顧及控制點空間分布的坐標轉換模型研究

賀俊凱，徐東升，王明遠，李明峰

(1.南京工業(yè)大學 測繪科學與技術學院,南京 211800；2.江蘇省地質礦產局第二地質大隊,江蘇 常州213022)

0 引言

不同基準下的坐標轉換是基于兩種坐標系下的公共控制點(以下簡稱公共點)，通過坐標轉換模型計算轉換參數而實現的.影響坐標轉換精度的因素不僅包括轉換模型和控制點坐標誤差，還包括公共點的空間分布等因素.關于轉換模型與控制點精度影響的研究已相對比較成熟，形成了較為完善的理論和方法[1-4].

近年來，關于公共點選取的研究取得了一定進展.王玉成等[5]、焦立芬[6]等研究發(fā)現，適當增加公共點個數能有效地提高轉換精度；公共點分布越均勻，所得轉換精度越穩(wěn)定.周躍寅等[7]研究了公共點圖形外圍和內部點位精度與公共點空間分布的關系.但控制點分布的均勻性尚缺乏數學描述，影響了坐標轉換模型的精度和效率.因此，分析公共點空間分布對坐標轉換模型精度的影響，構建顧及控制點空間分布的坐標轉換模型，對當前廣泛推行的原有坐標系向CGCS2000 的轉換具有重要的理論意義和實際應用價值.

本文根據獨占圓[8]思想提出控制點均勻度(UCP)，利用平均最鄰近距離表征控制點密度，分析控制點空間分布對坐標轉換模型精度的影響，構建公共點空間分布約束下的坐標轉換模型，并結合實例驗證模型的有效性.

1 控制點空間分布

1.1 控制點均勻度

表征點集空間分布均勻程度的指標有多種，主要分為基于密度的方法與基于最鄰近點間距離的方法.已有研究表明，基于密度的方法并不能有效地表征點的離散程度[9].本文將基于獨占圓思想，提出UCP 概念并建立表達模型.

在n個控制點組成的集合中，以某控制點為圓心，以其到最臨近控制點歐氏距離的一半為半徑所畫的圓為該控制點的獨占圓.平面內各獨占圓皆不重疊，最近的空間關系是相切.

如圖1 所示，d12是點1、點2 間的歐氏距離；D1為點1 至所有點的距離中最小值，稱為點1 的最鄰近距離；r1為D1的一半，定義為點1 獨占圓的半徑r1.兩點間歐氏距離dij與最鄰近距離Di的計算公式如式(1)～(2)所示：

圖1 獨占圓示意圖

式中：xi、yi為i點的坐標；xj、yj為j點的坐標.

對各獨占圓位于坐標轉換區(qū)域內的面積求和，該面積和可以在一定程度上表示控制點均勻程度；面積和越大，控制點集越均勻.設區(qū)域內面積和為a，其計算公式為

式中：ai為第i個獨占圓在轉換區(qū)域內的有效面積；si為其超出區(qū)域的面積；ri為其獨占圓半徑.

顯然，a相同并不代表其均勻程度一致.結合圖1可以推斷，在a一定的情況下，各獨占圓面積越相近，控制點分布越均勻.設為與面積ai對應的有效獨占圓半徑，則有

在控制點均勻度表達中應考慮獨占圓面積大小的離散程度，其程度可以用有效獨占圓半徑中誤差σr表示

為了使獨占圓面積和能更加準確地表示均勻程度，通過離散程度對面積和a賦以權重.設權為pr，經實驗可知，pr取值范圍為2/3～1 時，均勻度與坐標轉換精度擬合效果最佳，因此有

式中，A為坐標轉換區(qū)域面積.pr越接近1，說明各獨占圓的面積越相近，均勻度越高.

控制點等間距行列排布時控制點分布最均勻.為了更好地表述控制點均勻度，顧及獨占圓間的間隙，控制點均勻度L計算公式為

L的大小直觀反映了控制點的均勻分布程度.控制點分布越均勻，各獨占圓的面積越相近，則獨占圓面積總和a越大，L越趨近于1.即有

1.2 控制點密度

控制點密度描述轉換區(qū)域內控制點的疏密程度，即坐標轉換時研究區(qū)范圍不變，其密度指標是指控制點的個數.坐標轉換中公共點個數應大于轉換模型要求的最低個數，同時與坐標轉換計算量有關.已有研究表明，坐標轉換區(qū)域內公共點個數存在最佳值[6].

在控制點均勻度相近的情況下，控制點的個數直接影響控制點間平均最臨近距離，距離越大則控制點集分布越稀疏，反之控制點集分布越密集.因此，控制點間平均最鄰近距離dmin可以同等反映控制點分布的疏密程度，同樣存在最優(yōu)值.坐標轉換區(qū)域大小不同，公共點最優(yōu)個數也不同.設該種地形下某等級控制點的最優(yōu)平均最鄰近距離為，則最佳公共點個數t可根據下式計算：

2 控制點均勻度與密度約束下的坐標轉換模型

基于上述分析，構建UCP 與密度約束下的坐標轉換模型，探討地方坐標系到CGCS2000 的坐標轉換流程.常用的坐標轉換模型有布爾莎模型、莫洛金斯基模型、二維四參數模型等模型.在三維坐標轉換中，布爾莎模型應用最廣泛，其通過對坐標系的平移、縮放與旋轉完成不同基準下的空間直角坐標轉換.因此，本文基于布爾莎模型展開討論，該模型共有7 個轉換參數，至少需要3 個公共已知點，其坐標轉換公式為

式中：X1、Y1、Z1為原坐標系下坐標；X2、Y2、Z2為待轉換坐標系下坐標；TX、TY、TZ為平移參數；εX、εY、εZ為旋轉參數；k為尺度參數.

顧及高程異常值精度較低對大地高的影響，結合王解先等[10]研究得出大地高誤差對轉換得到的平面坐標影響很小的結論，本模型在轉換后將坐標投影到平面，并評定轉換精度.

控制點密度和均勻度從兩個角度反映了控制點的空間分布特征，兩者間存在一定聯(lián)系.t較小時，隨機選取的不同組公共點間L差異較大；隨著t值增加，L離散程度有所下降.實際轉換中，應首先根據式(9)確定公共點個數t，再尋找L能符合條件的公共點組合，因此兩者并不會相互影響.

模型從平面內外符合精度來評估坐標轉換精度.內符合精度 σin由公共點平差的驗后單位權中誤差評定.外符合精度σout由檢核點轉換前后坐標殘差的均方根值表示，其計算方法如式(11)所示：

式中：Δxi、Δyi為檢驗點轉換前后x、y方向上的坐標差；n為檢驗點個數.

基于上述討論，建立顧及控制點空間分布約束的坐標轉換模型，轉換流程如圖2 所示.

圖2 均勻度與密度約束下的坐標轉換流程

坐標轉換具體步驟如下：

2)隨機選取t個控制點為公共點，計算均勻度L.設閾值為L0，若L＞L0，則使用其計算轉換參數；否則繼續(xù)隨機選取公共點.若循環(huán)次數m高于限定值，則會選取其中L最大的一組公共點.

3)將公共點平面坐標經高斯反算得到大地坐標，再將大地坐標(B，L，H)換算為空間直角坐標.

4)使用布爾莎模型計算轉換參數，將檢驗點轉換至目標坐標系下.

5)將檢驗點轉換后空間直角坐標投影至平面，并依據式(11)評定精度.

3 算例分析

某區(qū)域面積5 079.2 km2，整體地形較為平坦，共有GPS 控制網成果點235 個，包括D 級點81 個與E級點154 個.以該區(qū)域地方坐標轉換至CGCS2000坐標為例，分析空間分布對轉換精度的影響，求解該區(qū)域的坐標轉換模型并驗證其有效性.

3.1 控制點密度對坐標轉換精度影響

為便于求解坐標轉換參數與分析討論，首先選取3 個控制點作為公共點，并逐漸增加至15 個.對于不同的t值，隨機選取若干組 0.4＜L＜0.5 的D 級控制點集計算轉換參數，使用均勻分布的E 級點作為檢核點，記錄各組內外符合精度的精度平均值.實驗結果如表1 所示.

表1 控制點密度與轉換精度關系

由表1 可以得出以下結論：

1)隨著t值增加，基本上呈不斷增大趨勢，內符合精度降低；

2)t=3 時，控制點組合dmin值過大，最大，＞3mm 的公共點集所占比例最高，此時坐標轉換的精度最低；

4)t＞7時，坐標轉換精度提升減緩；當t=11 時，坐標轉換精度最高，即該地形下D 級公共點值為24 km；當t＞13 時，坐標轉換精度反而降低.

3.2 公共點均勻性對坐標轉換精度影響

基于3.1 節(jié)中的結論，公共點數t取11.從D 級點中隨機選取11 個作為公共點，統(tǒng)計控制點均勻度L和外符合精度 σout.為充分反映規(guī)律，進行多組實驗，并對結果進行冪函數擬合.以上述方法計算得到的L和σout的關系，如圖3 所示，圖中每個點表示每組轉換的 σout.

圖3 L 對σout 的影響擬合曲線

由圖3 可知：

1)L較低時的公共點計算得到的 σout離散且基本偏大；

2)隨著L的提高，σout逐漸向2 mm 以下集中，且不再出現較大誤差；

3)隨L的提高，σout降幅越來越小；在L超過0.40 后，擬合曲線趨于平緩，L增加對精度的影響作用有限.

因此，在實際應用中選取L大于0.40 的組合，可有效保證坐標轉換精度.

4 結語

本文通過研究控制點均勻度與密度對坐標轉換精度的影響，構建了顧及控制點空間分布的坐標轉換模型，解決了坐標轉換中公共點選取缺乏標準的問題.具體結論如下：

1)公共點選取應兼顧轉換區(qū)域控制點的均勻度與密度，先確定公共點密度，再決定均勻度；顧及控制點空間分布的坐標轉換模型可有效提高轉換精度；

2)坐標轉換精度隨公共點均勻度增加呈提高趨勢，L達到0.4 后可滿足坐標轉換的精度要求；

3)公共點密度對應坐標轉換精度具有最佳值；以平坦地區(qū)D 級控制點作為公共點時，dmin取24 km所得轉換精度最高.

本文只考慮了均勻度與密度指標，地形起伏較大區(qū)域內坐標轉換精度可能與所選公共點的豎直方向分布有關，后續(xù)研究中應考慮控制點高程的影響.