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    “1”在數(shù)學(xué)解題中的妙用初探

    2022-04-16 14:51:20甘肅省天水市第九中學(xué)陶建宏
    中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年13期
    關(guān)鍵詞:分母對數(shù)最值

    ?甘肅省天水市第九中學(xué) 陶建宏

    1 引言

    在解答數(shù)學(xué)題目時,經(jīng)常會碰到一些覺得束手無策的情況,但通過仔細(xì)思考,不難發(fā)現(xiàn)題目中隱含的一個數(shù)“1”,若能發(fā)現(xiàn)這個數(shù),將會收到意想不到的效果,下面通過幾個題目加以說明.

    2 “1”的妙用

    2.1 “1”在求三角函數(shù)值問題中的運用

    例1已知tana=2求4sin2a-sinacosa-cos2a的值.

    分析:這個題目如果由tana=2出發(fā)去求sina和cosa的值,再代入所求式子方可求出,但是在求sina和cosa的值時要分第一和第三象限兩種情況進(jìn)行討論,并且在第一和第三象限sina和cosa的正負(fù)相同,在兩種情況下得到的答案相同,但作為一個解答題時必須分兩種情況進(jìn)行計算.可是如果我們再好好觀察不難發(fā)現(xiàn)所求式子的分母是經(jīng)常容易被人們忽視的“1”,而這里1=sin2a+cos2a再將分子分母分別除以cos2a,從而化為了正切的形式.

    詳解:4sin2a-sinacosa-cos2a

    注意:這里分母是“1”很少能引起人們的注意,以為沒有分母,而實質(zhì)分母是容易被人們忽視的“1”.在三角函數(shù)部分多用1=sin2a+cos2a.

    再比如,2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南省預(yù)賽(高二)中有這樣一道題目:已知7sinα+24cosα=25,則tanα=( ).

    分析:對于此題如果能求出sina和 cosa的值,再利用商數(shù)關(guān)系可以求出tana的值,但是這很難求解.若對原式兩邊平方,再注意到sin2a+cos2a=1,得

    (7sinα+24cosα)2=252×1=252[(sin2a+cos2a],展開整理得(24sinα-7cosα)2=0.

    通過這兩個題目讓學(xué)生在三角函數(shù)化簡求值中注意這個很重要的數(shù)字“1”以及1=sin2a+cos2a.

    2.2 “1”在指數(shù)、對數(shù)中的運用

    在數(shù)學(xué)解題中,若能根據(jù)題目特征巧妙地利用“1”作代換,常能出奇制勝,取得較好解題效果.比如在指數(shù)和對數(shù)中經(jīng)常會遇到一些有關(guān)“1”的問題.

    例2解方程4x-2=1.

    解析:因為a0=1(a≠0),所以4x-2=40,得x-2=0,即x=2.

    看起來這是一個簡單的指數(shù)方程問題,但如果不知道a0=1(a≠0)這個條件,就無法更簡單求解.

    例3解不等式lgx>1.

    解析:因為logaa=1(a>0且a≠1) 所以lg10=1.又根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,由lgx>lg10,得x>10.

    例4函數(shù)y=loga(x-4)的圖象恒過定點________.

    解析:因為對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象恒過點(1,0),由x-4=1,可得x=5.則函數(shù)y=loga(x-3)的圖象恒過定點(5,0).

    指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)恒過定點是考試??嫉囊粋€知識點,它都涉及常數(shù)“1”.

    通過這幾個題目可以看出在指數(shù)與對數(shù)中“1”顯得特別重要.要注意“1”這個特殊的數(shù)字,它的作用非常大,不能藐視.

    2.3 “1”在求多元函數(shù)最值問題中的運用

    分析:這個題目是求多元函數(shù)最值的一個常見題目,學(xué)生剛開始覺得不好做,但若能靈活運用已知條件中的“1”作適當(dāng)?shù)恼w代換,再利用均值不等式方可求解.

    3+2+2+2=9,

    當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=6,z=9時取得最小值9.

    此題如果不能注意到“1”乘任意一個數(shù)都得這個數(shù)的話,這個題目就無法更簡單求解.

    2.4 “1”在求多元條件下代數(shù)式的最值問題的運用

    例6已知x>0,y>0且x3+y3=2,試求x+y的最大值.

    所以x+y的最大值是2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時取到最大值2.

    2.5 “1”在求無理式的最值問題中的運用

    分析:解決這個題的關(guān)鍵是如何去掉根號,這樣才能利用x+y+z=1這個條件.在選修教材4-5中,學(xué)習(xí)了柯西不等式求最值,這個題就可以利用柯西不等式去求解.

    3 結(jié)束語

    通過以上五類問題的典型例題,在求代數(shù)式的值或最值時,如果注意到“1”這個特殊數(shù)字,巧妙地利用“1”作代換,往往可以幫助我們把一個復(fù)雜的題目簡單化,從而達(dá)到事半功倍的解題效果.這里僅列舉了有針對性的七道例題,以達(dá)到拋磚引玉的目的.而實質(zhì)上“1”這個簡單數(shù)字還有好多作用,這需要我們在平時的教學(xué)實踐中,做一個教與學(xué)的有心人,審題時要注意挖掘隱含條件,解題過程中要多做一些反思與總結(jié),通過總結(jié)去加深理解并學(xué)以致用,從而提高解題能力、發(fā)散思維能力和探究歸納的能力.

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