“一般觀念”指引下的立體幾何教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“直線與平面垂直的性質(zhì)”為例

?福建省福安市第一中學(xué) 阮金鋒

1 內(nèi)容解析

直線與平面垂直是直線與平面相交位置關(guān)系中的一種特殊情況,它是空間直線與直線位置關(guān)系的拓展,又是平面與平面垂直的基礎(chǔ).直線與平面垂直的性質(zhì)定理是直線與平面垂直的必要條件,就是在直線l與平面α垂直的條件下,直線l、平面α與空間中其他直線、平面的位置關(guān)系.一條直線垂直于一個平面的必要條件很多,直線與平面垂直的性質(zhì)定理解釋了空間中直線、平面的“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.

2 目標(biāo)解析

(1)能夠類比直線與平面平行性質(zhì)定理的學(xué)習(xí)過程,說出直線與平面垂直的性質(zhì),如何研究直線與平面垂直的性質(zhì)；

(2)會證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理,感悟“正難則反”的證明思路,感悟“平行”與“垂直”的相互轉(zhuǎn)化.

3 教學(xué)問題診斷分析

雖然學(xué)生有直線與平面垂直的生活經(jīng)驗(yàn)和感知,但他們把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識和能力還不強(qiáng).因此,在線面垂直的條件下,探究有什么結(jié)論,會遇到困難.對于直線與平面垂直性質(zhì)定理的證明,用反證法學(xué)生不易想到,怎么適當(dāng)引導(dǎo)也很重要.

4 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理.

教學(xué)難點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)定理的探究.

5 教學(xué)過程

5.1 回顧舊知,明確路徑

師：前面我們學(xué)習(xí)了3個判定、2個性質(zhì).線面平行的判定、性質(zhì),面面平行的判定、性質(zhì),線面垂直的判定,接下來該學(xué)習(xí)什么？

生：線面垂直的性質(zhì).

師：線面垂直的性質(zhì)該怎么研究,有怎樣的研究路徑？能否類比前面學(xué)習(xí)的兩個性質(zhì),找到研究路徑？讓我們先從直線與平面平行的性質(zhì)定理說起.回顧直線與平面平行的性質(zhì)定理,將下列表格(表1)補(bǔ)充完整,并思考性質(zhì)的研究路徑.

表1

師：直線與平面平行的性質(zhì)定理,研究的是在線面平行的條件下,能推出怎樣的結(jié)論.但僅有線面平行一個條件不夠,肯定要增加條件,引進(jìn)幾何量.增加怎樣的條件？引進(jìn)哪些幾何量？

生：直線與平面平行的性質(zhì)定理,在線面平行的條件下,引入幾何元素“線”，也可引入“面”.

師：你能舉個這樣的例子嗎？

師：類比前面探究思路,線面垂直的性質(zhì)該如何研究？研究路徑怎么確定？

生：線面垂直的性質(zhì),就是在線面垂直的條件下,探究有什么結(jié)論？為了得到結(jié)論,也是引入幾何元素(線或面).

師：你能舉個引入直線的例子嗎？

師：還能得到其他性質(zhì)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：以“一般觀念”引領(lǐng)教學(xué),明確線面平行性質(zhì)的研究路徑：在線面平行的條件下,探究有什么結(jié)論.通過類比,確定線面垂直性質(zhì)的具體研究路徑為：在線面垂直的條件下,引入幾何元素(線或面),探究有什么結(jié)論[1].這樣的研究路徑,形成學(xué)習(xí)的基本套路,將有助于面面垂直的性質(zhì)研究,真正提升數(shù)學(xué)研究水平,有利于后續(xù)的學(xué)習(xí).

5.2 操作探究,提出猜想

活動1：小組討論，根據(jù)線面垂直的研究路徑,在線面垂直的條件下,引入幾何元素(線、面),怎么探究線面垂直的性質(zhì)？你能否列舉出一些例子？

學(xué)生展示.(提示學(xué)生,利用教具演示)上臺列舉增加幾何元素后線面垂直的性質(zhì)的例子.

設(shè)計(jì)意圖：注重發(fā)揮學(xué)生的主體性,學(xué)生的參與率相當(dāng)高.教具觀察、教具演示、都站在學(xué)生的認(rèn)知角度,讓學(xué)生積極參與小組討論、上臺展示交流、互動.真正落實(shí)學(xué)生為主體的教學(xué)理念.

活動2：根據(jù)以上研究路徑,為了研究直線與平面垂直的性質(zhì),完成以下探究實(shí)驗(yàn).把下列表格(表2、表3)補(bǔ)充完整，提出猜想，并掃描二維碼,借助網(wǎng)絡(luò)畫板進(jìn)行操作確認(rèn).

表2

表3

在線與面垂直的條件下,引入幾何元素(線m).

在線與面垂直的條件下,引入幾何元素(面β).

設(shè)計(jì)意圖：在探究線面垂直性質(zhì)方法的指引下,引導(dǎo)學(xué)生在空間中引入一條直線m或者一個平面β，結(jié)合l⊥α，探究有什么結(jié)論(重點(diǎn)研究平行和垂直的位置關(guān)系)?通過小組合作、操作驗(yàn)證完成探究活動,并填寫實(shí)驗(yàn)記錄表.

有了“一般觀念”的引領(lǐng),選擇數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動的探究方式,再借助實(shí)物操作、網(wǎng)絡(luò)畫板3D平臺,讓學(xué)生按照一定的邏輯來探究直線與平面垂直的必要條件,經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)的過程,積累豐富的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)[2].

5.3 證明猜想,獲得定理

已知l⊥α,m⊥α,求證l∥m.

直線與平面垂直性質(zhì)定理的證明要用到反證法,要在如何想到用反證法、為什么用反證法上加以引導(dǎo),克服難點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定理的條件,從正面入手進(jìn)行分析,暴露思維過程.

設(shè)計(jì)意圖：在”一般觀念”的指引下,得到一些線面垂直性質(zhì)的有關(guān)猜想,接著證明猜想,獲得定理.這符合立體幾何學(xué)習(xí)中的“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”認(rèn)知規(guī)律.

5.4 定理運(yùn)用,鞏固提升

例題已知平面α,β,且α∩β=l,CA⊥α,CB⊥β,A,B是垂足,A∈α,B∈β,m?α,m⊥AB.求證m∥l.

設(shè)計(jì)意圖：對性質(zhì)定理進(jìn)行簡單應(yīng)用,加深學(xué)生對線面垂直性質(zhì)定理的理解.在學(xué)生獨(dú)立思考后,教師進(jìn)行引導(dǎo),再由學(xué)生獨(dú)立完成.運(yùn)用定理，鞏固提升.

6 教學(xué)反思

本設(shè)計(jì)以“一般觀念”引領(lǐng)教學(xué),體現(xiàn)大單元教學(xué)設(shè)計(jì)觀,是課標(biāo)理念的具體要求,用系統(tǒng)的思想進(jìn)行整體設(shè)計(jì),符合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn),有利于構(gòu)建知識體系.通過“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”認(rèn)知過程展開,對教具圖形的觀察(直觀感知)與實(shí)驗(yàn)探究(操作確認(rèn))發(fā)現(xiàn)和提出線面垂直條件下的有關(guān)命題,在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等合情推理的活動后,概括出線面垂直的相關(guān)性質(zhì),再對其中的性質(zhì)定理進(jìn)行證明論證(思辨論證).能認(rèn)識到線面平行性質(zhì)、面面平行性質(zhì)、線面垂直性質(zhì)探究路徑的一致性,提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)[3].