小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”高頻錯(cuò)題講評四講究

【摘要】如何有效地講評錯(cuò)題是個(gè)教學(xué)難點(diǎn)問題，其有效與否直接影響到學(xué)生后續(xù)的復(fù)習(xí)。該文從“‘點(diǎn)子圖錯(cuò)例講評，講究‘以點(diǎn)帶面”“‘畫垂線錯(cuò)例講評，講究‘二步畫法”“‘解面積錯(cuò)例講評，講究‘方圓之道”“‘求體積錯(cuò)例講評，講究‘等量代換”等四個(gè)方面，論述了有效講評錯(cuò)題需要講究的問題。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);圖形與幾何;高頻錯(cuò)題;講評;講究

【基金項(xiàng)目】本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題“提升小學(xué)數(shù)學(xué)高頻錯(cuò)題講評有效性的研究”課題成果之一（編號為2020XB0631）。

作者簡介：林聰強(qiáng)（1990.10—），男，福建省廈門集美中學(xué)附屬濱水學(xué)校，一級教師。

講評高頻錯(cuò)題是課程教學(xué)的重要環(huán)節(jié)之一，講評課可以對學(xué)生的錯(cuò)誤點(diǎn)進(jìn)行糾正，對重難點(diǎn)進(jìn)行鞏固，由此形成一套完整的解題模式，最終實(shí)現(xiàn)講評課的真正價(jià)值。如何有效講評高頻錯(cuò)題是數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的一項(xiàng)重要挑戰(zhàn)，其有效與否直接影響到學(xué)生后續(xù)的復(fù)習(xí)。然而，在實(shí)際教學(xué)中，盡管很多教師都在高頻錯(cuò)題的講評上花了大量的精力，但是效果依然不盡如人意。為此，筆者結(jié)合自己的研究與實(shí)踐，從以下四個(gè)方面論述有效講評錯(cuò)題需要講究的問題。

一、“點(diǎn)子圖”錯(cuò)例講評，講究“以點(diǎn)帶面”

教師時(shí)常會(huì)忽視數(shù)學(xué)的高頻錯(cuò)題的講評課，講評課不但對學(xué)生糾錯(cuò)學(xué)習(xí)有所幫助，同時(shí)也能對教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行一定的回顧。點(diǎn)子圖是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要法寶，同時(shí)也是圖形與幾何知識(shí)中價(jià)值頗高的教學(xué)素材。如何有效地設(shè)計(jì)和利用點(diǎn)子圖是教師一直在探索的問題，探索如何既能讓學(xué)生在認(rèn)知上有所突破，又能符合學(xué)生的發(fā)展需求。然而在實(shí)際的錯(cuò)題講評中，這方面卻較難取得理想的教學(xué)效果，依然存在不少問題。例如“在點(diǎn)子圖中表示出‘23×35中‘23×5的部分”，這類題目錯(cuò)誤率很高，究其原因是學(xué)生對點(diǎn)子圖的掌握存在一定的缺漏。點(diǎn)子圖主要考查的內(nèi)容是評價(jià)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用能力，同時(shí)考查學(xué)生對算理算法的理解情況，這其中主要涉及新人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級關(guān)于《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課的內(nèi)容，即通過點(diǎn)子圖，學(xué)生能加深對算理的理解，進(jìn)而達(dá)到掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)算法的目的。但在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生對點(diǎn)子圖的理解僅僅停留在表面，縱使學(xué)生已經(jīng)明白兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算法則，但是這種理解程度可能只停留在“數(shù)一數(shù)”的初級階段，這會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)的數(shù)學(xué)練習(xí)中頻繁犯錯(cuò)誤，特別對于“一道乘法算式中求解每個(gè)部分分別表示什么”類型的題目，學(xué)生時(shí)常會(huì)混淆算式中各部分的意義。如果學(xué)生對此掌握得不牢固，就會(huì)對后續(xù)四年級學(xué)習(xí)乘法運(yùn)算定律產(chǎn)生負(fù)面影響。

例如，“一副羽毛球拍16元，少年宮買了12副羽毛球拍，一共要用多少元？通過小組合作，說出自己的想法，然后在點(diǎn)子圖上把自己的想法圈畫出來。”根據(jù)題意，學(xué)生無法利用點(diǎn)子圖表示乘法分配律，這是因?yàn)閷W(xué)生之前對于點(diǎn)子圖的學(xué)習(xí)，只是機(jī)械式地將各部分點(diǎn)子的數(shù)量合起來，而在數(shù)學(xué)的抽象思維訓(xùn)練上有所不足。筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該在講評課上引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，重點(diǎn)讓學(xué)生學(xué)會(huì)由點(diǎn)及面，將面積的含義融入兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理中，通過結(jié)構(gòu)化模式將分散的點(diǎn)子統(tǒng)一起來，形成一幅相互關(guān)聯(lián)的點(diǎn)子圖，再將豎式計(jì)算中的數(shù)融入點(diǎn)子圖中，通過多次溝通和比較，加深對點(diǎn)子圖與豎式計(jì)算關(guān)系的理解，真正發(fā)揮點(diǎn)子圖“以點(diǎn)帶面”的作用，突破算理的認(rèn)知問題，達(dá)到降低題目出錯(cuò)率的目的。

又例如“在點(diǎn)子圖上畫出兩個(gè)不同的平行四邊形”的教法，教師讓學(xué)生自由地畫出平行四邊形的兩組對邊，其實(shí)是降低了對平行線教學(xué)的重視程度，起不到點(diǎn)子在實(shí)際操作中的作用。學(xué)生只是淺顯地、片面地認(rèn)識(shí)平行線的“平”或“直”，如果遇到傾斜的平行線，就容易弄混淆，無法明確地辨析平行的關(guān)系，久而久之，學(xué)生就會(huì)憑感覺來隨意畫點(diǎn)和線[1]。基于此，學(xué)生在此類題目上的錯(cuò)誤率居高不下。筆者建議教師要在錯(cuò)題講評課上帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)真解讀教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生厘清線段和點(diǎn)子的位置關(guān)系，因?yàn)樵谛氯私贪嫠哪昙壣蟽灾?，平行線的畫法已經(jīng)在新教材的編排中被刪減了。由此，教師借助點(diǎn)子圖畫線段，能實(shí)現(xiàn)對平行線表象的建構(gòu)，最終教學(xué)生畫出正確的平面圖形。

可見，正確而有效地解決點(diǎn)子圖的高頻錯(cuò)題，不僅可以幫助學(xué)生正確理解圖形與幾何中概念的本質(zhì)，而且有助于降低學(xué)生做題的錯(cuò)誤率。

二、“畫垂線”錯(cuò)例講評，講究“二步畫法”

畫垂線是新人教版四年級上冊的內(nèi)容，掌握垂線的畫法是本節(jié)圖形與幾何課的重難點(diǎn)，是奠定圖形與幾何的操作題的基礎(chǔ)。然而在實(shí)際教學(xué)中，看似簡單的畫垂線，學(xué)生卻錯(cuò)誤百出，這樣學(xué)生以后學(xué)到平面圖形的高的畫法時(shí)就難上加難，因?yàn)樗鼈兌际且援嫶咕€為基礎(chǔ)的。例如“經(jīng)過O點(diǎn)畫射線OA和OB的垂線”，此類題就是“畫垂線”問題，其實(shí)就是如何把三角尺上互相垂直的線段演變成已知直線和待畫直線的垂直關(guān)系的問題，通過建立對應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生明白作垂直線段的方法。但在實(shí)際教學(xué)中，教師只是機(jī)械式地把正解告訴學(xué)生，學(xué)生似懂非懂。筆者建議在實(shí)際的講評課中，教師要判斷學(xué)生出錯(cuò)的類型，比如學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下幾種高頻錯(cuò)題：第一，學(xué)生對于三角尺上的兩條垂線的印象不深刻，不懂得借助三角尺來作垂線，因此畫垂線時(shí)造成垂直角度不精確;第二，學(xué)生縱然知道可以借助三角尺的兩條垂線，但是在操作過程中時(shí)常出現(xiàn)畫不垂直的情況，有的學(xué)生索性根據(jù)感官來畫垂線。筆者建議教師在錯(cuò)題講評中注意以下問題。一方面，讓學(xué)生記住作垂線的步驟，即標(biāo)記、貼住、慢慢移。畫垂線分為兩種情況，一種是過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，另一種是過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線。但是學(xué)生在實(shí)際操作中時(shí)常不按套路出牌，只是假裝規(guī)范地作出垂線，實(shí)際上根本沒有按照步驟進(jìn)行。例如“畫出三角形ABC中AB邊上的高EF”，很多學(xué)生在之前畫垂線的時(shí)候沒有經(jīng)過充分的思考，只是機(jī)械地記憶畫圖步驟，盡管之前還學(xué)過平行四邊形和梯形的高的畫法，但當(dāng)遇到畫三角形的高時(shí)，垂線的畫法早就遺忘了。這就表明學(xué)生對點(diǎn)和已知直線關(guān)系的理解不夠透徹。筆者建議教師在教學(xué)中對比總結(jié)垂線的兩種畫法的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生深入建構(gòu)垂直概念，透徹地感悟畫垂線的內(nèi)涵。另一方面，教師在講評過程中可以畫幾條錯(cuò)誤的線段，讓學(xué)生去糾錯(cuò)，在糾錯(cuò)中逐步在兩種畫法中找到平衡點(diǎn)，進(jìn)而使學(xué)生掌握畫垂線的方法。

因此，教師要在不斷調(diào)整的過程中讓學(xué)生理解點(diǎn)與直線的關(guān)系，讓學(xué)生規(guī)范地畫出垂線，從而解決圖形與幾何中關(guān)于畫法的高頻錯(cuò)誤點(diǎn)。

三、“解面積”錯(cuò)例講評，講究“方圓之道”

教師經(jīng)常會(huì)不小心把一節(jié)講評課上成簡單的知識(shí)復(fù)習(xí)課，因?yàn)榻處煏?huì)把重心放在舊知識(shí)的再認(rèn)識(shí)、再重復(fù)上，導(dǎo)致學(xué)生對高頻錯(cuò)題的解決方法重視度不高。如何更好地把握講評課，關(guān)鍵在于講評的內(nèi)容和形式。講評課的形式有很多，可以先講后練，還可以邊講邊練，亦可以先練后講等。如何對高頻錯(cuò)題進(jìn)行有效的講評呢？首先，教師不能阻礙學(xué)生的思維發(fā)展，同時(shí)也要給學(xué)生一些嘗試鍛煉的機(jī)會(huì)，不然學(xué)生的學(xué)習(xí)就只能停留在傾聽的表面。其次，教師要利用好學(xué)生的錯(cuò)誤的教學(xué)資源，從學(xué)生錯(cuò)得比較多的題目中讀懂學(xué)生的想法，從而改進(jìn)教學(xué)方式，全面地設(shè)計(jì)課堂活動(dòng)。例如“三角形ABC是邊長為48厘米的正三角形，陰影部分是以每條邊長為直徑畫半圓時(shí)出現(xiàn)的幾何圖形，求陰影部分的面積？”的講評課，對于這類圖形與幾何方面的高頻錯(cuò)題，學(xué)生在對面積的求解方面顯得手足無措，有的學(xué)生對關(guān)系式掌握得不清楚，有的學(xué)生不清楚求解的是哪一個(gè)圖形或者是哪一部分的面積。在講評課上，很多教師總是單純地就錯(cuò)題進(jìn)行剖析講解，或者是告訴學(xué)生該用什么面積公式。筆者認(rèn)為，在講評課上應(yīng)該關(guān)注學(xué)生真正的需求。例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)不同的平面圖形面積計(jì)算方法時(shí)，可以將所有的面積知識(shí)融會(huì)貫通，讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨別不同圖形的面積關(guān)系，并讓學(xué)生在日常學(xué)習(xí)過程中收集整理高頻錯(cuò)題的類型題。通過一段時(shí)間的積累，學(xué)生便明白面積錯(cuò)題主要集中在以基本的幾何圖形為底板的變式類型。因此在講評課中，教師不僅要使學(xué)生明白不同圖形面積的推導(dǎo)公式以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，更要考慮到“內(nèi)圓外方”“內(nèi)方外圓”的關(guān)系，因?yàn)檎莆铡胺綀A之道”是解決六年級圖形與幾何問題的一個(gè)重要的手段。圖形與幾何的源頭是從認(rèn)識(shí)長方形、正方形開始的，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展到不同的圖形，再根據(jù)圖形的變化找到圓和正方形的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解決圖形問題。譬如，“一個(gè)正方形的面積是25平方米，那么圓的面積是多少呢？”如果按照正常的數(shù)學(xué)邏輯，我們應(yīng)該先求出圓的半徑，然后根據(jù)面積公式求出圓的面積。而這道題卻無法求出半徑，但是我們可以另找思考的角度，根據(jù)半徑的平方聯(lián)系到正方形的面積公式（即邊長乘邊長），這樣便能直接求出圓的面積。所以說厘清錯(cuò)題中的圖形關(guān)系很重要，而借助方圓的關(guān)系可以解決許多關(guān)于圖形面積的問題。

圖形與幾何的面積求解題目錯(cuò)誤率高的原因在于學(xué)生不懂得利用圖形關(guān)系來解題。因此在錯(cuò)題講評過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用正方形和圓的關(guān)系，為解決面積問題另辟蹊徑，尋找最佳的解決策略，實(shí)現(xiàn)錯(cuò)題的再利用、再消化、再吸收。

四、“求體積”錯(cuò)例講評，講究“等量代換”

錯(cuò)題講評課不僅要讓學(xué)生明白自己的錯(cuò)誤在哪里，還應(yīng)該讓學(xué)生懂得怎么避免重復(fù)犯錯(cuò)，通過這樣的方式讓學(xué)生在講評中關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)，整體地把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)[2]。六年級數(shù)學(xué)圖形與幾何模塊的重點(diǎn)是解決體積問題，根據(jù)學(xué)生日常的錯(cuò)題收集，筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于體積的錯(cuò)題有很多。例如，“一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐等底等高，那么它們的體積比是（ ）;一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐體積相等，且等底，那么它們的高的比是（ ）;一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐體積相等，且等高，那么它們的底面積比是（ ）?！苯處煂Υ祟愬e(cuò)題也是很苦惱，在講評課上花費(fèi)了很多時(shí)間，如讓學(xué)生再次“炒冷飯”，回顧圓柱和圓錐的體積公式，讓學(xué)生重復(fù)機(jī)械地記憶公式等，但是收效甚微。因此，筆者做出了一些改進(jìn)。課伊始，筆者先由平面圖形的特征講到周長和面積計(jì)算，再梳理復(fù)習(xí)立體圖形的特征和推演體積的公式，如此既讓學(xué)生明白知識(shí)的溯源，同時(shí)也讓學(xué)生清楚在錯(cuò)題復(fù)習(xí)中要關(guān)注新問題與舊知識(shí)的聯(lián)系，尋找新舊知識(shí)之間的突破口[3]。解決圓柱和圓錐二者關(guān)系問題的關(guān)鍵在于等體積的轉(zhuǎn)換。如果單純從體積間的倍數(shù)關(guān)系分析，學(xué)生很快就能得出答案;但是如果題目一旦加入其他物體的體積干擾因素，學(xué)生就辨別不清物體間體積的關(guān)系了。因此，教師在教學(xué)過程中務(wù)必讓學(xué)生透徹地理解等量代換，其實(shí)這在五年級的教學(xué)中就有所滲透了。例如，“一個(gè)圓柱容器，底面半徑10cm，里面盛有水，現(xiàn)將一個(gè)圓錐鐵塊放在容器內(nèi)并浸沒在水中，水面上升2cm，這個(gè)圓錐鐵塊體積是多少？”學(xué)生在學(xué)習(xí)六年級的圓柱和圓錐的體積求解之前，就已學(xué)過求解不規(guī)則物體的體積，即把不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體的體積，再根據(jù)轉(zhuǎn)化前后的等量關(guān)系進(jìn)行求解，因此我們可以通過將圓柱和圓錐的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化來解決問題[4]。教師在講評時(shí)，可先讓學(xué)生回顧長方體體積、圓柱體積、圓錐體積的推導(dǎo)公式，歸納出三者體積都是用底面積乘高的關(guān)系來求解。通過這樣的鋪墊，學(xué)生在高頻錯(cuò)題上就不容易重蹈覆轍。學(xué)生明白了體積的本質(zhì)，明白了利用切割、拼湊、轉(zhuǎn)化等方式把圓柱轉(zhuǎn)化為長方體，亦可以把圓錐轉(zhuǎn)化成圓柱，從而使得自身的思維慢慢進(jìn)階，從具體表象走向深度學(xué)習(xí)。這樣學(xué)生不僅能進(jìn)一步加深對體積意義的理解，發(fā)展解決實(shí)際問題的能力，還能體驗(yàn)到等積變形、遷移類推的思想方法，從而形成解決不同物體體積高頻錯(cuò)題的一套方法。

“等量代換”思想的獲取是靠學(xué)生自己去領(lǐng)悟出來的，單單憑借教師的教學(xué)是無法實(shí)現(xiàn)的。因此在高頻錯(cuò)題的講評中，教師要注重滲透思想方法，在知識(shí)講解的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)思想的內(nèi)化，把錯(cuò)題的講評權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的全過程。

總而言之，高頻錯(cuò)題講評課的價(jià)值就在于讓學(xué)生避免反復(fù)出現(xiàn)同一類型的錯(cuò)題，為學(xué)生打造一套解決數(shù)學(xué)高頻錯(cuò)題的策略，提高學(xué)生解決圖形與幾何問題的能力，使核心素養(yǎng)在學(xué)生心中落地生根。

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