“圓”來如此
——圓中典型易錯題分析

文／陳 明

圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，而且還具有旋轉(zhuǎn)不變性，這些特性使得有關(guān)“圓”的問題復(fù)雜多變。有關(guān)“圓”的多變題型，也讓同學(xué)們頭疼不已，往往望“圓”興嘆。其實(shí)只要抓住點(diǎn)、線在圓中的基本位置關(guān)系，問題就可以迎刃而解。

一、一條弦對兩條弧

例1若圓的一條弦長等于半徑，弦所對的圓周角的度數(shù)是________。

【錯誤分析】同學(xué)們往往會忽略一條弦所對的弧有兩條——劣弧和優(yōu)弧。

【正確解答】弦AB將圓分為優(yōu)弧和劣弧兩段。

（1）如圖1，點(diǎn)C在優(yōu)弧上。

圖1

（2）如圖2，點(diǎn)C在劣弧上。

圖2

綜上可得，∠ACB=30°或150°。

二、弦與圓心的位置關(guān)系

例2在⊙O中，弦AB和弦AC構(gòu)成的∠BAC=48°，M、N分別是AB和AC的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)為________。

【錯誤分析】很多同學(xué)由于思維定式，認(rèn)為只有“圓心在角內(nèi)”這唯一的情形。

【正確解答】（1）當(dāng)圓心在兩條弦所夾角的內(nèi)部時。

如圖3，連接OM、ON。

圖3

由垂徑定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。

∵∠BAC=48°，∴∠MON=132°。

（2）當(dāng)圓心在兩條弦所夾角的外部時。

如圖4，連接OM、ON。

圖4

由垂徑定理，得OM⊥AB，ON⊥AC。

∵∠BAC=48°，∴∠MON=∠BAC=48°。

綜上可得，∠MON=132°或48°。

三、圓心與圓內(nèi)接三角形的位置關(guān)系

例3已知△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，⊙O半徑為6，圓心O到底邊BC的距離為2，則AB的長為________。

【錯誤分析】一些同學(xué)在解決此題時，忽略了圓心與三角形的相對位置存在多種情形，只考慮“圓心O在△ABC的內(nèi)部”這一種情形。由已知條件可得，此題分為圓心O在△ABC的內(nèi)部和外部兩種情形。

【正確解答】（1）如圖5，當(dāng)圓心O在△ABC的內(nèi)部時。

圖5

連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D，連接線段OB。

（2）如圖6，當(dāng)圓心O在△ABC的外部時。

圖6

連接OA，交BC于點(diǎn)D，連接OB。

簡約而不簡單的“圓”，需要我們從多種角度去思考。因此，我們在以后的學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成周全的解題思路，每得到一解還要多想想，有沒有其他的情況。