基于高保真度目標(biāo)函數(shù)的直齒圓柱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)

盛文達(dá)，李顯培，林濤，任宜青，張瑋，孫夢(mèng)

基于高保真度目標(biāo)函數(shù)的直齒圓柱齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)

盛文達(dá)，李顯培，林濤，任宜青，張瑋，孫夢(mèng)

（長(zhǎng)安大學(xué) 工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710048）

在使用遺傳算法對(duì)直齒圓柱齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，通常采用近似模型替代齒輪模型建立目標(biāo)函數(shù)，但經(jīng)數(shù)次迭代計(jì)算后，誤差被放大，會(huì)影響全局尋優(yōu)的準(zhǔn)確性。本文提出一種建立高保真度目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型的方法，用于保證遺傳算法全局尋優(yōu)的準(zhǔn)確，不僅考慮腹板、減重孔和軸質(zhì)量的基礎(chǔ)上增加考慮齒輪傳動(dòng)中大小齒輪齒寬不等、齒輪軸長(zhǎng)度、頂隙、鍵槽等因素，還引入齒頂高、齒根高、鍵槽長(zhǎng)寬、修正系數(shù)等參數(shù)。在設(shè)計(jì)材料數(shù)據(jù)相同條件下，相比傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，使用本文提出的高保真度目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行遺傳算法優(yōu)化計(jì)算得出的優(yōu)化結(jié)論在重量上減輕了11.67%，且經(jīng)過(guò)ANSYS分析校核，該優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)論模型滿足設(shè)計(jì)要求。

高保真度；優(yōu)化設(shè)計(jì)；直齒圓柱齒輪；目標(biāo)函數(shù)

在齒輪的設(shè)計(jì)過(guò)程中，存在著目標(biāo)函數(shù)多、約束條件復(fù)雜等特點(diǎn)，因此，齒輪設(shè)計(jì)在學(xué)術(shù)研究中備受青睞，推動(dòng)著齒輪設(shè)計(jì)生產(chǎn)過(guò)程和產(chǎn)品性能的不斷優(yōu)化[1]。

結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)、強(qiáng)度設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)技術(shù)等，采用迭代方法對(duì)齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在兼顧設(shè)計(jì)參數(shù)的同時(shí)，還能縮短設(shè)計(jì)周期[2]。還有學(xué)者通過(guò)開(kāi)發(fā)軟件、算法優(yōu)化和增加約束條件等方式求解直齒圓柱齒輪系設(shè)計(jì)系數(shù)的最優(yōu)組合問(wèn)題，從而對(duì)直齒圓柱齒輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)[3-4]；R.C.Sanghvi等[5]利用多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)（NSGA-II）以面寬、模量和齒數(shù)為設(shè)計(jì)變量對(duì)二級(jí)斜齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了優(yōu)化，通過(guò)帕累托最優(yōu)（Pareto Optimality）兼顧體積和負(fù)載能力達(dá)到雙目標(biāo)最優(yōu)設(shè)計(jì)；任建華等[6]利用Matlab優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)選取設(shè)計(jì)參數(shù)、構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)、確定約束條件，驗(yàn)證優(yōu)化工具箱對(duì)于齒輪優(yōu)化的可行性；陳強(qiáng)等[7]通過(guò)Matlab軟件對(duì)二級(jí)斜齒輪減速器進(jìn)行中心距、總重量、螺旋角的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過(guò)歸一化處理、分配適當(dāng)?shù)臋?quán)值，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；Brahim M等[8]提出了基于GA（Genetic Algorithm）和RBF（Radial basis function）的兩級(jí)優(yōu)化方法，將齒輪的最優(yōu)重量進(jìn)一步優(yōu)化。

遺傳算法是一種全局搜索的優(yōu)化方法，通過(guò)選擇、交叉和變異進(jìn)行優(yōu)化重組，從而實(shí)現(xiàn)全局搜索，得出全局最優(yōu)解[9-14]。

學(xué)者們利用計(jì)算機(jī)對(duì)齒輪進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)象的不同，可分為：一級(jí)、二級(jí)圓柱齒輪和斜齒輪、圓錐齒輪、齒輪箱、齒輪系、減速器等[15-29]。

同類型齒輪的應(yīng)用場(chǎng)所不同，則優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)所選目標(biāo)函數(shù)也不盡相同。近年來(lái)，由于高性能動(dòng)力傳輸（如汽車(chē)、航空航天等）的廣泛應(yīng)用，齒輪傳動(dòng)的最小重量設(shè)計(jì)問(wèn)題成為了研究熱題，在材料不變的前提下轉(zhuǎn)化為體積優(yōu)化問(wèn)題，最終體現(xiàn)在目標(biāo)函數(shù)的建立上，目標(biāo)函數(shù)模型對(duì)于齒輪物理模型的保真度，決定了優(yōu)化結(jié)論的準(zhǔn)確性。傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)往往采用近似模型替代齒輪模型建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)迭代計(jì)算后誤差被放大，最終影響優(yōu)化結(jié)論。為了使優(yōu)化結(jié)論數(shù)據(jù)與物理測(cè)試數(shù)據(jù)達(dá)到相當(dāng)?shù)木人?，?shù)學(xué)模型也應(yīng)盡可能地接近真實(shí)物理模型。因此本文對(duì)比傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立直齒圓柱齒輪重量?jī)?yōu)化的高保真度目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)Matlab遺傳算法進(jìn)行迭代優(yōu)化計(jì)算，得出優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)論。

1 直齒圓柱齒輪及傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)

直齒圓柱齒輪是工業(yè)上廣泛應(yīng)用的功率傳遞機(jī)械裝置，其嚙合如圖1所示，其中：腹板減重孔數(shù)量＝6，0≈1.62，I＝2.5（為模數(shù)），3＝2－2I－2h（h為齒根高系數(shù)），2＝1（為傳動(dòng)比），b＝3.5，d＝0.25(3－0)，1＝1。

b1、b2為小齒輪、大齒輪齒寬，mm；bw為腹板厚度，mm；d0為大齒輪輪轂直徑，mm；d1、d2為小齒輪軸、大齒輪軸直徑，mm；Iw為輪緣厚度，mm；D1、D2為小齒輪、大齒輪分度圓直徑，mm；D3為大齒輪邊緣內(nèi)徑，mm；dp為減重孔直徑，mm。

傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)，選取模數(shù)（按標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)系列選?。?、小齒輪齒數(shù)1（整數(shù)型）、小齒輪齒寬1（浮點(diǎn)型）、小齒輪分度圓直徑1、大齒輪分度圓直徑2五個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)計(jì)算變量參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的建立主要分為兩大類：第一類是以分度圓為底、齒寬為高的圓柱體模型建立目標(biāo)函數(shù)，第二類則考慮大齒輪腹板和減重孔而建立的目標(biāo)函數(shù)。

Yokota等[14]建立的齒輪重量目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如式（1）所示；Brahim M等[8]建立的齒輪重量目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為如式（2）所示。

式中：為齒輪密度，g/cm3；為齒寬，mm；為傳動(dòng)比；D為輪轂內(nèi)徑，mm；0、1分別為凸臺(tái)外徑、凸臺(tái)長(zhǎng)度，mm；gear、shaft分別為齒輪、軸密度，g/cm3；為大、小齒輪軸的軸長(zhǎng)，mm。

式（1）、式（2）中目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型的建立為第二種類型，雖然優(yōu)于第一類，如張少軍[30]以大小齒輪分度圓柱體積之和為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，但存在以下問(wèn)題：

（1）大小齒輪齒寬統(tǒng)一取值為，未考慮實(shí)際情況中為保證裝配精度、防止齒輪傳動(dòng)中扭矩的傳遞能力降低，可能發(fā)生的齒輪接觸面積減小、齒輪磨損不均勻、齒輪發(fā)生異響等狀況。通常選取小齒輪齒寬1比大齒輪齒寬2多5～10 mm，即1＝2＋（5～10） mm。

（2）未考慮由于齒頂高系數(shù)與齒根高系數(shù)取值不同而導(dǎo)致的頂隙存在，與實(shí)際情況不符?？蓪㈨斚端贾亓恳肽繕?biāo)函數(shù)中，增大目標(biāo)函數(shù)的精確度。

（3）未考慮齒輪與軸連接處鍵槽的存在。通過(guò)引入齒輪輪轂處鍵槽的重量，也能增加目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型的精度。

（4）大小齒輪的軸長(zhǎng)統(tǒng)一取值為，與實(shí)際設(shè)計(jì)情況不符。齒輪軸大多為階梯軸，其軸長(zhǎng)的取值是由裝配齒輪的齒寬決定的，在齒輪的設(shè)計(jì)過(guò)程中屬于未知參數(shù)，不影響齒輪的設(shè)計(jì)計(jì)算，因此不應(yīng)考慮該齒輪軸段重量。

2 高保真度目標(biāo)函數(shù)的建立

本文建立了一種對(duì)于齒輪物理模型具有高保真度的目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型，用于保證目標(biāo)函數(shù)的保真度對(duì)于迭代遺傳算法全局尋優(yōu)的準(zhǔn)確性。在目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建中考慮到齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程中大小齒輪齒寬不同、頂隙、鍵槽等因素，引入齒頂高、齒根高、鍵槽長(zhǎng)寬、腹板減重孔、修正系數(shù)等參數(shù)進(jìn)行構(gòu)建。

結(jié)合傳統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)及其新增因素，建立高保真度目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型如式（3）所示：

式中：1、2分別為小齒輪、大齒輪的齒寬，mm，其中1＝2＋5 mm；1、2分別為小齒輪、大齒輪的齒數(shù)。

以重量最小為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)須考慮以下條件：

（1）大小齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度＜許用彎曲強(qiáng)度，即：

（2）大、小齒輪間的接觸應(yīng)力＜許用接觸應(yīng)力，即：

（3）大、小齒輪輪轂的抗扭強(qiáng)度＜許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，因?yàn)榇笮↓X輪輪轂半徑不同，因此需要分開(kāi)計(jì)算，即：

式中：τ、[τ]分別為扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力、許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，MPa；、1分別為齒輪傳動(dòng)功率、小齒輪轉(zhuǎn)速，r/min。

選擇齒輪材料17Cr2Ni2Mo，其密度齒輪＝7.8 g/cm3，彈性模量＝210 GPa，泊松比＝0.28，許用彎曲應(yīng)力σ＝224.16 MPa，許用接觸應(yīng)力σ＝766.77 MPa。

結(jié)合齒輪材料和設(shè)計(jì)參數(shù)，查設(shè)計(jì)手冊(cè)取K＝1、K＝1、K＝1.0、K＝1.34、Y＝2.65、Y＝1.58、ε＝1.711、K＝1.421、Z＝2.5、Z＝189.8。

3 基于遺傳算法的齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是基于分析模型的低成本計(jì)算方法，用一個(gè)有限固定長(zhǎng)度的二進(jìn)制字符串表示每一個(gè)單獨(dú)的解決方案（染色體，即直齒圓柱齒輪中1、1、2、1、），然后通過(guò)計(jì)算適應(yīng)度值（即目標(biāo)函數(shù)計(jì)算值取倒數(shù)）來(lái)評(píng)估每個(gè)單獨(dú)的解（對(duì)比適應(yīng)度值的大?。?。

遺傳算法結(jié)合直齒圓柱齒輪優(yōu)化計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 直齒圓柱齒輪遺傳優(yōu)化計(jì)算流程圖

遺傳算法在每一個(gè)親代生成子代的過(guò)程中，遵循自然選擇中選擇、交叉、變異的規(guī)則，能夠保留優(yōu)良組合、產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)、增加子代多樣性。本文將交叉率選為0.6、變異率選為0.1進(jìn)行迭代計(jì)算，各參數(shù)變量在不斷迭代中逐步趨近于最優(yōu)解，根據(jù)Yokota等[14]和Brahim M等[8]使用參數(shù)和多次試驗(yàn)結(jié)合考慮，在本文中選擇初始種群大小為250、迭代次數(shù)選擇為500。且對(duì)變量參數(shù)1、1、2、1、限定取值范圍為：25≤1≤40、20≤1≤40、20≤2≤40、18≤1≤25、＝（2.5, 2.75, 3, 3.5, 4）。

4 基于高保真度目標(biāo)函數(shù)的齒輪優(yōu)化計(jì)算及強(qiáng)度校核

4.1 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果

結(jié)合文獻(xiàn)[8]，本文設(shè)置初始設(shè)計(jì)條件為：傳動(dòng)比＝4，齒輪傳遞功率＝7500 W，1＝35 mm，1＝23 mm，2＝26 mm，1＝22，＝2.5，輪轉(zhuǎn)動(dòng)速度1＝1500 r/min，設(shè)計(jì)中心距＝140 mm。結(jié)合本文的目標(biāo)函數(shù)、約束條件和初始設(shè)計(jì)參數(shù)，利用遺傳算法進(jìn)行直齒圓柱齒輪迭代優(yōu)化計(jì)算，得出優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)論，如表1所示。通過(guò)比較，在同參數(shù)條件下，本文優(yōu)化數(shù)據(jù)的最優(yōu)解相較于文獻(xiàn)[8]在重量上優(yōu)化了11.67%。

表1 優(yōu)化結(jié)論數(shù)據(jù)

根據(jù)優(yōu)化結(jié)論數(shù)據(jù)，結(jié)合實(shí)際加工情況，進(jìn)行相應(yīng)的圓整處理，最終得到參數(shù)取值為：1＝35 mm，1＝23 mm，2＝26 mm，1＝22，＝2.5。

4.2 強(qiáng)度校核

利用SolidWorks進(jìn)行三維建模，然后導(dǎo)入ANSYS進(jìn)行有限元分析，以驗(yàn)證由該方法優(yōu)化計(jì)算得出的齒輪在使用強(qiáng)度上是否滿足實(shí)際需求。首先用網(wǎng)格劃分單元對(duì)模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分出輪齒嚙合單元、輪轂受力單元和腹板部位單元，劃分后的模型如圖3所示，并對(duì)輪齒接觸部分做網(wǎng)格細(xì)分，以增加輪齒接觸部分有限元分析精度和準(zhǔn)確度，如圖4所示。

圖3 齒輪嚙合網(wǎng)格劃分

圖4 輪齒接觸部位網(wǎng)格劃分

根據(jù)設(shè)計(jì)初始條件及齒輪參數(shù)、計(jì)算載荷加載進(jìn)行有限元分析，得出齒輪接觸部位和大齒輪輪轂處兩個(gè)敏感部位受力如圖5、圖6所示，以及齒輪嚙合傳動(dòng)過(guò)程變形和輪齒處變形如圖7、圖8所示。

由ANSYS分析結(jié)果可知，由該目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行遺傳算法迭代優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算得出的齒輪能夠滿足承載量需求，且在重載情況下的變形量在可接受范圍內(nèi)，因此該齒輪滿足使用需求。

圖5 輪齒接觸部位von Mises stress

圖6 大齒輪輪轂處受力分析

圖8 輪齒接觸部位變形

5 結(jié)論

本文總結(jié)前人進(jìn)行計(jì)算機(jī)齒輪優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算實(shí)例，針對(duì)傳統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)建立過(guò)程中由近似模型替代齒輪物理模型的不足，提出一種建立高保真度目標(biāo)函數(shù)的方法。通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的改進(jìn)，使得目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型貼近于實(shí)際齒輪嚙合傳動(dòng)物理模型，結(jié)合計(jì)算機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算迭代尋優(yōu)的特性，這一方案的優(yōu)勢(shì)得以發(fā)揮。

對(duì)比兩個(gè)優(yōu)化結(jié)論數(shù)據(jù)可知，本文通過(guò)改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)，即提高目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于齒輪嚙合傳動(dòng)物理模型的保真度，在遺傳算法優(yōu)勝劣汰的角逐方式下，影響迭代過(guò)程中每一個(gè)子代的選擇，最終得出最優(yōu)解的設(shè)計(jì)參數(shù)組合。試驗(yàn)證明，改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)對(duì)于迭代尋優(yōu)的影響是存在且明顯的，目標(biāo)函數(shù)對(duì)于物理模型的保真度能夠影響全局尋優(yōu)的準(zhǔn)確性。由實(shí)例驗(yàn)證，相同初始設(shè)計(jì)參數(shù)，在滿足約束條件和使用條件下，重量相比傳統(tǒng)優(yōu)化計(jì)算數(shù)據(jù)減輕約11.67%。通過(guò)利用遺傳算法對(duì)齒輪嚙合傳動(dòng)重量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)可知，遺傳算法能夠很好地應(yīng)用于多參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題上，找尋全局最優(yōu)解。但在使用過(guò)程中，最優(yōu)解的準(zhǔn)確度也受目標(biāo)函數(shù)數(shù)學(xué)模型保真度的影響，因此應(yīng)注意使用精確的數(shù)學(xué)模型以提高遺傳算法結(jié)論的準(zhǔn)確性。

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Optimal Design of Spur Gear Based on High Fidelity Objective Function

SHENG Wenda，LI Xianpei，LIN Tao，REN Yiqing，ZHANG Wei，SUN Meng

( School of Construction Machinery, Chang'an University, Xi'an710048, China )

When domestic and foreign scholars use genetic algorithm to optimize the design and calculation of spur gear, the approximate model is usually used to replace the gear model to establish the objective function, and after several iterative calculations, the error is magnified, which affects the accuracy of global optimization. Therefore, a mathematical model of high fidelity objective function is proposed in this paper to ensure the accuracy of the global optimization of genetic algorithm. When establishing the mathematical model of objective function, on the basis of the traditional practice that only the web, weight loss hole and shaft mass are concerned, factors such as the difference of tooth width of big and small gears in gear transmission, the length of gear shaft, top clearance and keyway are added into the model. Parameters such as tooth tip height, tooth root height, length and width of keyway and correction coefficient are introduced to construct the high fidelity objective function. With the same initial design parameters and design material data, compared with the traditional optimization design, the optimization conclusion obtained by using the high-fidelity objective function proposed in this paper for genetic algorithm optimization calculation reduces the weight by 11.67%, and the ANSYS analysis and verification shows that the model of the optimization design meets the design requirements.

high fidelity；optimization design；spur gear；objective function

TH132.417

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2022.03.008

1006-0316 (2022) 03-0046-07

2021-10-29

盛文達(dá)（1995－），男，安徽阜陽(yáng)人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)電液一體化、機(jī)械傳動(dòng)控制，E-mail：arlenlxp@163.com。