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    應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)實(shí)踐

    2022-04-16 14:51:20北京市第二十中學(xué)張程艷
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年13期
    關(guān)鍵詞:定點(diǎn)結(jié)論直線

    ?北京市第二十中學(xué) 張程艷

    1 問題背景

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》中指出,“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問題,開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”,數(shù)學(xué)探究活動(dòng)“不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)技能,更能幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和實(shí)踐,是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效載體”[1].在“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代,信息技術(shù)成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的重要輔助手段,為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了豐富的資源.借助信息技術(shù)可以“更形象直觀地顯示概念的本質(zhì)屬性和特征”,“揭示數(shù)學(xué)變化規(guī)律,進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),猜想命題結(jié)論”,“探尋解決問題的途徑”等等[2].可以說,信息技術(shù)的引入改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生可以更主動(dòng)、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).因此,教師要注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),在落實(shí)“四基”“四能”的同時(shí),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

    在眾多數(shù)學(xué)軟件中,GeoGebra作為集代數(shù)、幾何、數(shù)據(jù)表和概率統(tǒng)計(jì)等功能于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,以其開源免費(fèi)、功能強(qiáng)大、易于上手等優(yōu)越性成為眾多教師輔助教學(xué)的有力工具[3].應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),可以使抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題“可視化”,能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望,使學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐,親身體驗(yàn)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.本研究以解析幾何中的定點(diǎn)問題作為切入點(diǎn),學(xué)生通過操作GeoGebra軟件,在理解基本知識(shí)、掌握基本方法的基礎(chǔ)上,充分經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程,積累自主探索研究數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn),實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)階發(fā)展.

    2 案例分析

    2.1教學(xué)內(nèi)容分析

    在解析幾何單元中,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)研究內(nèi)容之一,對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力等都有較高要求,突出數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.其中,解析幾何中的定點(diǎn)問題使學(xué)生在化“動(dòng)”為“定”的過程中,體會(huì)“變”與“不變”的關(guān)聯(lián)、“幾何”與“代數(shù)”的完美融合,使學(xué)生在掌握基本解題策略的同時(shí),挖掘問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律,發(fā)展從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題及解決問題的能力.

    2.2 學(xué)情分析

    從學(xué)生的知識(shí)層面來看,在解析幾何定點(diǎn)問題的第一課時(shí)中,學(xué)生通過對引例的分析,已經(jīng)基本掌握了定點(diǎn)問題的解決策略.本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上設(shè)置數(shù)學(xué)探究活動(dòng),深入研究引例背后所蘊(yùn)含的一般性規(guī)律.從學(xué)生的發(fā)展需求來看,學(xué)生更希望跳出解題的層面,探究問題的本質(zhì),在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上,自主提出問題,提升自身的實(shí)踐創(chuàng)新能力.從學(xué)生的認(rèn)知障礙來看,學(xué)生即使知道可以通過改變某一變量去研究定點(diǎn)位置的變化,也很難單純通過紙筆運(yùn)算發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化背后呈現(xiàn)的規(guī)律.

    因此,基于以上教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情的分析,本節(jié)課借助GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),大大降低探索過程的難度,使抽象的數(shù)學(xué)問題更加形象直觀,讓學(xué)生充分經(jīng)歷猜想、實(shí)驗(yàn)、探究、交流、反思的過程.

    2.3 學(xué)習(xí)目標(biāo)

    (1)借助GeoGebra軟件自主探究定點(diǎn)問題,透過現(xiàn)象看本質(zhì),嘗試根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律提出新的數(shù)學(xué)問題,提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力.

    (2)在實(shí)驗(yàn)操作的過程中,體會(huì)從特殊到一般研究問題的方法,積累進(jìn)行科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn);在自主探究、同伴互助的過程中,發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力,提高實(shí)踐創(chuàng)新能力,提升團(tuán)隊(duì)合作意識(shí).

    2.4 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)

    重點(diǎn):借助GeoGebra揭示解析幾何定點(diǎn)問題背后蘊(yùn)含的一般性規(guī)律.

    難點(diǎn):能夠根據(jù)規(guī)律提出新的數(shù)學(xué)問題.

    2.5 教學(xué)過程

    環(huán)節(jié)一:問題初探,設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn).

    師:上節(jié)課同學(xué)們已經(jīng)嚴(yán)格證明了直線MN過定點(diǎn)D(1,0),請大家思考,引例中哪些要素的改變會(huì)對定點(diǎn)D的位置產(chǎn)生影響呢?

    學(xué)生思考片刻,提出猜想,認(rèn)為改變動(dòng)點(diǎn)P所在的直線,或者改變橢圓的特征量a和b,或者改變點(diǎn)A,B在橢圓上的位置都會(huì)對點(diǎn)D的位置產(chǎn)生影響.

    師:請同學(xué)們成立實(shí)驗(yàn)小組,設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,借助GeoGebra軟件,嘗試探索規(guī)律,并填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告.

    設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究之前先分析成因,大膽猜想,明確實(shí)驗(yàn)方案,為后續(xù)進(jìn)行自主探究做好合理規(guī)劃,同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺.

    環(huán)節(jié)二:實(shí)驗(yàn)探究,發(fā)現(xiàn)問題.

    在這個(gè)環(huán)節(jié)中,學(xué)生成立實(shí)驗(yàn)小組,分工協(xié)作,通過操作GeoGebra嘗試發(fā)現(xiàn)問題背后蘊(yùn)含的一般性規(guī)律,并作成果匯報(bào).

    (1)動(dòng)點(diǎn)P所在的直線影響直線MN所過的定點(diǎn).

    通過在水平方向上拖動(dòng)點(diǎn)P所在的直線(如圖1,圖2),使直線與橢圓相離、相切、相交,學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D的位置隨著直線方程的改變而改變,但只要點(diǎn)P所在的直線方程確定,直線MN就恒過某一個(gè)定點(diǎn).學(xué)生進(jìn)一步探究點(diǎn)P所在直線方程x=t與定點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系,通過記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)關(guān)系,得出如下的數(shù)學(xué)結(jié)論:

    圖1

    圖2

    (2)橢圓的特征量影響直線所過定點(diǎn).

    ①通過拖動(dòng)滑動(dòng)條改變短軸的長度(如圖3,圖4),學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線MN始終過定點(diǎn)D(1,0),從而得到結(jié)論:橢圓的特征量b不影響直線MN所過的定點(diǎn).

    圖3

    圖4

    ②通過拖動(dòng)滑動(dòng)條改變長軸的長度(如圖5,圖6),學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線MN所過定點(diǎn)隨著特征量a的改變而改變,但只要將特征量a確定下來,直線MN就會(huì)經(jīng)過某一個(gè)定點(diǎn).學(xué)生進(jìn)一步探究特征量a與定點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系,通過記錄數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)關(guān)系,得到如下結(jié)論:

    圖5

    圖6

    綜合上述兩組實(shí)驗(yàn),學(xué)生最終能夠提煉出下述數(shù)學(xué)結(jié)論:

    (3)點(diǎn)A,B在橢圓上的位置影響直線所過定點(diǎn).

    學(xué)生通過改變點(diǎn)A,B在橢圓上的位置,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A,B位置的改變會(huì)影響直線MN所過定點(diǎn),然而暫時(shí)沒能得到類似上述“完美”的結(jié)論.不過這個(gè)探索過程對學(xué)生來說非常寶貴,學(xué)生在“試誤”的過程中,不斷修正自己的想法,有利于鍛煉數(shù)學(xué)思維,有利于形成積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度,可以初步感受自主學(xué)習(xí)和開展研究的一般方法,為形成終身學(xué)習(xí)的習(xí)慣奠定基礎(chǔ).

    設(shè)計(jì)意圖:本環(huán)節(jié)學(xué)生借助GeoGebra進(jìn)行“可視化”實(shí)驗(yàn)探究,讓靜態(tài)數(shù)學(xué)“活”起來,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.學(xué)生通過操作軟件觀察問題背后呈現(xiàn)的規(guī)律,大膽猜想數(shù)學(xué)結(jié)論,進(jìn)行合情推理,經(jīng)歷由特殊到一般發(fā)現(xiàn)問題的過程.整個(gè)探究活動(dòng)以自主思考和同伴互助的形式展開,既有獨(dú)立學(xué)習(xí)的過程,又有群體學(xué)習(xí)的過程,既培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識(shí),也培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí).本環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性、實(shí)踐性,學(xué)生在具體的情境中思考、探索,積累科學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn).

    環(huán)節(jié)三:發(fā)散思維,提出問題.

    思考:根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,你能嘗試從其他角度提出新的解析幾何問題嗎?

    在本環(huán)節(jié)中,學(xué)生根據(jù)探索發(fā)現(xiàn)結(jié)論,小組合作探討,設(shè)計(jì)出了很多精彩的問題,現(xiàn)舉例如下:

    設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)探究得到結(jié)論“xDxP=a2”,自然地由定點(diǎn)問題生成定值問題.本環(huán)節(jié)旨在給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì),站在命題人的角度設(shè)計(jì)新的問題,培養(yǎng)從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.在提出問題的過程中,培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力和創(chuàng)新精神,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

    環(huán)節(jié)四:課堂小結(jié),拓展提升.

    小結(jié):請談?wù)勗诒敬翁骄炕顒?dòng)中你的收獲有哪些?還有哪些困惑?

    思考:(1)請?jiān)谏鲜鲈O(shè)計(jì)的問題中自主選擇1~2個(gè)進(jìn)行嚴(yán)格代數(shù)推理;

    (2)如果將引例中點(diǎn)P所在的直線x=4換成y=4或者更一般的直線y=kx+b,借助GeoGebra,你能得到類似上述的結(jié)論嗎?請自主設(shè)計(jì)方案,完成實(shí)驗(yàn)探究;

    (3)對于雙曲線、拋物線,你能得到類似的定點(diǎn)定值嗎?借助GeoGebra,自主設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,完成實(shí)驗(yàn)探究.

    設(shè)計(jì)意圖:總結(jié)本節(jié)課的實(shí)驗(yàn)過程,幫助學(xué)生積累研究數(shù)學(xué)問題的基本思路和方法,為后續(xù)自主探究奠定基礎(chǔ).

    3 結(jié)束語

    (1)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加生動(dòng)形象,使復(fù)雜問題“可視化”.例如,在函數(shù)專題利用GeoGebra探究三次函數(shù)的切線問題等;在立體幾何專題利用GeoGebra探究正方體的截面圖等;在解析幾何利用GeoGebra探究圓錐曲線中運(yùn)動(dòng)變化問題等;在概率統(tǒng)計(jì)專題利用GeoGebra進(jìn)行數(shù)據(jù)分析等.

    (2)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),有助于活躍課堂氛圍,提高學(xué)生參與課堂的積極性,構(gòu)建以學(xué)生為主體的深度學(xué)習(xí)環(huán)境.學(xué)生可以經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程,訓(xùn)練思維的深度和廣度,培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和能力.同時(shí),可以縮短學(xué)生自主探究的時(shí)間,降低探究難度,切實(shí)提高自主學(xué)習(xí)能力和效果.

    (3)應(yīng)用GeoGebra開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),從教師的層面要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境,引導(dǎo)學(xué)生合理使用信息技術(shù),把握數(shù)學(xué)探究的自主度.如果教師給了學(xué)生探究的機(jī)會(huì),卻采取高度控制的方式,學(xué)生將只能做一些低級(jí)思維的操作性活動(dòng);而自主度適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)學(xué)生會(huì)更主動(dòng)地調(diào)動(dòng)頭腦中的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),建立知識(shí)間的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí),涵育核心素養(yǎng)[4].

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