拓展視角 挖掘內(nèi)涵 滲透數(shù)學文化
——“復數(shù)的三角表示”教學的幾點認識

?江蘇省太倉市明德高級中學 顧麗琴

1 引言

“復數(shù)的三角表示”是人教A版(2019年)高中數(shù)學必修第二冊的選學內(nèi)容，主要包含復數(shù)的三角表示式和復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義兩部分.這個內(nèi)容是新教材的新增內(nèi)容，且不列為考試命題的范圍，基于此許多教師認為不教也罷，或讓學生自學.但筆者以為，既然是教材內(nèi)容，就都有教的必要.對此筆者談幾點認識，供大家參考.

2 為什么“復數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”？

教材是教師組織日常教學的必備文本，離開教材的教學難免會偏離教學大綱的要求.如果每位教師都脫離教材，想怎么教就這么教，那么必然會導致教學的混亂.所以數(shù)學教學必須尊重教材，嚴格按照教材實施教學.或許有人會說，既然“復數(shù)的三角表示”高考不會考到，何必把時間浪費在不考的內(nèi)容上，筆者以為這種想法十分膚淺.復數(shù)的代數(shù)表示法和三角表示法將中學數(shù)學中的許多知識點聯(lián)系在一起，用點、向量、三角來表示復數(shù)，不僅溝通了不同數(shù)學分支間的聯(lián)系，也體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的有機結(jié)合.筆者認為“復數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”，有以下三條理由.

2.1 現(xiàn)代教育理念的要求

教育是為了什么，這是一個永恒的話題.許多人認為高中教育就是讓學生考入大學，在這種思維的指揮下，教育變成了教學，教學又變成了應試教學，學校成了高考的“流水線”，于是出現(xiàn)了“為考而教”的怪相，把“一切為了學生”變成了“一切為了考試”.所以為了擺脫應試教育的束縛，體現(xiàn)為學生終身發(fā)展而教的教育理念，“復數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”.

2.2 現(xiàn)行教學內(nèi)容的要求

復數(shù)是數(shù)系擴充的“終結(jié)版”.復數(shù)必學內(nèi)容主要包含復數(shù)的概念和復數(shù)的四則運算，其中內(nèi)含復數(shù)的幾何意義和復數(shù)加減法的幾何意義，但這里沒有提及復數(shù)乘法與除法的幾何意義.為了解決這個問題，提倡并鼓勵學生學習“復數(shù)的三角表示”，否則對復數(shù)的認識就缺乏完整性，同時也體會不到復數(shù)運算與其他數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.此外，復數(shù)有著十分豐富的數(shù)學文化背景，如完美的棣莫佛定理([r(cosθ+i·sinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*))，能引發(fā)學生的好奇，激發(fā)他們對數(shù)學的學習興趣.

2.3 提升數(shù)學素養(yǎng)的要求

數(shù)學教育的目標是為了提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學綜合能力.數(shù)學是一個整體，數(shù)學知識之間存在著必然的聯(lián)系，而這種聯(lián)系不僅能幫助學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，形成知識體系，而且能引導他們用不同的觀點與方法去分析問題和解決問題，從而不斷提升數(shù)學素養(yǎng).復數(shù)可謂鏈接三角函數(shù)、平面向量及平面幾何的“局域網(wǎng)”，復數(shù)的三角表示是這張“局域網(wǎng)”的關(guān)鍵點，正是有了復數(shù)的三角表示，才能體現(xiàn)出復數(shù)的乘法與除法的幾何意義，并為復數(shù)的運算開辟了“廣闊的前景”.由此可見，復數(shù)的三角表示能體現(xiàn)出復數(shù)的價值，能幫助學生站在新的高度把握數(shù)學知識間的聯(lián)系，基于此，“復數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”.

3 “復數(shù)的三角表示”該如何教？

既然“復數(shù)的三角表示”不可“棄而不教”，那么作為教師對這一內(nèi)容該如何教？筆者以為應該抓好以下四點.

3.1 注重知識的關(guān)聯(lián)，恰當引入，讓學生理解復數(shù)的三角表示形式

問題1：回顧三角函數(shù)的定義，如圖1，角θ的終邊上一點P(x，y)，設(shè)P到原點O的距離|OP|=r，那么怎樣用角θ和r表示x，y？

圖1 圖2

3.2 理解復數(shù)乘除法的幾何意義，讓學生感悟知識的內(nèi)涵

兩個以代數(shù)形式給出的復數(shù)進行乘除后，其幾何意義不明顯，而將復數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式后會是怎樣呢？教師可以通過代數(shù)運算和數(shù)形結(jié)合兩條途徑來引導學生探究.

問題4：能依據(jù)你的計算結(jié)果說出復數(shù)乘法與除法的幾何意義嗎？

生3：兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和；兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差.

圖3

通過問題5，引導學生發(fā)現(xiàn)棣莫佛定理([r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)(n∈N*)，滲透數(shù)學文化.

3.3 拓展視角，體會復數(shù)三角形式的優(yōu)越性

關(guān)于復數(shù)三角式的乘除運算的數(shù)學應用，筆者建議所選例題要體現(xiàn)用復數(shù)的三角形式解題的簡便性和優(yōu)越性，如：

解析：利用復數(shù)乘法的幾何意義求得點C對應的復數(shù).

故答案為：-2i

4 結(jié)語

復數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學教材中占比較小，在高考的命題中占比也較小，但它作為數(shù)學中的一個獨立體系，依然有獨特的思想方法和教學價值，可謂“麻雀雖小五臟俱全”.從培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)角度看，對于教材中出現(xiàn)的任何復數(shù)內(nèi)容，我們都不可等閑視之.以上觀點純屬筆者一孔之見，不當之處敬請指正.