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    坐標(biāo)方法終有時(shí) 蝴蝶萬(wàn)態(tài)醉題中*
    ——從四個(gè)視角研究2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題

    2022-04-16 17:28:04四川省雙流中學(xué)曹軍才李莎莎耿曉琦
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
    關(guān)鍵詞:通法交點(diǎn)拋物線

    ?四川省雙流中學(xué) 曹軍才 李莎莎 耿曉琦

    解析幾何的基本研究方法就是坐標(biāo)法,即用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題.對(duì)一道具體題目的研究,需要思考如何用坐標(biāo)或方程表達(dá)點(diǎn)和線,即如何將幾何問(wèn)題代數(shù)化,實(shí)現(xiàn)“從幾何中來(lái)”;也需要研究題目背后隱藏的東西,即問(wèn)題本身或解決途徑可否類比、遷移,實(shí)現(xiàn)“到幾何中去”.賈德(Charles H.Judd)的一項(xiàng)早期實(shí)驗(yàn)表明:一切教育的目的都是在發(fā)展系統(tǒng)的思想,這種思想能從它被獲得的情境中遷移到別的情境中去[1].下面以2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題為例,從幾個(gè)視角談?wù)剰摹敖忸}”到“解決問(wèn)題”[2]的系統(tǒng)認(rèn)知.

    1 問(wèn)題再現(xiàn)

    (2022年全國(guó)高考數(shù)學(xué)甲卷理科第20題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

    (1)求C的方程;

    (2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

    2 問(wèn)題分析

    第(2)小題思維導(dǎo)圖如圖1.

    圖1

    思路1:以直線斜率為參數(shù),由線及點(diǎn).

    思路2:以點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù),由點(diǎn)及線.

    設(shè)出點(diǎn)M,N,A,B的坐標(biāo),由四點(diǎn)所滿足的直線方程MN,MA,NB,AB的統(tǒng)一結(jié)構(gòu),通過(guò)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)尋得坐標(biāo)積的定值關(guān)系,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩直線MN,AB斜率的關(guān)系.

    思路3:以角度為參數(shù),由角及形.

    已知條件中有直線傾斜角,因此可以寫出直線的參數(shù)方程并代入拋物線方程,借助參數(shù)t表達(dá)點(diǎn)、線.

    思路4:以直線系方程入手,由線及形.

    題目中有四條直線,其中MN過(guò)定點(diǎn)(1,0),MA,NB過(guò)定點(diǎn)(2,0),因此可以從過(guò)定點(diǎn)的直線系方程入手解答,優(yōu)化思路1的多次聯(lián)立直線與拋物線方程.

    思路5:以動(dòng)態(tài)圖形尋定點(diǎn),由靜制動(dòng).

    拋物線中有四邊形ABMN且其對(duì)角線的交點(diǎn)為定點(diǎn),圖形形似蝴蝶,聯(lián)想蝴蝶定理,借助幾何關(guān)系,猜證結(jié)合,輔助代數(shù)推理.

    思路6:以動(dòng)態(tài)圖形尋定線,由形釋數(shù).

    由蝴蝶圖形的對(duì)稱性,MB,NA在x軸上下方的對(duì)稱位置的交點(diǎn)縱坐標(biāo)互為相反數(shù)、橫坐標(biāo)相同,猜想直線MB,NA的交點(diǎn)軌跡是一條垂直于x軸的定直線.

    3 問(wèn)題解決

    圖2

    (一)視角一:通法.

    (2)通法1:如圖2,設(shè)直線MN:x=my+1.由(1)知,曲線C的方程為y2=4x.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4).

    所以y3=2y2.同理可得y4=2y1.

    又因?yàn)橹本€MN,AB的傾斜角分別為α,β,所以

    則Δ3>0,y3y4=-4n=4y1y2=-16,得n=4.

    另解(求直線AB方程):當(dāng)α-β最大時(shí),

    又因?yàn)閥3y4=4y1y2=-16,所以

    點(diǎn)評(píng):這是中學(xué)生熟悉的解析法——線參法,即含參直線和二次曲線相交,聯(lián)立方程,獲得關(guān)鍵方程,再用韋達(dá)定理獲得交點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,是通法.難點(diǎn)是如何尋求直線AB與MN的斜率關(guān)系,只能邊算邊看.此題坐標(biāo)法運(yùn)用自然,突出解析幾何的基本分析方法,摒棄了弦長(zhǎng)、范圍等套路問(wèn)題.

    通法2:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),則

    又因?yàn)橹本€MN過(guò)定點(diǎn)(1,0),所以y1y2=-4.

    同理,直線MA的方程為4x-(y1+y3)y+y1y3=0,直線NB的方程為4x-(y2+y4)y+y2y4=0.

    又因?yàn)橹本€MA,NB都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0),所以

    同理,直線AB的方程為4x-(y3+y4)y+y3y4=0.

    點(diǎn)評(píng):這也是中學(xué)生熟悉的解析法——點(diǎn)參法,即設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)在曲線上,則點(diǎn)的坐標(biāo)就滿足相應(yīng)曲線方程,進(jìn)而注意到拋物線中任意弦所在的直線方程具有對(duì)稱的統(tǒng)一結(jié)構(gòu).此法也是通法,較通法1更為簡(jiǎn)潔.

    t2sin2α-4tcosα-4=0.

    設(shè)M,N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則

    下同通法1.

    點(diǎn)評(píng):這也是中學(xué)生熟悉的解析法——角參法,即引入角作參數(shù),利用直線參數(shù)方程求解.

    下同通法1.

    點(diǎn)評(píng):借助過(guò)定點(diǎn)的直線系,獲得點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

    (二)視角二:溯源.

    圖3

    蝴蝶定理如圖3,設(shè)D為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作弦MA,NB,設(shè)MN,AB分別交弦PQ所在直線于點(diǎn)X,Y,則D是XY的中點(diǎn).

    注:① 點(diǎn)D在圓內(nèi)是不必要的,可以在圓外;

    ② 圓可以改為任意圓錐曲線.

    圖4

    解法5:如圖4,過(guò)點(diǎn)D作直線DQ垂直于x軸,交MN于點(diǎn)X,交AB于點(diǎn)Y,交拋物線于P,Q兩點(diǎn).因?yàn)閨PD|=|QD|,所以由蝴蝶定理可知|XD|=|YD|.

    設(shè)直線AB交x軸于點(diǎn)T,則

    下面證明直線AB過(guò)定點(diǎn)T.

    所以|DT|=4-2=2,從而tanα=2tanβ.

    下同通法1.

    點(diǎn)評(píng):蝴蝶翩翩,形態(tài)萬(wàn)千.借助蝴蝶定理猜想直線AB過(guò)定點(diǎn)T,進(jìn)而需要尋求y1y2與y3y4的關(guān)系.目標(biāo)明確,思路清晰.

    圖5

    解法6:如圖5,設(shè)直線MN與AB交于點(diǎn)Q(x,y).

    由通法2可知,直線MN的方程為

    4x-(y1+y2)y+y1y2=0①

    直線AB的方程為4x-(y3+y4)y+y3y4=0,即

    4x-2(y1+y2)y+4(y1y2)=0

    ①×2-②,得4x+2y1y2-4(y1y2)=0.

    所以4x=2y1y2=-8,即x=-2.

    故交點(diǎn)Q的軌跡是定直線x=-2.

    設(shè)此直線交x軸于點(diǎn)H,要使α-β最大,即使∠FQT最大.

    問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在定直線x=-2上取一點(diǎn)Q,使張角∠FQT最大.

    顯然,當(dāng)HQ與△FQT的外接圓相切于點(diǎn)Q時(shí),滿足條件.

    點(diǎn)評(píng):此法是該題的一種幾何解釋,轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題“張角∠FQT最大”即為米勒問(wèn)題(最大視角問(wèn)題).其實(shí),極點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于曲線y2=2px的極線就是y0y=p(x+x0),則極點(diǎn)D(2,0)關(guān)于曲線y2=4x的極線就是0·y=2(x+2),即定直線HQ:x=-2.

    (三)視角三:拓展.

    反思1:此題中F,D可定位于x軸上任意點(diǎn).當(dāng)然,F(xiàn),D也可定位于形內(nèi)其他位置.

    變式設(shè)M,N,A,B為拋物線y2=2px(p>0)上任意四點(diǎn),MN,AB交x軸于F,T,MA,BN交于點(diǎn)D.設(shè)F(a,0),D(b,0),MN,AB的傾斜角分別為α,β,當(dāng)α-β取最大值時(shí),求直線AB的方程.

    解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),直線MN的方程為x=my+a.

    y1+y2=2pm,y1y2=-2pa

    所以y1y3=-2pb.同理,可得y2y4=-2pb.

    點(diǎn)評(píng):點(diǎn)F,D確定,直線AB過(guò)定點(diǎn)是蝴蝶定理蘊(yùn)含的一個(gè)結(jié)論.令p=2,a=1,b=2,即為原題及其解答.

    (四)視角四:推廣.

    反思2:原題可以推廣至橢圓中.當(dāng)然,也可以推廣到其他圓錐曲線中.

    (1)求橢圓E的方程;

    圖6

    分析:本題第(1)問(wèn)過(guò)程略,第(2)問(wèn)有如下3種解法.

    解法1:不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,如圖6.

    (3m2+4)y2+6my-9=0.

    所以

    圖7

    因?yàn)镸O//XF,所以

    又FY//ON,所以

    圖8

    點(diǎn)評(píng):此題中蝴蝶定理的運(yùn)用盡顯其優(yōu)越性,解法2,3較解法1,運(yùn)算簡(jiǎn)潔,近乎秒殺!

    對(duì)試題的研究,貴在遷移,形成知識(shí)鏈,進(jìn)入命題意境.從通法角度研究各種解法固然重要,此為“境”;但若能從溯源題目出處、拓展題目結(jié)論、推廣題目類型等視角,揣測(cè)命題者想法,更能從一定高度審視題目,此為“意”.身在高考試題的“境”中,達(dá)其“蝴蝶定理”之“意”,悟數(shù)學(xué)之美妙,通數(shù)學(xué)之本真.

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