有“圓”千里來相會，無“圓”對面不相識

文／錢金山 徐曉連

近年來，各地中考題常涉及“隱形圓”。這些題呈現(xiàn)方式多樣，入手較難。但我們只要認識到題目的本質(zhì)，就會發(fā)現(xiàn)其中的巧妙之處。

例題如圖1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4。P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（ ）。

圖1

【解析】本題考查點與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是確定點P的位置。首先證明點P在以AB為直徑的圓O上，連接OC與圓O交于點P，此時PC最小，再利用勾股定理求出OC，即可解決問題。答案選B。

【變式1】（2021·廣東）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，點D為平面上一個動點，∠ADB=45°，則線段CD長度的最小值為________。

【解析】本題沒有給出幾何圖形，需要自己作圖分析。根據(jù)“定弦定角”模型，可作出輔助圓。如圖2，以AB為斜邊向兩側(cè)作等腰直角三角形OAB和等腰直角三角形O′AB，則點D應在分別以O(shè)和O′為圓心，OA和O′A長為半徑的優(yōu)弧上，若CD長度最小，則點D應在以O(shè)為圓心，OA長為半徑的優(yōu)弧上。過圓心O作ON⊥AB，OM⊥BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，點D在圓O上。

圖2

∵∠ADB=45°，

【點評】45°的圓周角所對的弦長是定值，屬于“隱形圓”中典型的“定弦定角”模型。

【變式 2】如圖3，E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上的動點，連接AE、AF、EF，且滿足∠EAF=45°。

圖3

（1）求證：BE+DF=EF；

（2）若正方形的邊長為1，則△ECF面積的最大值為 。

【解析】（1）如圖4，把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，可證△EAF≌△EAG，從而得到BE+DF=EF。

圖4

（2）由（1）可知S△ECF=S正方形ABCD-2S△AEF=1-EF，以EF為斜邊向△AEF內(nèi)作等腰直角三角形OEF。由于∠EAF=45°，點A、E、F在以O(shè)為圓心，OE為半徑的圓上，當EF值最小時，△ECF的面積最大。過點A作AH⊥EF于點H，以EF為斜邊向△AEF內(nèi)作等腰直角三角形OEF，取EF中點I，連接OA、OI、CI。

圖5

設(shè)EF=x，則

由（1）可知AH=AB=1，

∴S△ECF=S正方形ABCD-2S△AEF=1-EF=1-x，

則當EF值最小時，△ECF的面積最大。

∴△ECF的面積最大值為1-x=

【點評】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)、圓周角和圓心角的關(guān)系，能發(fā)現(xiàn)“隱形圓”并作出正確圖形是解決問題的突破口。利用“隱形圓”模型常能突破一些較難的綜合題，一旦“圓”形畢露，答案便手到擒來。