一類擴(kuò)張無限維李代數(shù)的子代數(shù)

余德民， 柴嘉潞， 李 笛

(湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 湖南 岳陽(yáng) 414000)

[Fi，F(xiàn)j]=(j-i)Fi+j(?i，j∈)．

本文研究擴(kuò)張李代數(shù)Schrodinger-Virasoro.這類李代數(shù)是Virasoro李代數(shù)的推廣.Virasoro是以阿根廷物理學(xué)家Virasoro的名字命名的一類重要的無限維李代數(shù)，Virasoro李代數(shù)在數(shù)學(xué)和理論物理中尤其是共形理論和弦論方面有非常重要的應(yīng)用．

此運(yùn)算在基向量上雙線性擴(kuò)張，并滿足反對(duì)稱性和Jacobi不等式，稱g為擴(kuò)張李代數(shù)Schrodinger-virasoro.文獻(xiàn)[1]研究了Schrodinger-Virasoro擴(kuò)張李代數(shù)的結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[2]研究了Schrodinger-Virasoro的表示.文獻(xiàn)[3-7]研究了Virasoro李代數(shù)及其推廣的Virasoro李代數(shù)，文獻(xiàn)[8-15]研究了推廣的Virasoro李代數(shù)的結(jié)構(gòu)分類、導(dǎo)子、自同構(gòu)和最高權(quán)模，以及相關(guān)問題.本文研究了這類李代數(shù)的子代數(shù)、同構(gòu)．

1 主要結(jié)果及證明

定義1設(shè)由Li(?i∈)張成的子空間為g1．

定理1g1是g的無限維非交換李代數(shù)．

證明?i，j∈，可驗(yàn)證

[Li，Lj]=(j-i)Li+j，

從而，g1是g的子代數(shù)，g1也是g的無限維非交換子代數(shù)．

定理2g1是g的半單李子代數(shù)．

證明由于?i∈Ζ，?j∈Ζ，Li∈g1，Lj∈g1，

[Li，Lj]=(j-i)Li+j，

g1無二維交換李子代數(shù)，反證假設(shè)h為g1代數(shù)的二維交換子代數(shù)，設(shè)x，y為h的基，則x≠0，y≠0，設(shè)

x=k-mLm+k-m+1L-m+1+…+k-1L-1+k0L0+

k1L1+…+kn-1Ln-1+knLn，

y=l-mLm+l-m+1L-m+1+…+l-1L-1+l0L0+

l1L1+…+ln-1Ln-1+lnLn，

觀察矩陣：

(kn，ln不全為零)，

因?yàn)閔為交換子代數(shù)，所以

[x，y]=0.

(1)

仔細(xì)觀察系數(shù)矩陣，(1)式左邊經(jīng)過具體計(jì)算之后可知L2n-1系數(shù)為

同理觀察L2n-2的系數(shù)

利用行列式有關(guān)知識(shí)，由于kn，ln不全為0，

同理觀察L2n-2的系數(shù)

利用行列式有關(guān)知識(shí)，由于kn，ln不全為零，

從而

于是L2n-3的系數(shù)

根據(jù)上式，有

又考慮L2n-4系數(shù)

利用前述結(jié)論有

從前述有

從而有

從前面有

于是有

又考慮L2n-5的系數(shù)

利用前面結(jié)論有

從而

i1

φ1在g1的基向量Li上線性擴(kuò)張．

φ1([Li，Lj])=[φ1(Li)，φ1(Lj)](?i，j∈)，

從同構(gòu)的意義上說，無中心的Virasoro李代數(shù)是無限維李代數(shù)Schrodinger-Virasoro的子代數(shù)，也可以說無限維李代數(shù)Schrodinger-Virasoro的子代數(shù)是無中心的Virasoro李代數(shù)的推廣．

定義2設(shè)由Mi(?i∈)張成的子空間為g2．

定理4李代數(shù)g不是單李代數(shù)，也不是半單李代數(shù)．

證明先證明g2是g的無限維交換子代數(shù)，并且g2是李代數(shù)g的交換理想.?i，j∈，由于[Mi，Mj]=0，從而，g2是g的無限維交換子代數(shù)，?m，n∈，由于

[Lm，Mn]=nMn+m，[Mm，Mn]=0，

從而g2是李代數(shù)g的交換理想，故原命題成立．

構(gòu)造g到g映射如下：

φ2：g→g，φ2(Li)=10iLi，

φ2(Ni)=10iNi，φ2(Mi)=10iMi，

定理5φ2是g到g的同構(gòu)．

證明從構(gòu)造知φ2是g到g同構(gòu)的線性映射，且既是單射.可驗(yàn)證?i，j，n，m∈，

從而對(duì)?u，v∈g，φ2([u，v])=[φ2(u)，φ2(v)]，于是φ2是g到g的同構(gòu)．

定理6g3是g的無限維非交換子代數(shù)，且g3是g理想．

證明?m，n∈，可驗(yàn)證

[Lm，Nn]=nNn+m，[Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而，g3是g的無限維非交換子代數(shù)，且g3是g理想．

定義4設(shè)由Ni，Li(?i∈)張成的子空間為g4．

定理7g4是g的無限維非交換子代數(shù)，且g4不是g理想．

證明?m，n∈，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Nn]=nNn+m，[Nm，Nn]=0.

從而，g4是g的子代數(shù)，g4也是g的無限維非交換子代數(shù)，且

于是g4不是g理想．

定義5設(shè)由

j∈，?m>0，m∈，?n>0，n∈)

張成的子空間為g+.

定理8g+是g的無限維非交換子代數(shù)．

證明?m>0，m∈，?n>0，n∈，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Mn]=nMn+m，[Mm，Mn]=0.

[Lm，Nn]=nNn+m，[Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g+是g的無限維非交換子代數(shù)．

定義6設(shè)由

j∈，?m≥0，m∈，?n≥0，n∈)

張成的子空間為g0+．

定理9g0+是g的無限維非交換子代數(shù)．

證明?m≥0，n≥0，m，n∈，可驗(yàn)證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Mn]=nMn+m，[Mm，Mn]=0.

[Lm，Nn]=nNn+m，[Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g0+是g的無限維非交換子代數(shù).顯然，g+?g0+?g．

定理10g+是g0+的無限維非交換子代數(shù)，g+是g0+理想．

證明由于g+是g的無限維非交換子代數(shù)，當(dāng)然g+是g0+的無限維非交換子代數(shù).?m>0，n>0，m，n∈，可驗(yàn)證

[Lm，L0]=-mLm，[L0，Mn]=nMn，

[Lm，M0]=0，[Mm，M0]=0，

[Lm，N0]=0，[Mm，N0]=-2Mm，

從而g+是g0+理想．