對一道橢圓試題的探究與拓展

李 霞

(甘肅省白銀市第十中學(xué))

1 題目呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AP,AQ分別交直線l2:x＝-4于M,N兩點(diǎn),試判斷以MN為直徑的圓是否恒過橢圓長軸上一個(gè)定點(diǎn),并說明理由.

2 解法探究

解法1向量思想

所以(t＋4)2＝9,解得t＝-7(舍)或-1.因此以MN為直徑的圓恒過橢圓長軸上的定點(diǎn)(-1,0).

解法2相交弦定理

設(shè)MN交x軸于點(diǎn)Q,以MN為直徑的圓交x軸于點(diǎn)D,E,則|QD|＝|QE|.據(jù)相交弦定理有|QN|·|QM|＝|QD|·|QE|＝|QD|2.據(jù)解法1知

所以|QD|＝3,因此以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)(-1,0),(-7,0),又點(diǎn)(-1,0)在橢圓長軸上,故以MN為直徑的圓恒過橢圓長軸上的定點(diǎn)(-1,0).

3 背景探究

一般而言,圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)、定線等結(jié)論都是以圓錐曲線本身所蘊(yùn)含的優(yōu)美幾何性質(zhì)為支撐,有著豐富的幾何背景.探究發(fā)現(xiàn),本題與橢圓的下述三條性質(zhì)密切相關(guān).

性質(zhì)2如圖1所示,設(shè)點(diǎn)A,B為橢圓1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)T(t,0)(|t|＜a)且斜率不為零的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),則

圖1

性質(zhì)3如圖2 所示,設(shè)點(diǎn)A,B為橢圓C:＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)T(t,0)(|t|＜a)且斜率不為零的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線BP,BQ分別交直線x＝于M,N兩點(diǎn),則M,A,Q三點(diǎn)共線,N,A,P三點(diǎn)共線.

圖2

所以N,A,P三點(diǎn)共線.同理可證M,A,Q三點(diǎn)共線.

解析幾何本質(zhì)還是幾何,在學(xué)習(xí)過程中,我們要有意識地去研究其幾何結(jié)構(gòu),掌握其幾何性質(zhì).

4 拓展探究

根據(jù)以上過程,可以得到一般性的結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)點(diǎn)A為橢圓＝1(a＞b＞0)的左(右)頂點(diǎn),過點(diǎn)T(t,0)(|t|＜a)且斜率不為零的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別交直線x＝于M,N兩點(diǎn),則以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)

結(jié)論2設(shè)點(diǎn)A為橢圓＝1(a＞b＞0)的上(下)頂點(diǎn),過點(diǎn)T(0,t)(|t|＜b)且不垂直于x軸的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別交直線y＝于M,N兩點(diǎn),則以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)

結(jié)論3設(shè)點(diǎn)A為雙曲線＝1(a＞0,b＞0)的頂點(diǎn),過點(diǎn)T(t,0)(|t|＞a)且斜率不為零的直線交雙曲線C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ分別交直線x＝于M,N兩點(diǎn),則以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)

結(jié)論4過點(diǎn)T(t,0)(t＞0)的直線交拋物線C:y2＝2px(p＞0)于P,Q兩點(diǎn),直線OP,OQ分別交直線x＝-t于M,N兩點(diǎn),則以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)

(完)