分數(shù)階二維線性系統(tǒng)的奇點類型及其鄰域內(nèi)的軌道性態(tài)

羅 靜，冀小明

（1.重慶師范大學數(shù)學科學學院，重慶 401331；2.西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041）

近幾十年以來，分數(shù)階微分方程被廣泛地應用到了眾多自然科學和工程學領域，如:流體力學和熱力學中的反常擴散和熱傳導現(xiàn)象[1-4]、結構力學中的粘彈性現(xiàn)象[5-8]、通信領域中的信號和圖像處理[9-11]、控制理論中的系統(tǒng)控制[12-13]、磁力學[14-16]以及生物科學[17-19]等其他眾多領域和學科之中.由于自然界和工程中存在大量的分數(shù)維現(xiàn)象，從而整數(shù)維理論已經(jīng)不再適用于這些問題的解決，所以人們引入分數(shù)階微積分使之不受整數(shù)維度的限制，這也是分數(shù)階微分方程(特別是分數(shù)階動力系統(tǒng))越來越受到人們重視的主要原因.相對于整數(shù)階微分方程而言，分數(shù)階微分方程的求解研究工作往往比較困難，正如文獻[20]中作者所說的那樣，目前大多數(shù)關于分數(shù)階微分方程的研究工作主要集中在正解的存在性研究，與這類研究不同的是本文的工作將立足于分數(shù)階動力系統(tǒng)奇點(即平衡點)分類情況及其相關性質(zhì)方面的探索與研究.

本文將借助于一系列的線性變換和Laplace 變換，再利用Mittag-leffler 函數(shù)的斂散性質(zhì)來研究下列分數(shù)階線性系統(tǒng)(動力系統(tǒng))奇點的分類情況以及各種奇點鄰域內(nèi)軌道的動力學性態(tài).

這是一個眾所周知的經(jīng)典線性系統(tǒng)，它的奇點分類以及奇點周圍的軌道的動力學性態(tài)早為人們所熟悉.在研究系統(tǒng)(2)時，人們通常將其轉化為后研究系統(tǒng)的平面相圖，然而對于系統(tǒng)(1)，如果用類似的方法將其轉化為后，我們不知道這個式子中的在分數(shù)階微積分領域表示什么? 更不知道它有什么幾何意義或物理意義?因此人們無法用類似的方法來研究這類分數(shù)階動力系統(tǒng)，這也是為什么長期以來沒有全面地研究過這類動力系統(tǒng)的奇點分類及其相應的動力學性態(tài)的主要原因.直到2013 年，馬玉田博士在李常品教授的指導下，在他的博士論文[21]中研究過系統(tǒng)(1)的奇點，給出了分數(shù)階動力系統(tǒng)的線性化定理，并指出原點O是系統(tǒng)(1)的雙曲平衡點(即雙曲奇點)，但由于受到技術的限制，他們并沒有對奇點O進行分類討論，也沒有進一步研究平衡點周圍的軌道走勢和系統(tǒng)(1)相應的動力學性態(tài)(即平衡點鄰域內(nèi)軌道的動力學性態(tài)及其分布圖貌)，我們的工作是在新技術下再次研究該系統(tǒng)的平衡點，進一步完善這些研究內(nèi)容.

為簡單起見，接下來我們將借助于一系列線性變換先把系統(tǒng)(1)轉化成便于求解的標準型系統(tǒng)，然后再利用Laplace 變換及其逆變換來進行求解，在整個求解和分析的過程中，線性變換不會改變分數(shù)階動力系統(tǒng)的奇點位置和鄰域內(nèi)軌道的動力學性態(tài).

1 線性變換下分數(shù)階二維線性系統(tǒng)的約化

顯然，當detA≠0 時，系統(tǒng)(1)和(3)只有一個奇點(平衡點)，即原點O(0，0).

根據(jù)矩陣A的特征值的三種情況，即特征值為共軛復根α ± βi，特征值為一對不相等的實根λ1，λ2和特征值為重實根μ的三種情況，一定可以找到相應的可逆矩陣T，使得T-1AT = J，J就是下列四種類型的矩陣之一

其中:α，β，λ1，2，μ均為實數(shù).

方程(5)兩邊同時左乘以一個逆矩陣T-1得:

由于在變換式中矩陣的初等行變換不影響線性變換的性質(zhì)，因此對(16)式中的最后一個矩陣施行兩次行變換得:

且在a = δ = μ的情形下，矩陣A的特征根為重實根，否則為不相等的兩個實根.

類似于定理1.1 的證明方法，不難證明定理1.2和定理1.3，限于篇幅，這里省略他們的證明過程，只給出具體的線性變換表達式和相應的標準型系統(tǒng).不難發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階線性系統(tǒng)的線性變換與整數(shù)階線性系統(tǒng)的變換是一樣的，但系統(tǒng)的奇點的類型卻不太一樣，因此奇點鄰域的軌道的性態(tài)也就大不一樣了. 詳情請參見下一節(jié)的討論.

2 線性系統(tǒng)的奇點鄰域內(nèi)軌道的動力學性態(tài)及其平面圖貌

根據(jù)上一節(jié)得到的系統(tǒng)(1)的不同標準型，本節(jié)也分別討論這些不同標準型系統(tǒng)的奇點類型及其鄰域的軌道的動力學性態(tài).

定理2.1 如果p ＞0，q ＞0，p2-4q ＜0 ，矩陣A的特征值為一對共軛復根λ1，2= α±βi并且在線性變換下系統(tǒng)(1)被約化成如下的標準型

那么原點是該系統(tǒng)的類焦點，且當α ＜0 時，稱之為穩(wěn)定的類焦點；而當α ＞0 時，稱之為不穩(wěn)定的類焦點.

在σ =1 時的整數(shù)階領域，只要再次假設ξ =rcosθ，η = rsinθ， 就可以討論系統(tǒng)的奇點及其鄰域內(nèi)的軌道性態(tài).眾所周知，當σ =1 時，相應的整數(shù)階系統(tǒng)存在三種類型的奇點，即穩(wěn)定的焦點(α ＜0 時的情形)、不穩(wěn)定的焦點(α ＞0 時的情形)和中心點(α =0 時的情形)，但在這里卻不行，因為分數(shù)階領域不存在復合函數(shù)求導的鏈式法則以及乘積求導的分數(shù)階導數(shù)公式，因此人們無法將這類極坐標變換ξ =rcosθ，η = rsinθ嵌入到(24)式(即原(13)式)中進行運算.這是一個非常棘手的問題，到了這里，討論似乎陷入了僵局，這也是為什么前面的研究者們沒有針對分數(shù)階動力系統(tǒng)進行全面研究的主要原因.如果像文獻[22-23]中的做法那樣，我們利用Laplace 變換及其逆變換對系統(tǒng)(24)式直接進行求解，然后利用參數(shù)作圖的方法，反構奇點周圍(即鄰域內(nèi))的軌道走勢，那就可以進一步討論軌道的動力學性態(tài)和系統(tǒng)的平面圖貌了.下面給出定理2.1 的證明過程.

證明:將系統(tǒng)(24)式兩邊施行Laplace 變換得:

當然，把(29)式代入線性變換式(11)和(12)，也能求出原系統(tǒng)(1)的精確解，這里省略這部分討論，只討論系統(tǒng)奇點及其鄰域內(nèi)軌道的性態(tài). 把t看著參數(shù)，利用參數(shù)繪圖法，通過(29)式，用數(shù)學軟件繪出了系統(tǒng)(24)的平面相圖，見圖1(a)和(b).

由于當α ＜0 時Mittag-Leffler 函數(shù)收斂，而當α ＞0 時Mittag-Leffler 函數(shù)發(fā)散，故當α ＜0 且t→+∞時ξ(t)→ 0，η(t)→ 0.又當α ＞0 且t→+∞時ξ(t)→+∞，η(t)→+∞.從圖 1(a)和(b)也可以看出這一點.

圖1 穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的類焦點及其鄰域內(nèi)的軌道走勢Fig.1 Stable or unstable focus-like point and track trends in its neighborhood

把圖1 與σ =1 時的整數(shù)階系統(tǒng)相圖相比較，不難發(fā)現(xiàn)，該類型的奇點周圍的軌道并沒有螺旋形進入奇點或離開奇點的特征，只有非常接近奇點的地方才稍微有螺旋的趨勢，所以該類型的奇點不能像在整數(shù)階系統(tǒng)那里那樣被稱為焦點，但它的性質(zhì)非常接近焦點，因此我們稱這類奇點為類焦點，當α ＜0 時，稱之為穩(wěn)定的類焦點；當α ＞0 時，稱之為不穩(wěn)定的類焦點.

定理2.2 如果q ＞0，p =0 ，矩陣A的特征值為一對共軛虛根，這相當于上一情形中α =0 的情況，此時系統(tǒng)(1)的標準型為

那么原點是該系統(tǒng)的螺旋型吸引點，且當β ＜0時，軌線逆時針方向趨近于原點，稱之為正螺旋型吸引點；而當β ＞0 時，軌線順時針方向趨近于原點，稱之為反螺旋型吸引點.

證明:令ξ(0 )= c1，η(0 )= c2， 然后對(30)式進行Laplace 變換可得:

再對(31)式施行Laplace 逆變換后把Mittag-Leffler 函數(shù)轉換成級數(shù)可得:

利用(32)繪出系統(tǒng)(30)的平面相圖，見圖2(a)和(b). 由于(32)式中的級數(shù)都是交錯級數(shù)，始終是收斂的，即當t→+∞時ξ(t)→ 0，η(t)→ 0.

圖2 正螺旋型和反螺旋型吸引點及其鄰域內(nèi)軌道的走勢Fig.2 Positive and inverse spiral attraction points and track trends in its neighborhood

所以，奇點周圍的軌道都螺旋式地趨近于奇點，只是趨近的方向不同罷了.當β ＜0 時，逆時針方向趨近于原點；當β ＞0 時，順時針方向趨近于原點.我們把這類奇點稱之為螺旋型吸引點，逆時針的為正螺旋型，順時針的為反螺旋型.由此可以看出，分數(shù)階線性系統(tǒng)沒有中心點(即中心型奇點)，從而沒有閉軌道存在，也就導致這類分數(shù)階微分方程組沒有周期解，或者說這類分數(shù)階方程不存在周期解，這與文獻[22]中的結論相一致，這又是一個線性的分數(shù)階微分方程沒有周期解的有力佐證.

定理2.3 如果q ＞0，p ＞0，p2-4q =0 ，矩陣A的特征值為一對重根λ1，2=μ，那么，

1) 當b≠0 (或c≠0 )時，在線性變換下系統(tǒng)(1)被約化成如下的標準型

則原點是該系統(tǒng)的退化結點，且當μ ＜0 時，稱之為穩(wěn)定退化結點；而當μ ＞0 時，稱之為不穩(wěn)定退化結點.

2)當b = c =0 時，取μ = a = δ，系統(tǒng)(1)被約化成如下的標準型

則原點是該系統(tǒng)的奇結點，且當μ ＜0 時，奇點為穩(wěn)定的，而零解為漸近穩(wěn)定的；但當μ ＞0 時，奇點和對應的零解均為不穩(wěn)定的.

下面對定理2.3 的兩種情況分別給出證明.

證明:1)當b≠0 (或c≠0 )時，對(33)式進行Laplace 變換可得:

令ξ(0 )= c1，η(0 )= c2， 然后對(35)式進行 Laplace 逆變換可得(33)式的解為:

利用(36)繪出系統(tǒng)(33)的平面相圖，見圖3(a)和(b).

圖3 退化結點及其鄰域內(nèi)軌道的走勢Fig.3 Degenerate node and track trends in its neighborhood

由解的表達式知，當μ ＜0，t→+∞時，ξ(t) →0，η(t) →0 ，方程組的零解漸近穩(wěn)定，所有軌線毫無例外的沿同一個方向趨于奇點，其附近軌線具有這種性態(tài)的奇點稱為穩(wěn)定退化結點. 當μ ＞0，t→+∞時，ξ(t) →+ ∞，η(t) →+ ∞，方程組的零解不穩(wěn)定，這樣的奇點稱為不穩(wěn)定退化結點.

2)當b = c =0 時，令x(0 )= c1，y(0 )= c2， 易得(34)式的解為:

此時，軌線是趨向(或遠離)奇點的半射線，軌線均沿確定的方向趨于(或遠離)奇點，且不同的軌線其切向各異.當μ ＜0，t→+∞時，ξ(t) →0，η(t) →0 ，故方程組的零解漸近穩(wěn)定；當μ ＞0，t→+∞時，ξ(t)→+∞，η(t) →+∞，故方程組的零解不穩(wěn)定.這樣的奇點稱為奇結點，且與整數(shù)階系統(tǒng)的奇點類型及平面相圖相一致.利用(37)繪出系統(tǒng)(34)的平面相圖，見圖4(a)和(b).

圖4 奇結點及其鄰域內(nèi)軌道的走勢Fig .4 Singular node and track trends inits neighborhood

定理2.4 如果p ＞0，q ＞0，p2-4q ＞0 ，矩陣A的特征值為一對實根λ1，2，且在線性變換下系統(tǒng)(1)被約化成如下的標準型

那么，當λ1，λ2為異號實根時，原點是該系統(tǒng)的不穩(wěn)定的鞍點；而當λ1，λ2同為負實根時，原點是該系統(tǒng)的穩(wěn)定結點；但當λ1，λ2同為正實根時，原點是該系統(tǒng)的不穩(wěn)定結點.

證明:將系統(tǒng)(38)式兩邊施行Laplace 變換得:

令ξ(0 )= c1，η(0 )= c2， 然后對(39)式進行 Laplace 逆變換可得(38)式的解為:

當λ1，λ2為異號實根時，利用(40)繪出系統(tǒng)(38)的平面相圖，見圖5(a)和(b)，這樣的奇點稱為不穩(wěn)定的鞍點.

圖5 不穩(wěn)定的鞍點及其鄰域內(nèi)軌道的走勢Fig .5 Unstable saddle point and track trends in its neighborhood

當λ1，λ2同為負實根時，即當t→+∞時，ξ(t)→0 ，η(t)→0 ，方程組的零解漸近穩(wěn)定，系統(tǒng)(38)的平面相圖見圖6(a)和(b)，這樣的奇點稱為穩(wěn)定結點；當λ1，λ2同為正實根時，即當t→+∞時，ξ(t)→+∞，η(t)→+∞，方程組的零解不穩(wěn)定，這樣的奇點稱為不穩(wěn)定結點，系統(tǒng)(38)的平面相圖與圖6 相同，只是軌線走向與之相反.

圖6 穩(wěn)定結點及其鄰域內(nèi)軌道的走勢Fig.6 Stable node and track trends in its neighborhood