shuō)的“對(duì)換結(jié)論”。難道剛剛那個(gè)算式只是碰巧嗎？這時(shí)，有學(xué)生還是湊出了相等的算式，說(shuō)明“數(shù)字對(duì)換”有一定的規(guī)律可循。這樣的情況讓學(xué)生的好奇心越來(lái)越重，也讓他們迫不及待地想要知道其中的奧秘。因此，為了激發(fā)學(xué)生的探究欲望，教師在開(kāi)展課堂活動(dòng)時(shí)可以多設(shè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考、探索。探究欲望和學(xué)習(xí)熱情都是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素，我們應(yīng)該讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中時(shí)刻帶著熱情，時(shí)刻保留探究的欲望。

[?] 二、給予思考時(shí)間，探求數(shù)學(xué)真理

學(xué)習(xí)成績(jī)比較優(yōu)秀的學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)和生活中都很愿意開(kāi)動(dòng)腦筋，思考問(wèn)題。而學(xué)習(xí)成績(jī)相對(duì)落后的學(xué)生則大多情況相反。不思考怎么能夠領(lǐng)略數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓呢？教師可以在課堂上預(yù)留思考的時(shí)間，讓學(xué)生自行探索數(shù)學(xué)真理。

以上文的教學(xué)為例。筆者先提出問(wèn)題：“目前，我們收集到了4個(gè)算式，分別是‘23×35’‘33×17’‘21×48’和‘32×69’。前兩個(gè)算式，我們交換兩個(gè)兩位數(shù)的十位和個(gè)位，最終得到的計(jì)算結(jié)果不相同。但后兩個(gè)算式，我們交換兩個(gè)兩位數(shù)的十位和個(gè)位，得到的計(jì)算結(jié)果相同。這是為什么呢？”學(xué)生針對(duì)這個(gè)問(wèn)題提出了猜測(cè)：兩個(gè)乘數(shù)至少要有一個(gè)是2的倍數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，偶數(shù)更容易滿(mǎn)足數(shù)字中的數(shù)學(xué)規(guī)律。前兩個(gè)算式中的乘數(shù)都是奇數(shù)。這可能是它們不滿(mǎn)足“對(duì)換結(jié)論”的原因所在。此外，還有學(xué)生又發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)算式：“26×35”和“36×17”，這兩個(gè)算式含有偶數(shù)，不全都是奇數(shù)，但還是不滿(mǎn)足“對(duì)換結(jié)論”，這說(shuō)明前面的猜想也是不成立的。此時(shí)，筆者進(jìn)一步引導(dǎo)：“同學(xué)們，‘對(duì)換結(jié)論’交換的是十位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)。那么十位上的數(shù)和個(gè)位上的數(shù)會(huì)不會(huì)滿(mǎn)足一些定律？是不是有一些特殊的地方？”據(jù)此學(xué)生發(fā)現(xiàn)，后兩個(gè)算式的兩個(gè)兩位數(shù)，其十位上的數(shù)相乘的結(jié)果和個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果相等。根據(jù)這個(gè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生又寫(xiě)出了幾個(gè)算式進(jìn)行進(jìn)一步的求證，發(fā)現(xiàn)交換算式中兩個(gè)兩位數(shù)的十位和個(gè)位上的數(shù)后相乘的結(jié)果相等，于是得到剛剛所說(shuō)的交換定律的結(jié)論。針對(duì)學(xué)生的探索思路，筆者又提出了一個(gè)新問(wèn)題：“我們能不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示交換結(jié)論呢？什么是數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？我們?cè)葘W(xué)過(guò)‘用字母表示數(shù)’，字母就是我們常用的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)書(shū)上很多結(jié)論、定理都是用字母表示的？數(shù)學(xué)語(yǔ)言的說(shuō)服力比文字更大、更淺顯易懂。有沒(méi)有同學(xué)愿意嘗試一下？”這樣的問(wèn)題對(duì)于學(xué)生并不難，他們很快就給出了答案：ab×cd，如果ac=bd，那么ab×cd=ba×dc。

在以上的探究過(guò)程中，筆者先給學(xué)生時(shí)間思考，提出猜想，又讓學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，并在探討的過(guò)程中對(duì)猜想進(jìn)行修正。最后，筆者還引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行總結(jié)?？偟膩?lái)說(shuō)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力是核心素養(yǎng)的重要目標(biāo)。而在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)語(yǔ)言非常陌生，不習(xí)慣用字母和符號(hào)等數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)。學(xué)生看到題目中有較多的字母和符號(hào)，就會(huì)感到緊張和害怕，使解答效率進(jìn)一步降低。在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生第一次嘗試用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)所探索的定理就收獲了成功，在一定程度上肯定了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的效用。

[?] 三、出示相關(guān)變式，力求解后反思

基于年齡和經(jīng)歷的不同，同一個(gè)問(wèn)題，教師可以在短時(shí)間內(nèi)就想到這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的更多面，因此教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更全面的思考，也即是解后反思。比如，針對(duì)剛剛探討的結(jié)論對(duì)兩位數(shù)有用，對(duì)三位數(shù)卻不成立的情況，教師就可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探索三位數(shù)交換的結(jié)論。

師：我們剛剛探討的是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的交換結(jié)果，如果是三位數(shù)乘兩位數(shù)呢？交換結(jié)果會(huì)怎么樣？是否還滿(mǎn)足我們剛剛所探索出的定律呢？

生：三位數(shù)有三個(gè)數(shù)，我們應(yīng)該交換哪兩個(gè)數(shù)位呢？是百位、十位，還是個(gè)位呢？

師：現(xiàn)在交換三位數(shù)中的百位和個(gè)位，并且交換兩位數(shù)中的十位和個(gè)位，交換之后結(jié)果是否依然相等？

（學(xué)生再提出猜想時(shí)就更明確了，直接看三位數(shù)和兩位數(shù)中某個(gè)數(shù)位的乘積。）

生1：對(duì)于一個(gè)三位數(shù)abc和一個(gè)兩位數(shù)de，如果ad=ce，那么abc×de=cba×ed。

生2：對(duì)于一個(gè)三位數(shù)abc和一個(gè)兩位數(shù)de，如果ad+b=ce+b，那么abc×de=cba×ed。

生3：對(duì)于一個(gè)三位數(shù)abc和一個(gè)兩位數(shù)de，如果ad=ce，且a+c=b，那么abc×de=cba×ed。

（針對(duì)學(xué)生的猜想，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐驗(yàn)證。如153×62這個(gè)算式，153×62=9486，交換三位數(shù)中的百位和個(gè)位，并交換兩位數(shù)中的十位和個(gè)位，351×26=9126，9126不等于9486。所以生1的猜想是不正確的。這個(gè)驗(yàn)證同樣也適用于生2的猜想。因?yàn)槿绻鸻d=ce，那么ad+b也一定等于ce+b，它們加的都是同一個(gè)數(shù)字。所以，生1和生2的猜想可以歸為同一類(lèi)。因此生2的猜想也不正確。再研究143×62這個(gè)算式，1×6=2×3，且1+3=4，這個(gè)算式滿(mǎn)足生3的猜想的條件。143×62=8866，341×26=8866，143×62=341×26，因此生3的猜想是正確的。除此之外，學(xué)生還根據(jù)生3的猜想寫(xiě)了很多新的算式，如154×82，396×21等。）

生1：我發(fā)現(xiàn)，三位數(shù)乘兩位數(shù)的對(duì)換結(jié)論和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的對(duì)換結(jié)論相類(lèi)似，只是比它多了一個(gè)條件，即三位數(shù)的十位上的數(shù)要等于個(gè)位上的數(shù)加百位上的數(shù)之和。

師：其實(shí)，我們用文字還是不好表述，很容易混淆。但我們剛剛用字母提出的猜想就很清楚、易懂。

生2：我也是這樣認(rèn)為，而且我覺(jué)得四位數(shù)乘兩位數(shù)的對(duì)換結(jié)論也可以探討一下。

如果學(xué)生掌握了“數(shù)字對(duì)換”的精髓，那么無(wú)論是三位數(shù)乘兩位數(shù)的變式，還是四位數(shù)乘兩位數(shù)的變式，學(xué)生都可以在正確的軌道上提出猜想并實(shí)踐驗(yàn)證，這就是所謂的“舉一反三”。無(wú)論是在學(xué)習(xí)新知，還是解決問(wèn)題的過(guò)程中，我們都需要找到知識(shí)點(diǎn)中“變”和“不變”的地方——“不變”的是考點(diǎn)，是根本知識(shí)，“變”的則是形式。在引導(dǎo)學(xué)生求解問(wèn)題，探究定理之后，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生反思總結(jié)，這樣才能夠提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力與數(shù)學(xué)思維。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)字蘊(yùn)含的規(guī)律是無(wú)窮無(wú)盡的。我們可以在數(shù)學(xué)書(shū)上或者練習(xí)題中尋找一些有規(guī)律的題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，激活學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。