學(xué)“整式乘法與因式分解”，從讀教材開始

文／鐘 鳴

同學(xué)們，教材是我們學(xué)習(xí)的根本。在學(xué)習(xí)本章之前，先瀏覽一遍，你會發(fā)現(xiàn)，本章由兩部分構(gòu)成——“整式乘法”和“因式分解”，它們是互逆變形。在本章的學(xué)習(xí)中，我們要學(xué)著從兩個方向（順向與逆向）看問題，培養(yǎng)逆向思維。

例如：乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，順向看是“整式乘法”，兩個一次多項式的積變成了一個二次多項式；逆向看是“因式分解”，一個二次多項式分解成了兩個一次多項式的積。

深入閱讀各節(jié)內(nèi)容，我們還會發(fā)現(xiàn)這樣的結(jié)構(gòu)：“用不同的方法從不同的角度計算同一個圖形的面積，獲得等式”→“利用歸納，合情推理，得出法則或公式”→“依據(jù)運算律，通過演繹推理，證實結(jié)論”。這是貫串全章的基本方法，也是代數(shù)領(lǐng)域非常重要的學(xué)習(xí)方法。我們完全可以將這一基本方法拓展到對完全立方公式的研究中。

如圖1，已知一個邊長為a+b的正方體。對于其體積V，我們可以直接整體計算，得到V=（a+b）3；還可以利用兩個小立方體的體積與6個小長方體的體積之和計算，即a3+b3+3a2b+3b2a。于是，我們得到等式①（a+b）3=a3+b3+3a2b+3b2a。

圖1

上述結(jié)論中，a、b的取值局限于正數(shù)。為了得到一般的結(jié)論，我們不妨假設(shè)以下三類情況：1.a、b中有一個是負(fù)的；2.a、b都是負(fù)的；3.a、b中有一個（或兩個）取值為零。我們將這3種情況分別代入等式①的左右兩邊，通過驗證、歸納，猜想等式①對于任意實數(shù)都成立。但是，這只是猜想。為了在更一般意義上確立這一結(jié)論，我們還需要從數(shù)學(xué)已有的規(guī)則、事實出發(fā)，從邏輯上加以證明。因為（a+b）3=（a+b）2（a+b），所以我們利用完全平方公式和多項式乘多項式法則，即可證明等式①。

讀完這一章，我們再回頭想一想便能感覺：在知識形成的過程中，圖形（幾何）直觀、符號意識、推理能力是比較重要的。

圖形直觀指畫一個圖形，直觀表示所思考對象的數(shù)學(xué)特征（關(guān)系），以便分析問題。其指導(dǎo)思想就是數(shù)形結(jié)合。我們所熟知的表格、線段圖、條形圖、扇形圖以及點和線段的表示等，都是圖形直觀。在本章中，圖形直觀體現(xiàn)在畫一個圖形來表示兩個可以畫等號的代數(shù)式，這既可以解釋“整式乘法”，也可以解釋“因式分解”。

符號意識就是主動使用符號的意識。我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，接觸的數(shù)學(xué)符號主要有兩類：1.數(shù)字、字母、圖像（表）等對象符號；2.加、減、乘、除、等于、不等于等運算符號。運用符號，我們可以表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，還可以進(jìn)行運算和推理。在本章中，用符號表示規(guī)律，發(fā)現(xiàn)公式（等式①），就是主動運用符號表示的過程；對所發(fā)現(xiàn)的公式，依據(jù)運算律和法則進(jìn)行證明，就是符號操作的過程。

如果想把一般的規(guī)律揭示出來，你就不得不進(jìn)行符號表示；如果想證明規(guī)律的正確性，你就不得不進(jìn)行符號操作。這兩個過程既是代數(shù)運算的過程，也是初中代數(shù)與小學(xué)算術(shù)的最大不同。

進(jìn)入初中后，我們更加重視由合情推理和演繹推理構(gòu)成的完整推理過程。合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。合情推理和演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，是學(xué)習(xí)本章以及全部“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域知識的有效工具。我們在閱讀教材的同時，要留意去體驗、認(rèn)識、經(jīng)歷這樣的推理過程，在進(jìn)行合情推理時思考“合情”的理由，在進(jìn)行演繹論證時注重尋找合理的證明思路。

總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要閱讀教材，要重視知識形成的過程，把握一章的主線，總結(jié)基本方法，更要錘煉數(shù)學(xué)能力，增強數(shù)學(xué)意識，體悟數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)趣味。