研究拉格朗日中值定理在高中的應(yīng)用

帥亞軍

摘要：介紹拉氏定理的基本情況和數(shù)學(xué)形式，以及包含的主要內(nèi)容。從而通過在不等式、函數(shù)單調(diào)性判斷中的具體運用作為中心展開討論。

關(guān)鍵詞：拉氏定理;中值定理;定理運用

引言：

拉格朗日是僅次于歐拉的大數(shù)學(xué)家，在18世紀(jì)，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域解決了很多較為復(fù)雜的問題。而拉格朗日中值定理在高中數(shù)學(xué)教育中具有開創(chuàng)性和探索性，是培養(yǎng)學(xué)生主動思考數(shù)學(xué)問題，提高邏輯能力的重要定理之一。

一、定理內(nèi)容

羅爾中值定理的出現(xiàn)使得拉格朗日中值定理誕生，這一定理得別名為拉氏定理，其為微分學(xué)的基本定理之一。拉氏定理的出現(xiàn)，將可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均變化率明確化，并準(zhǔn)確反映了在此閉區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的某一點存在的局部變化率的關(guān)系。與此同時，拉式定理也與柯西中值定理的某一特殊情形相符，它同樣也是泰勒公式的一階展開（弱形式）。1797年拉格朗日在法國提出了該定理后，拉格朗日中值定理這個名字才在學(xué)術(shù)界被確定了下來。[1]

拉格朗日中值定理的基本定義：如果某函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且同時在這一制定的開區(qū)間上可導(dǎo)，那么該函數(shù)中一定存在某點ξ滿足等式f（b）-f（a）=f（ ξ）（b-a）。其中，（a，b）為符合條件的開區(qū)間，[a，b]為符合條件的閉區(qū)間。需要注意的是，點ξ必須處于（a，b）之中，該等式才成立。

二、不等式證明應(yīng)用

對于不等式這類常見題型來說優(yōu)先構(gòu)造與題目要求相符的函數(shù)是解題的關(guān)鍵。在下一步驟中，做題者可以根據(jù)這一構(gòu)造函數(shù)，判斷題目中函數(shù)的單調(diào)性或數(shù)學(xué)中較為常見的函數(shù)的單調(diào)性。[2]當(dāng)然，這種較為直觀的構(gòu)造法僅僅適用于難度較小的不等式題目。在高中數(shù)學(xué)中，出題人為了考查學(xué)生對數(shù)學(xué)定理的應(yīng)用情況，會設(shè)計出無法直觀判斷出單調(diào)性的函數(shù)，或者一些較為復(fù)雜的復(fù)合型函數(shù)，此時如果繼續(xù)使用構(gòu)造法，則可能“事倍功半”。

基于此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生使用拉格朗日中值定理完成此類型題目，解題思路一般為：一，根據(jù)題目已有條件，仍然完成函數(shù)f（x）的構(gòu)造;二，根據(jù)題目給出f（x）對應(yīng)的區(qū)間[a，b]，確定其適用的范圍;三，在[a，b]區(qū)間上，驗證拉格朗日中值定理展開使用的條件是否與題目相符，確定完成后可以開始通過已確定的ξ求出f（ξ），完整羅列等式便于后續(xù)計算;最后一步，確定ξ的范圍后，可以推算出f（ξ）的范圍，此時不等式可以被得到。

我們用一個簡單的例子進(jìn)行說明：

例1：已知a

證明：（思路：如果使用構(gòu)造法，則題目中的函數(shù)單調(diào)性不易被確定，如果使用拉格朗日中值定理則可以避免求解函數(shù)單調(diào)性，快速完成不等式證明）。

設(shè)：f（x）=arctanx，且確定其區(qū)間[a，b]。函數(shù)f（x）在該閉區(qū)間上連續(xù)，在該開區(qū)間上可導(dǎo)，滿足拉式定理，則在該開區(qū)間上一定存在一點ξ，滿足f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a），a<ξ

此類型例題中，學(xué)生可將等式左邊視為f（x）在某區(qū)間值上的兩個端點值相見，而將右邊視為f（x）在此區(qū)間長度上的倍數(shù)形式。除此之外，如果遇上一些較為隱晦的拉式定理不等式題型，可根據(jù)需要先對原式進(jìn)行變形，再通過定理完成證明。

三、函數(shù)單調(diào)性證明

判斷某函數(shù)的單調(diào)性，可以有兩種方法：一是直接觀察該函數(shù)在某區(qū)間上遞增或遞減的充要條件，通過f（x）與0之間的關(guān)系直接判斷函數(shù)單調(diào)性;另一種則是使用拉格朗日中值定理進(jìn)行判斷，此方法更為直觀，此處列出判斷依據(jù)：

四、結(jié)束語

除了上述兩種題型應(yīng)用外，拉格朗日中值定理還可以證明方程根是否具有唯一性。眾所周知，零點定理可以證明方程根的存在，但無法確定其是否唯一。拉氏定理采用反證法，通過解開矛盾對方程根唯一性進(jìn)行確定。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧京鳳. 高觀點下的拉格朗日中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 新智慧， 2019（25）：2.

[2]魏文. 淺談拉格朗日中值定理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]. 課程教育研究：學(xué)法教法研究， 2019（2）：1.

[3]顏挺進(jìn). 拉格朗日中值定理在分析證明不等式中的應(yīng)用[J]. 高考， 2019（6）：1.

[4]黃海松. 拉格朗日中值定理的證明及應(yīng)用[J]. 2021（2018-3）：104-109.25A510A4-E565-4070-ABF8-0CE04216C250