高職高等數(shù)學(xué)中反常積分教學(xué)的思考

段佩

（商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西商洛 726000）

高等數(shù)學(xué)，作為高職學(xué)生必修的一門公共基礎(chǔ)課，而微積分則是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。其中，積分學(xué)由不定積分、定積分理論組成，積分是微分的逆運(yùn)算。不定積分是對已知的導(dǎo)數(shù)求其原函數(shù)，而定積分就是把圖像無限細(xì)分，然后利用小面積近似，進(jìn)行累加。反常積分則是對普通定積分的推廣，指含有無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)含有瑕點的積分。前者稱為無窮區(qū)間反常積分，后者稱為瑕積分（或者無界函數(shù)反常積分）[1]。

高職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對來說比較薄弱，對抽象的數(shù)學(xué)知識理解起來也較困難，他們擅長形象的數(shù)學(xué)思維，不善于抽象的數(shù)學(xué)思維，尤其是形式運(yùn)算演算能力不足，純字母的形式運(yùn)算演算能力較弱。而在反常積分的學(xué)習(xí)過程中，不僅僅要有扎實的不定積分方面的基礎(chǔ)知識，還要有靈活的積分技巧；同時還要對定積分的概念理解透徹，熟練掌握定積分的性質(zhì)和計算辦法。大多數(shù)學(xué)生對反常積分的學(xué)習(xí)均感到繁瑣，學(xué)習(xí)要點的不易把握，所以對本節(jié)內(nèi)容覺得學(xué)起來非常困難。其實，對于學(xué)生來說反常積分的難點主要有三個：一是反常積分的定義抽象難理解；二是計算復(fù)雜不易掌握，不僅僅要求積分，還要用極限的知識求極限，而這種運(yùn)算的結(jié)合對于學(xué)生來說也不容易；三是應(yīng)用難，而對于學(xué)生來說高等數(shù)學(xué)知識在實際問題解決中的應(yīng)用一直不簡單，反常積分更是如此[2]。因此，在該節(jié)課的教學(xué)基礎(chǔ)上，提出一些自己的教學(xué)感受和技巧，希望能讓學(xué)生理解起來更輕松。

一、反常積分的計算

在實際計算中，將此類積分中上下限∞看作是一個“數(shù)”，直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，再取極限即可。

比如例1可寫為：

其中，F(xiàn) (x) 為f (x) 的一個原函數(shù)。這樣的話，我們關(guān)于反常積分的計算，就可以直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，進(jìn)而再取極限即可[3]。

在判斷無窮區(qū)間反常積分?jǐn)可⑿詴r，也可采用以上辦法，先直接用牛頓-萊布尼茨公式計算，進(jìn)而再取極限，然后再去判斷斂散性[4]。

瑕積分計算，首先考慮被積函數(shù)在積分區(qū)間上瑕點，再借助牛頓-萊布尼茨公式和極限去計算。

例6 計算

注意：以上積分計算先求出原函數(shù)帶積分限求值時，能直接代入積分限就代入，不能代入就取單側(cè)極限。簡而言之，就是，能代則代，不能代取極限。

注意：本例求解利用了分部積分法計算無窮區(qū)間上的反常積分。

注意：該例求解利用了換元法計算無窮區(qū)間上的反常積分。

反常積分也同樣有換元積分法和分部積分法，其思路同正常積分類似，求出被函函數(shù)f (x)的原函數(shù)后，再取極限即可。

通過以上例題可以發(fā)現(xiàn)，反常積分也可以采用與正常積分一樣的辦法來進(jìn)行計算。只是無窮限反常積分時，最后是將原函數(shù)上下限為無窮時取極限[5]。瑕積分在計算中，先找瑕點，再積分，最后取極限。與無窮積分的情形類似，瑕積分有下列運(yùn)算形式：

二、反常積分的應(yīng)用

反常積分是高等數(shù)學(xué)中積分學(xué)的一個非常重要的概念，實際應(yīng)用也頗為廣泛，實際中經(jīng)常會遇到反常積分的問題。

例9 [不加控制下傳染病的傳染人數(shù)]

某種傳染病在流行期間被傳染患病的速度近似地可表示為r ( t ) =12000te-0.1t（人/天）， t為傳染病開始流行的天數(shù)。若不加控制，最終將會傳染多少人？

例10 [飛機(jī)潤滑油的生產(chǎn)]

若該公司要一次性生產(chǎn)這批飛機(jī)一年后所需要的全部潤滑油，共需要生產(chǎn)多少？

微積分的在實際問題中的應(yīng)用對于學(xué)生來說一直是難點，尤其是反常積分，往往無從下手。因此，在求解反常積分時首先要熟悉知識點、各種常用的計算方法，其次，要有良好的解題習(xí)慣和方法分析，善于分析思考問題，學(xué)會積累、歸納、總結(jié)某一類問題的解法，從而提高自身解決問題的能力。

通過以上論述可以認(rèn)識到，無論是無窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。我們從定義出發(fā)，區(qū)分性質(zhì)的異同，理解背后的本質(zhì)，從而更加準(zhǔn)確深刻地理解反常積分和定積分，更容易接受和把握反常積分的內(nèi)容。