數(shù)學小課題研究：指向拓展性學習

杜英

【摘 要】數(shù)學小課題研究，旨在通過數(shù)學思考、數(shù)學閱讀、調(diào)查實踐，充分釋放學生的潛能，讓學生經(jīng)歷更有意義的學習過程，不斷提高學習的興趣，獲得豐富的情緒體驗，從中感悟數(shù)學學習方法，獲得良好的思維品質(zhì)，提升社會交往的能力，提高數(shù)學核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】小課題研究 拓展性學習 思維提升

數(shù)學小課題研究是指學生圍繞同一個主題構(gòu)建學習共同體，統(tǒng)整學習方式，在學習、理解、分享、反思、成長中提升知識技能、研究方法、思維方式的活動。它具有低起點、 日常化、期周短、好操作、易評價等典型特征。筆者以數(shù)學小課題研究為媒介，通過數(shù)學思考、數(shù)學閱讀、調(diào)查實踐，提升學生核心素養(yǎng)，拓寬數(shù)學學習的新領(lǐng)域。

一、小課題研究，從數(shù)學思維走向綜合素養(yǎng)

史寧中教授曾說過：“一個好的數(shù)學教育，應當更多地傾向于培養(yǎng)學生數(shù)學思維的習慣，會在錯綜復雜的事物中把握本質(zhì)，進而抽象能力強;會在雜亂無章的事物中理清頭緒，進而推理能力強;會在雜亂無章的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而建模能力強?！碧K教版數(shù)學五年級下冊的“和與積的奇偶性”屬于“數(shù)與代數(shù)”板塊的內(nèi)容，它是“因數(shù)和倍數(shù)”單元后的“探索規(guī)律”的專題活動。

基于學生對這一知識已經(jīng)有了一些了解，并掌握了相關(guān)的探究方法這一學情，筆者設計了符合學生最近發(fā)展區(qū)的研究單（見圖1），以此引導學生進行自主探究。

“和的奇偶性”的小研究

1.猜一猜：任意選兩個不是0的自然數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

2.寫一寫：

我的發(fā)現(xiàn)：

我是這樣研究的：

3.想一想：任意選若干個不是0的自然數(shù)相加，什么時候和是奇數(shù)？什么時候和是偶數(shù)？

我的發(fā)現(xiàn)：

我是這樣研究的：

學生根據(jù)學習需要，形成研究小組進行探索。在組內(nèi)交流的基礎(chǔ)上，再進行全班交流。

師：我們先來交流任意選兩個不是0的自然數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)。

生1：我們小組認為，任意選兩個不是0的自然數(shù)相加，和可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，我們用的是列舉法：2+2=4，4+4=8，8+8=16，通過列舉發(fā)現(xiàn)兩個偶數(shù)相加，和是偶數(shù);2+3=5，3+6=9，10+11=21，一個偶數(shù)和一個奇數(shù)相加，和是奇數(shù);1+1=2，3+3=6，5+5=10，兩個奇數(shù)相加，和是偶數(shù)。

生2：我們小組的觀點和他們組的觀點相同，只不過我們是通過列表來思考的。（圖略）

生3：我們是畫圖來進行研究的，通過畫圖很清楚地看到：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。（圖略）

生4：奇數(shù)是不能被2整除的數(shù)，所以奇數(shù)可以看成“偶數(shù)+1”。大家看我們組的研究過程。（圖略）

師：剛才，同學們從簡單的問題入手，從不同的角度去探索，做得很好。讓我們一起回顧一下剛才的探索過程，我們通過了什么方法，發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？

生5：我們通過列舉法、列表法、畫圖法、推理法，都發(fā)現(xiàn)了偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)。

師：你很會總結(jié)。剛才我們探索的是2個自然數(shù)相加和的情況，那任意選若干個不是0的自然數(shù)相加，什么時候和是奇數(shù)，什么時候和是偶數(shù)呢？哪組同學來匯報。

生6：我們組通過列舉來研究的，大家看我們的研究過程。（圖略）

生7：我們組運用剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解釋多個數(shù)相加的情況，請看我們的研究過程。（圖略）

師：看來若干個不是0的自然數(shù)相加，和的奇偶性是由加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)決定的。加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，和就是奇數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，和就是偶數(shù)。這樣，復雜的問題就變得簡單了。

根據(jù)弗賴登塔爾的教育理論，教師的主要任務是引導和幫助學生自己去發(fā)現(xiàn)所學的數(shù)學知識。教師應從學生的實際出發(fā)，順學而教，給學生提供研究素材，精心設計活動單，認真組織學生合作探究。在喚醒了學生的知識經(jīng)驗后，學生經(jīng)歷了深度思考、自主探索、合作交流、建模描述，對和的奇偶性規(guī)律有了深刻的認識。學生有的從多個算式舉例說明，有的從列表角度來論證，有的借助數(shù)形結(jié)合解釋，有的通過推理來思考，相互驗證、相互啟迪，有深度、有溫度。在積極參與中，學生不僅學會了探索規(guī)律的方法，還把握到了規(guī)律的本質(zhì)內(nèi)涵，從感性走向理性，從歸納走向明理，不斷提升了數(shù)學學習能力。和的奇偶性的成功探究為后續(xù)學習“積的奇偶性”埋下伏筆。

學生們繼續(xù)在自己獨立探究的基礎(chǔ)上進行小組合作交流，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律、形成結(jié)論的整個學習過程，得出：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù);乘數(shù)中只要有一個偶數(shù)，積就是偶數(shù)。

基于學生擁有“和的奇偶性”的數(shù)學活動經(jīng)驗，在研究“積的奇偶性”這一內(nèi)容時，教師就可以放手讓學生自己研究。教師啟發(fā)學生回顧參與探索“和的奇偶性”規(guī)律的過程，充分調(diào)動他們的學習主動性，給予他們充足的時間體驗、探索規(guī)律。學生們運用抽象、推理、建模等數(shù)學思想驅(qū)動數(shù)學學習，自身的思維將會更廣闊、更深刻。

二、小課題研究，從學科能力走向立德樹人

史寧中教授指出：“通過數(shù)學學習，學生應當成長為什么樣的人，這就是數(shù)學教育的終極目標：會用數(shù)學的眼光觀察世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學的語言表達世界?！?/p>

2021年，中國共產(chǎn)黨迎來了百年華誕。筆者以此為主題，采用數(shù)學閱讀分享等方式讓學生感知到我國在社會生活、國家建設等領(lǐng)域的眾多發(fā)展成就。緊接著，課后圍繞建黨百年設計了“百年歷程心中有‘數(shù)’”的作業(yè)，通過網(wǎng)絡、書籍查詢、詢問家長、同伴互助等形式開展了小課題研究（見圖2）。

百年歷程 心中有“數(shù)”

1. 找一找：建黨100年來，中國國力變化、人民生活變化、科技的發(fā)展。

2. 畫一畫：通過圖表、思維導困、手抄報等形式畫出中國共產(chǎn)黨的百年歷程，童心向黨，禮贊百年。

3.寫一寫：用數(shù)學的觀點寫一寫你的發(fā)現(xiàn)。

4. 說一說：通過數(shù)學講壇，訴說中國快速發(fā)展，感悟數(shù)據(jù)背后蘊含的中國力量。

學生們從以下幾個實踐環(huán)節(jié)對本次數(shù)學小課題進行研究，具體內(nèi)容如下。

1.“畫說黨史”

通過網(wǎng)絡調(diào)查，學生們找到了中國共產(chǎn)黨發(fā)展中的歷史時刻，通過思維導圖的形式，串聯(lián)起中國共產(chǎn)黨走過的百年光輝歷程，幫助學生形成系統(tǒng)的知識網(wǎng)絡，以此增進他們對黨和祖國的深厚感情。

2.“童畫數(shù)學”

探尋中國共產(chǎn)黨百年征程中的數(shù)學信息，如解放戰(zhàn)爭中的大數(shù)據(jù)分析、經(jīng)濟發(fā)展中的數(shù)學信息，以數(shù)學手抄報的形式呈現(xiàn)。在創(chuàng)作的過程中，學生們相互學習、相互借鑒，感受到數(shù)學的魅力。

3.“數(shù)說中國”

以“中國速度我來講 ”為主題，學生們分別從民生、科技、軍事發(fā)展這三個角度進行了數(shù)學講述。

“大道如虹”以“高速公路發(fā)展”為研究點，了解30年間，我國大陸高速公路從0到99%城市大覆蓋，從“一無所有”到“世界第一”;“筑夢北斗”介紹我國北斗全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)的建成史，從2000年“北斗一號”試驗衛(wèi)星發(fā)射到2020年北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)正式建成開通;“國之重器”以我國航母、東風系列彈道導彈的研制歷史為例……讓學生們感受只有國家強大、國防強大，中國才有未來！

學生在進行“百年歷程 心中有‘數(shù)’”的數(shù)學小課題研究時，深刻感受到強大的中國精神、中國力量 。

數(shù)學是一門具有嚴謹性、科學性、邏輯性和精確性特點的學科，它需要學生學會觀察、懂得分析、提煉結(jié)論，也有助于培養(yǎng)學生求真、求實的科學精神。

三、小課題研究，從單一教學走向?qū)W科融合

學科融合的本質(zhì)是整合，學生圍繞同一個主題進行小課題研究，打破原有的學科界限，通過不同主體的參與、多元的學習方式，整合不同學科知識、不同策略實現(xiàn)學科跨界融合，為學生創(chuàng)設豐富、完整的學習經(jīng)歷，提升學生的動手操作能力、知識水平和學習能力，從而讓學生擁有健康的身心、健全的人格，以及未來持續(xù)不斷成長的學習能力。

以跨學科融合小課題“‘布’同凡響”為例。

本課題研究從學生認知情況出發(fā)，帶領(lǐng)學生展開收集信息、調(diào)查研究、分析數(shù)據(jù)、討論體驗等活動，對“布”有了較為全面的了解。讓“布”成為不同學科間的紐帶，建立學校、社會之間的聯(lián)系，讓生活與學習融通，讓學習真實地發(fā)生。我們創(chuàng)建了本課題的思維導圖（見圖3）。

班主任教師帶著學生觀看“布衣中國”“藍印花布”“貨布”等視頻，語文教師帶著學生查閱書籍、查詢網(wǎng)絡了解“布”的來歷、演變及價值。家長志愿者們帶著孩子去市場上實地考察，了解到棉麻、毛呢、真絲、羊毛等不同面料，以及它們各自的特點，知道商場里如何分類擺放衣服和如何搭配等。數(shù)學教師帶著學生研究布料的材質(zhì)、質(zhì)量、價格。通過小課題研究，學生們了解到：同樣大小布料的質(zhì)量是有輕重的，絲質(zhì)的較輕，麻織的較重，呢子的更重;布料的密度、織造的方式也決定著布料的質(zhì)量。學生們還計算出不同布料的價格，促使他們學以致用。美術(shù)教師指導學生用廢棄的布料進行再利用、再創(chuàng)作，學生們與“布”零距離接觸，完成“布”一樣的作業(yè)。

在跨學科融合的“‘布’同凡響”小課題研究中，各科教師科學引領(lǐng)，學生們自主選擇內(nèi)容，小組分工合作。學生通過調(diào)查統(tǒng)計、閱讀分享、實踐體驗、自信展示，拓寬了視野，通過跨學科整合、自主創(chuàng)生，提升了學科素養(yǎng)。這樣的跨界融合教師是輔助，主創(chuàng)是學生，因此促進了學生能力發(fā)展、知識豐富、思維提升……讓每一個學生學有所獲，不斷成長。

數(shù)學小課題的研究活動，能讓數(shù)學變得更鮮活、更生動，是一種更有層次的拓展性學習。它能夠激發(fā)學生的學習積極性，也能讓學生經(jīng)歷更有意義的學習過程。學生在探究中學習，在學習中思考，積累了豐富的情緒體驗，從中感悟到數(shù)學學習方法，獲得良好的思維品質(zhì)，并在小課題研究中形成了相互影響、相互促進的人際關(guān)系，提升了社會交往的能力，提高了數(shù)學核心素養(yǎng)，同時也拓寬了數(shù)學學習的新領(lǐng)域。

【參考文獻】

[1]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]史寧中.人是如何認識和表達空間的[J].小學數(shù)學（數(shù)學版），2019（3）.