從表象思維、具象思維到抽象思維的跨越

曹麗麗

[摘 要]“表面涂色的正方體”屬于數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課以學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)為背景，以現(xiàn)實(shí)問題為載體，讓學(xué)生動手實(shí)踐、自主探究，從而發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)展自身的表象、具象和抽象思維能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]表象思維;具象思維;抽象思維;表面涂色;正方體

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0072-03

鐘啟泉教授認(rèn)為，教育的本質(zhì)在于人的成長，成長的主旨是更為優(yōu)質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)的重建?！氨砻嫱可恼襟w”屬于數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐的教學(xué)內(nèi)容。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課以學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)為背景，以現(xiàn)實(shí)問題為載體，讓學(xué)生動手實(shí)踐、自主探究，從而發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)展自身的表象、具象和抽象思維能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

課程標(biāo)準(zhǔn)增設(shè)了“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”的內(nèi)容。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以現(xiàn)實(shí)問題為載體和背景，在原有的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，以自主探究為基本形式，去發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力和解題能力的課程。這種課程的內(nèi)容和形式是數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)突破點(diǎn)，也是一個(gè)亮點(diǎn)，同時(shí)也給教師提出了一個(gè)可研究的課題。筆者以蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級上冊第一單元“表面涂色的正方體”教學(xué)為例，淺談如何讓學(xué)生的思維從表象到具象再到抽象。

一、從生活情境出發(fā)，幫助學(xué)生建立表象思維

表象是經(jīng)過感知的客觀事物在頭腦中再現(xiàn)的形象。表象不僅僅是一種映象，還是一種操作，心理操作以表象的形式進(jìn)行，即表象思維。從信息加工的角度來講，表象是當(dāng)前不存在的物體或事件的一種知識表征，這種表征具有鮮明的形象性。小學(xué)生的表象思維從建立具體直觀的形象開始，所以筆者在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用“給面包涂番茄醬”的具體情境，初步建立涂色正方體的生活表象。

【鏡頭1：想吃涂上更多番茄醬的面包】

師：同學(xué)們，你們喜歡吃面包嗎？周末，我在家做了一個(gè)面包（出示圖片），為了增加它的口感，我在它的表面涂了一層番茄醬，然后切成小塊（課件演示）。我特別喜歡吃番茄醬，你們建議我選擇哪塊面包呢？

（在一塊面包表面涂上番茄醬，把學(xué)生引入生活情境，激起他們的已有經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生借助情境很快找到了自我學(xué)習(xí)的“舒適區(qū)”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)涂上番茄醬的面包被切成小塊后，每小塊面包表面涂到番茄醬的情況是不一樣的：有的涂到了，有的沒有涂到;有的雖然涂到了，但是涂到的番茄醬的量不同）

師：究竟哪些面包塊涂到的番茄醬多？哪些面包塊涂到的番茄醬少呢？讓我們一起帶著這個(gè)問題開啟今天的學(xué)習(xí)之旅吧?。ò鍟罕砻嫱可恼襟w）

【分析】

學(xué)生對在面包表面涂番茄醬這個(gè)舉動有切身體會，能直觀感受到這個(gè)現(xiàn)實(shí)情境，迫切想解決這一重要問題，對本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)興趣和探究熱情一下子被點(diǎn)燃。這說明從學(xué)生熟悉的生活問題出發(fā)，從直觀情境入手，能讓學(xué)生形成豐富的表象經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。表象思維是創(chuàng)造性思維的起點(diǎn)，表象思維的形成取決于右腦的開發(fā)。用給面包表面涂上番茄醬，再切成面包小塊這一連續(xù)性動作，幫助學(xué)生從整體上把握事件發(fā)生的順序，促進(jìn)右腦表象思維能力的發(fā)展。

二、用實(shí)踐操作探究，幫助學(xué)生建立具象思維

具象思維指具體形象思維，是人們在思維過程中自覺或不自覺地使用著的某種思想方法。劉天君教授認(rèn)為，具象思維是個(gè)體對其意識中的物象資料進(jìn)行有目的的加工（構(gòu)建、運(yùn)演、判別）的操作活動。具象思維具有科學(xué)性、具象性、創(chuàng)造性和完整性等特點(diǎn)。筆者設(shè)計(jì)了“拆一拆”“合一合”“看一看”三個(gè)環(huán)節(jié)幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，讓他們從表象思維走向具象思維。弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該讓兒童玩直觀的教學(xué)材料，他們喜歡玩多久就讓他們玩多久，只要能熟練地掌握，材料越復(fù)雜，他們獲得的知識就越多。

【鏡頭2：拆一拆，將表面涂色的情況分類】

1.動畫演示。筆者出示一個(gè)正方體木塊圖片，動畫演示給它的表面涂上紅色，并將每條棱三等分切開。讓學(xué)生觀察、思考：這個(gè)正方體發(fā)生了怎樣的變化？

2.提供學(xué)具。筆者為每個(gè)小組準(zhǔn)備了一個(gè)特殊的魔方，它的六個(gè)面被涂上了紅色，每條棱被三等分，可以合并在一起，也可以全部拆分開。

3.操作實(shí)踐。筆者讓學(xué)生探究這個(gè)魔方一共可以分成多少個(gè)小正方體？每個(gè)小正方體的6個(gè)面會不會都被涂上紅色？如果不是，每個(gè)小正方體的表面有幾個(gè)面涂有紅色？

4.小組討論。筆者讓學(xué)生在小組內(nèi)試著操作拆分魔方，邊拆邊觀察思考，再交流討論上面提出的問題。之后請學(xué)生上臺匯報(bào)，邊匯報(bào)邊演示課件。

【分析】

學(xué)生把魔方全部拆分開，很快發(fā)現(xiàn)，一共可以分成3×3×3=27（個(gè)）小正方體，有些小正方體的3個(gè)面涂有紅色，有些小正方體的2個(gè)面涂有紅色，有些小正方體的1個(gè)面涂有紅色，還有的小正方體的表面沒有涂色，情況一共可以分為四類。

【鏡頭3：合一合，探究涂色的小正方體的位置】

1.問題引領(lǐng)。這個(gè)神奇的魔方既可以拆分，也可以合起來。筆者請學(xué)生將它還原成原來的樣子，在合并的過程中觀察、思考：3面涂色、2面涂色、1面涂色和0面涂色的小正方體應(yīng)該在大正方體的什么位置？

2.操作實(shí)踐。學(xué)生小組合作，將這27個(gè)小正方體還原成魔方。

3.展示交流。學(xué)生上臺展示成果，筆者板書：頂點(diǎn)處、棱的中間、面的中間、中心。

【分析】

探索3面、2面、1面涂色的小正方體的位置并不難，這一活動主要讓學(xué)生自己借助學(xué)具仔細(xì)觀察，為后面?zhèn)€數(shù)的探索做好準(zhǔn)備。學(xué)生在動手操作的過程中感悟到：可以從中心沒有涂色的小正方體開始思考，也可以從一條棱開始合并，還可以一個(gè)面一個(gè)面還原，方法多樣，思路巧妙。學(xué)生一邊動手實(shí)踐，一邊觀察各小正方體的位置，逐步體悟這27個(gè)小正方體的分類以及幾面涂色與位置的關(guān)系。讓學(xué)生明確3面涂色的小正方體在大正方體的頂點(diǎn)處，2面涂色的小正方體在大正方體每條棱的中間，1面涂色的小正方體在大正方體每個(gè)面的中間，0面涂色的小正方體在大正方體的中心，此過程能幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展具象思維。

【鏡頭4：看一看，找涂色的小正方體的特征】

1.思考特征。通過剛才“拆”“合”的過程，請學(xué)生思考：涂色的小正方體的個(gè)數(shù)和位置有什么特征？

2.小組討論。學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論交流。

3.全班反饋。大正方體的棱平均分成3份，分成的小正方體的總個(gè)數(shù)為33=27（個(gè)），其中有3面涂色的小正方體有8個(gè)，有2面涂色的小正方體有1×12=12（個(gè)），有1面涂色的小正方體有1×6=6（個(gè)），0面涂色的小正方體有1個(gè)。

【分析】

學(xué)生喜愛動手實(shí)踐，在動手實(shí)踐之后有了具體數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，他們積極參與，發(fā)現(xiàn)不同涂色面小正方體的個(gè)數(shù)與它所在的大正方體位置有關(guān)。根據(jù)小正方體在大正方體中所處的位置，學(xué)生算出有3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)。學(xué)生的思維建立在表象之上，聽到了思維“拔節(jié)”的聲音。

三、以豐富的聯(lián)想推理，幫助學(xué)生建立抽象思維

抽象思維是在概念中反映事物的本質(zhì)。它在對事物進(jìn)行分析、綜合、比較的基礎(chǔ)上，抽取出事物的本質(zhì)屬性，使人對事物的認(rèn)識從感性的具象過渡到抽象。弗賴登塔爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法之一是實(shí)行“再創(chuàng)造”。教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生在“試一試”“舉一舉”“說一說”中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建構(gòu)初步的抽象思維。

【鏡頭5：探究涂色小正方體的規(guī)律】

1.試一試。請學(xué)生試一試能否解決更多的表面涂色的正方體問題。把一個(gè)正方體的每條棱平均分成4份、5份……再切成同樣大的小正方體，這些小正方體的數(shù)量和涂色面的情況如何？展開聯(lián)想，進(jìn)行分析，填寫表格。若填寫表格的過程中遇到困難，可與同學(xué)交流、觀察模型或課件演示。

2.舉一舉。自己試舉一例，填寫表格。

3.說一說。每位學(xué)生說自己發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，總結(jié)表面涂色小正方體的規(guī)律。

[大正方體的棱平均分的份數(shù) 3 4 5 … n 分成的小正方體的總個(gè)數(shù) 27 64 125 … n3 3面涂色的小正方體個(gè)數(shù) 8 8 8 … 8 2面涂色的小正方體個(gè)數(shù) 12 24 36 … 12（n-2） 1面涂色的小正方體個(gè)數(shù) 6 24 54 … 6（n-2）2 0面涂色的小正方體個(gè)數(shù) 1 8 27 … （n-2）3 ]

【分析】

學(xué)生從三等分棱長的情況出發(fā)，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，從做到看，從看到數(shù)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)四等分、五等分棱長后小正方體涂色的個(gè)數(shù)，再自己舉例，又從數(shù)到算，進(jìn)而找出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)與頂點(diǎn)、棱長平均分的份數(shù)、面數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)表面涂色小正方體的規(guī)律。

【鏡頭6：玩轉(zhuǎn)魔方，課后延展新知】

魔方也是一種表面涂色的正方體，玩轉(zhuǎn)魔方需要熟練掌握表面涂色的正方體中隱藏的規(guī)律，課后全班舉行一場“魔方大比拼”。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在我們的生活中隨處可見，讓我們一起走近生活，感受數(shù)學(xué)的神奇吧！

【分析】

學(xué)習(xí)不局限于課堂，也不局限于學(xué)習(xí)當(dāng)堂課的知識，應(yīng)該讓學(xué)生用課上學(xué)習(xí)到的方法來探索新知，用喜歡的方式來延續(xù)對學(xué)習(xí)的興趣，這樣可以使課堂教學(xué)有延展性，讓數(shù)學(xué)知識延伸到學(xué)生的日常生活中。

運(yùn)用數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課發(fā)展學(xué)生的思維能力，要實(shí)現(xiàn)從形象思維、具象思維到抽象思維三步跨越，具體表現(xiàn)有以下幾點(diǎn)。

第一，從現(xiàn)象到本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在關(guān)系?！氨砻嫱可恼襟w”是蘇教版教材六年級上冊第一單元“長方體和正方體”后的一節(jié)綜合實(shí)踐活動課。本課是建立在學(xué)生對長方體和正方體的知識有了全面的理解和掌握的基礎(chǔ)上的，筆者借助番茄醬涂面包的情境，讓學(xué)生動手實(shí)踐、觀察發(fā)現(xiàn)、自主探索、感知規(guī)律，將一個(gè)表面涂色的正方體的棱長三、四、五……等分后，算出3面、2面、1面、0面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系，并用字母和數(shù)字表示出相應(yīng)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和空間觀念。

第二，從特殊到一般，動手探索數(shù)學(xué)規(guī)律。對于六年級的學(xué)生來說，雖然他們已經(jīng)積累了一定的空間想象力和抽象思維能力，但是想象將一個(gè)表面涂色的正方體沿著棱等分，并算出各情況的小正方體的個(gè)數(shù)，算出3面、2面、1面和0面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)還是有一定難度的。教學(xué)中，筆者以將棱長三等分后表面涂色的正方體為例，學(xué)生通過對魔方的觀察和“分合”的操作，很快發(fā)現(xiàn)拆分后的小正方體分別有3面、2面、1面、0面的涂色情況，再探究每個(gè)小正方體在大正方體中的位置，這符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，筆者放手讓學(xué)生分析將棱長四等分、五等分時(shí)的情況，并舉例試一試，讓學(xué)生感知到一般規(guī)律。將學(xué)生自主探索的內(nèi)容匯總到表格中，橫向、縱向比較發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)在的規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

第三，從實(shí)踐到理論，感悟數(shù)學(xué)思想。在學(xué)生思維生長的過程中，筆者設(shè)計(jì)了詳細(xì)的教學(xué)流程，“拆一拆”“合一合”“看一看”從實(shí)踐出發(fā)，是基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)，也是學(xué)生思維生長的“錨”?！霸囈辉嚒薄芭e一舉”“說一說”以表達(dá)為重，讓學(xué)生在交流中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，在歸納中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了知識的形成過程，再次回到問題的解決中去，會感受到數(shù)學(xué)規(guī)律的探索對解決實(shí)際問題的幫助，激發(fā)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。數(shù)學(xué)思想的發(fā)展是以活動為載體，在問題引領(lǐng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課還要體現(xiàn)出有趣、好玩的特點(diǎn)，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之趣，從而真正喜歡數(shù)學(xué)。課堂的最后，筆者再次將本節(jié)課內(nèi)容拓展到課外，讓學(xué)生走近生活，感受數(shù)學(xué)的神奇。

（責(zé)編 黃 露）