“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)試題分析與命題探索

倪 黎，茹 凱，顏寶平

“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題分析與命題探索

倪 黎，茹 凱，顏寶平

（銅仁學院 大數(shù)據(jù)學院，貴州 銅仁 554300）

高考數(shù)學核心素養(yǎng)測評研究中“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)考查相對薄弱．用案例分析法對2016—2021年高考數(shù)學試卷中考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題從分值特征、題型特征、背景特征、模型特征、素養(yǎng)特征、階段特征6個角度進行系統(tǒng)分析，從縱向（難度層次性）和橫向（素養(yǎng)綜合性）兩個方向探索命題的多樣性．研究表明：高考命題時應注意“題型靈活性與階段差異性結(jié)合，改變難度層次性；背景豐富性與模型廣泛性結(jié)合，實現(xiàn)素養(yǎng)綜合性”．

數(shù)學建模；核心素養(yǎng)；試題分析；命題；案例分析法

1 問題提出

普通高中培養(yǎng)目標指明，要進一步提升學生綜合素質(zhì)，著力發(fā)展核心素養(yǎng)[1]，但不同角度的高考數(shù)學核心素養(yǎng)測評研究均反映出一個共性：各核心素養(yǎng)以及具體表現(xiàn)的考查分布不均衡，其中對“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)的考查較少，甚至沒有考[2-6]．由此產(chǎn)生了一個亟待解決的問題：“加強命題技術(shù)研究，全面考察學生的學科素養(yǎng)．”[3]這一現(xiàn)象在最新的2020年高考測評中依然存在，“加強命題技術(shù)研究，全面落實學生學科素養(yǎng)的考查”[6]再次被提出來．

數(shù)學建模在中學階段的重要性日益突出，但專門針對“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的研究較少，更多的是綜合研究六大核心素養(yǎng)時涉及數(shù)學建模[2-7]，或是其它視角下的分析與數(shù)學建模有關(guān)[8-11]．特別地，文[12]從分布特征、背景特征、模型特征3個方面，研究了2013—2017年全國卷中體現(xiàn)數(shù)學建模思想的試題；文[13]剖析了2019年高考數(shù)學中考查數(shù)學建模的7類模型．

受以上論文啟發(fā)，并注意到已有研究很少以數(shù)學建模為主線進行跨年度跨試卷的多角度比較，而高考數(shù)學真題凝結(jié)了命題人的智慧可反復挖掘，同時又存在“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)考查薄弱現(xiàn)象，很有必要繼續(xù)探索其命題多樣性．

2 研究思路

2.1 樣本選取

每年更新的高考試題能靈敏地反映國家意志帶來的變化，這使得高考處于教育改革的前線．2014年9月，國務院頒布了《關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》，這是恢復高考以來最系統(tǒng)、最全面、最深刻的高考改革，為此教育部考試中心2016年探索構(gòu)建高考評價體系，從頂層設計回答“為什么考、考什么、怎么考”的考試本源性問題[14]．此外，中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)研究成果于2016年9月正式發(fā)布，隨后“數(shù)學建?！背霈F(xiàn)在教育部2018年1月制定的《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》中，成為數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)之一．

考慮到上述時代背景深刻影響著近幾年高考，每年的高考真題也是除教材外的重要學習資源，故選取2016—2021年31個?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）高考數(shù)學84套試卷，研究其中考查“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)的202道試題，涉及81套試卷．由于數(shù)學建模是對實現(xiàn)問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[1]，因此，試題是否來源于現(xiàn)實問題是入選樣本的關(guān)鍵依據(jù)．

2.2 研究方法

針對試題樣本，采用定量分析與定性分析法，結(jié)合案例分析法，從分值特征、題型特征、背景特征、模型特征、素養(yǎng)特征、階段特征6個角度進行試題分析，觀察現(xiàn)有高考真題特點，了解命題現(xiàn)狀，在真題中學習并探索命題多樣性．

為表述簡便，除特別注明外，后文研究的試題均指近6年高考數(shù)學真題．

3 試題分析

3.1 分值特征

“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題在試卷中所占比重可以反映高考對數(shù)學建模的重視情況（見表1），2016—2017年平均比重為12.8%，2018—2021年平均比重為12.9%，且2016年未考查數(shù)學建模的試卷，此后加強了考查．說明高考試題一直重視對數(shù)學建模思想的考查，2017版新課標頒布后重視度穩(wěn)步提高．據(jù)此推測，在“五育并舉”和“加強應用型、創(chuàng)新型人才培養(yǎng)”的呼吁下，“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的比重還會加大．

表1 “數(shù)學建模”核心素養(yǎng)試題分值特征

近6年，38套全國卷全部考查了“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)，分值平均比重15.3%，46套地方卷中有43套考查了“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)，分值平均比重10.7%，說明全國卷比地方卷重視程度更高．其中2020年新高考Ⅰ、Ⅱ卷考查題量最多且分值最高，比重均為24.7%，是考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的典型試卷．

3.2 題型特征

高考數(shù)學試卷的題型可以分為小題和大題兩大類，小題包含填空題、單項選擇題、多項選擇題等，大題是指解答題．分析每套試卷的題型特征，可以從宏觀上了解現(xiàn)有命題特點．

經(jīng)統(tǒng)計（見表2），發(fā)現(xiàn)“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題涵蓋了高考數(shù)學的所有題型，試卷中大題搭配小題模式有63套（77.8%），是主流命題形式，“1大5小”首次出現(xiàn)在2020年新高考全國Ⅰ、Ⅱ卷中．2020年新高考全國Ⅱ卷第9題首次以多項選擇題考查“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)，2020年北京卷填空題第15題可以看作是不定項選擇題的雛形．另外，2021年1月的八省聯(lián)考數(shù)學試卷中已經(jīng)出現(xiàn)了“2大2小”，說明“多大多小”題型特征可以實踐．

表2 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題題型特征

3.3 背景特征

數(shù)學試題與不同背景結(jié)合形成不同的實際問題，近6年高考數(shù)學考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的202道試題，涉及生活生產(chǎn)、音樂建筑、天文地理、歷史文化、生態(tài)環(huán)境、生物實驗、交通運輸、醫(yī)療衛(wèi)生等背景，顯示了數(shù)學廣泛的應用性．表3從學生校園生活角度統(tǒng)計，將問題背景屬于校園生活的視為“內(nèi)”，校園外的視為“外”；又從時間層面統(tǒng)計，將當代視為“今”，當代之前視為“古”．

表3 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題背景特征

校園是學生生活的主要場所，受到了特別關(guān)注（33.7%），能觸動學生運用數(shù)學知識解決身邊問題的興趣和信心．校外世界更加豐富多彩（66.3%），無論是居民用水問題，還是新藥療效比較，部分問題來源于科學研究，具有學術(shù)價值．從時間上看，試題背景既兼顧了古籍、古跡等古文化中的數(shù)學元素與數(shù)學視角（7.4%），更突出了時代特點（92.6%）．如2016年的節(jié)約用水，2017年的共享單車，2018年的新農(nóng)村建設，2019年的嫦娥四號探月工程，2020年的新冠肺炎疫情，2021年的北京冬奧會志愿者培訓，不勝枚舉．彰顯了高考評價體系的“立德樹人、服務選才、引導教學”核心立場，形成了問題背景與數(shù)學知識合力育人效果，發(fā)揮了高考數(shù)學的育人價值．

考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題，由近及遠、從古至今勾勒出一幅精彩世界的圖景，給學生提供了“未出校園、心懷天下”的窗口，也為師生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題打開了思路，具有教學價值．

3.4 模型特征

實際問題與不同數(shù)學知識結(jié)合形成不同的數(shù)學模型，按照建立模型的主要數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）[15]進行分類統(tǒng)計，得到表4．

表4 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題模型特征

概率統(tǒng)計模型是體現(xiàn)“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的主力軍（62.9%），考查從未間斷，覆蓋全國卷和地方卷，涉及所有題型且解答題較多（60道）．全國卷與地方卷近6年都在考幾何模型（11.9%），其中江蘇卷（2016—2020年）貢獻最多，獨具特色，代表性強．剩下7類模型的考查相對較少（25.2%），其中解答題只有5道，考查不穩(wěn)定，不夠重視．

考查“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)的試題，為數(shù)學知識的應用提供了示范，學生可以由此見識同一模型在不同實際問題中的應用，以及不同模型在同一背景中的應用，再次凸顯數(shù)學強大的應用性．這些眼界與體悟猶如一粒粒種子，等待著在未來解決各行各業(yè)現(xiàn)實問題中生根發(fā)芽、開花結(jié)果，有利于激發(fā)學生解決廣闊世界中復雜問題的內(nèi)生動力和立志打牢數(shù)學基礎的堅定決心．

3.5 素養(yǎng)特征

數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng)，是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，它們之間既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體[1]．在近6年高考數(shù)學考查“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)的試題中，普遍存在同時考查其它核心素養(yǎng)的現(xiàn)象，統(tǒng)計結(jié)果可通過雷達圖直觀展示（見圖1），又從另一個角度，統(tǒng)計了每道試題中包含“數(shù)學建?！痹趦?nèi)的核心素養(yǎng)考查個數(shù)（見圖2）．

圖1 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題素養(yǎng)分布

圖2 “數(shù)學建模”核心素養(yǎng)試題素養(yǎng)考查

由圖1可知，近6年高考“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)試題遍及六大核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考評價體系的“核心價值、學科素養(yǎng)”考查目標．圖2表明，所有試題都考查了包含“數(shù)學建模”在內(nèi)的多個核心素養(yǎng)，說明“數(shù)學建模”對其它核心素養(yǎng)的依賴程度強，與已有研究結(jié)果一致[16]．

考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題，對六大核心素養(yǎng)的考查具有較強的綜合性，在考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的同時，還能兼顧其它核心素養(yǎng)，反之則不然．值得加大考查力度，這正是緩解試卷中各核心素養(yǎng)考查不均衡狀況的有效途徑．

3.6 階段特征

不少研究已對數(shù)學建模階段進行了很成熟的劃分[17]，受此啟發(fā)，注意到考查“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)的試題有別于一般意義下的數(shù)學建模，為此，針對試題特點，用上游問題、中游問題和下游問題來進行區(qū)分比較，見表5．

表5 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題建模階段劃分

這3個建模階段可簡稱為“上游”“中游”“下游”，與數(shù)學建模活動的基本過程[1]之間的關(guān)系見圖3．

圖3 數(shù)學建?；顒拥幕具^程與建模階段

統(tǒng)計近6年高考“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題的建模階段（見圖4）發(fā)現(xiàn)：不同階段的試題比重不平衡，以中下游為主（97.0%），中游居多（80.7%），上游最少（3.0%）．中下游（196道）覆蓋了所有題型，分值高、背景廣；上游（6道）只涉及單項選擇題和填空題，除去2道文理科試卷同題，只有4道代表性試題．

圖4 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題建模階段

下游的特點是模型已經(jīng)建立，主要考查模型的應用，易于學生入手．對于尚未學習的復雜模型，也可以讓學生應用模型解釋或解決實際問題．如某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的Logistic模型（2020年全國Ⅲ卷文、理科第4題），該題還顯現(xiàn)了數(shù)學在疫情防控中活躍的身影；又如新、舊設備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標比較問題（2021年全國乙卷文、理科第17題）．

中游的主要任務是建立、求解、檢驗模型，重點考查學生運用所學知識解決實際問題，是數(shù)學建模的核心環(huán)節(jié)，需要不斷強化訓練，因而考查比重最多．傳統(tǒng)應用題主要處于中游，中游可以自然延伸到下游、追溯到上游．

上游源于“在實際情境中從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”[1]，不過呈現(xiàn)在試題中的都是命題人發(fā)現(xiàn)并提出的問題，重點考查分析問題的建模準備階段，靠近中游，目前的4道考題難度不大．但在問題提出之前的混沌狀態(tài)，或許只是大千世界的平凡現(xiàn)象，如啤酒與尿布，培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題，已經(jīng)是在培養(yǎng)學生跨學科創(chuàng)新的高階思維了．由于上游不涉及模型求解，更復雜問題的初始分析階段也能在此考查．因此，上游可考查的范圍最廣，也最難．

考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的試題，展現(xiàn)了不同的建模階段．無論是往上游方向回溯、還是往下游方向推進，都將面臨未知的困難與挑戰(zhàn)，需要注重知識儲備、經(jīng)驗積累，更需要勇于探索的精神、攻堅克難的毅力，還需要一定的洞察力、想象力[15]，能很好地磨礪學生意志、培養(yǎng)創(chuàng)新精神．

4 命題探索

2020年1月，教育部考試中心正式發(fā)布了《中國高考評價體系》，告別了高考考試大綱，該評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成，“四翼”回答了“怎么考”的問題，給出了高考考查要求：基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性．另外，《普通高中數(shù)學課程標準》中數(shù)學學業(yè)質(zhì)量水平二是高考的要求，也是數(shù)學高考的命題依據(jù)[1]．

“數(shù)學建?！北旧砭褪悄軌虺休d基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的有效載體，下面針對高考數(shù)學試卷中“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)考查薄弱現(xiàn)象，從縱向（難度層次性）和橫向（素養(yǎng)綜合性）兩個方向，探索命題多樣性．

4.1 題型靈活性與階段差異性相結(jié)合以改變難度層次性

探索縱向命題時，先不考慮橫向的變化．

4.1.1 題型靈活性

下面以一道高考真題為母題，進行封閉式和開放式子題改編．

案例1（2020年全國Ⅰ卷文、理科第5題）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：℃）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子的發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(x,y) (=1, 2,…, 20)得到下面的散點圖：

由此散點圖，在10℃～40℃之間，下面4個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型是（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

這是一道考查學生觀察散點圖、建立非線性回歸模型的問題，以選擇題形式巧妙地“減少運算量，增加思維量”[18]．該題事先設計好了標準答案，是一道常見的封閉式問題．在學生明白這類模型求解原理的前提下，相比于套公式進行復雜的計算，能從中察覺出散點圖與對數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)隱藏在數(shù)據(jù)背后的規(guī)律并將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，更考驗學生的思維過程與創(chuàng)新意識．通過題型的靈活變化能實現(xiàn)命題多樣性，下面給出變式子題．

變式1 改為單項選擇題．（封閉式）

為研究某作物種子的發(fā)芽率，下列哪項因素是最重要的？給出種子的價格、種子的重量、種子的直徑等次要因素，以此來考查數(shù)學建模中假設的合理性．

變式2 改為多項選擇題．（封閉式）

考慮到該題直接改為多項選擇效果不好，嘗試換個角度．比如，某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率，計劃在不同的溫度條件下做種子的發(fā)芽實驗，需搜集哪些數(shù)據(jù)進行有效分析？可以給出實驗次數(shù)、種子樣本量、實驗日期、實驗人數(shù)等干擾選項，考查學生能否在較多數(shù)據(jù)中抓住主要矛盾，選取合適的指標變量．此時也可以直接改為不定項選擇題．

變式3 改為填空題．（封閉式）

將該題直接改為填空題，缺少了選項部分的提示，難度增大了．

為“逐漸減少選擇題、填空題數(shù)量”[1]，還可以改編為解答題．

變式4 改為解答題．（封閉式）

題干補充具體數(shù)據(jù)，要求學生建立并求解發(fā)芽率和溫度的回歸方程，也可以進一步要求學生求出發(fā)芽率最高的溫度是多少．這種改編能更全面地考查建立與求解模型，但計算量較大．

除了封閉式問題的改編，也可以“以開放式問題打破定勢思維”[9]．在相同觀點下，舉例開放；在共同結(jié)論下，條件開放；對同一問題，研究方法開放；對同一問題，思維層次開放[10]．從而“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題’現(xiàn)象”[19]．

變式5 改為解答題．（開放式）

題干直接給出發(fā)芽率和溫度的多個回歸方程，至少包含對數(shù)回歸方程，用統(tǒng)計表（或統(tǒng)計圖）給出數(shù)據(jù)，甚至給出常用軟件（如Excel）的回歸分析結(jié)果，由學生來比較模型的優(yōu)劣，并給出理由，然后運用模型．這種改編借鑒了2018年全國Ⅱ卷文、理科第18題的命題手法，能讓學生“多想一點，少算一點”．

以上改編仍屬于結(jié)構(gòu)良好問題，條件不多不少．當一個好的現(xiàn)實問題被發(fā)現(xiàn)并提出來以后，學生真正去建模解決問題時，往往面臨數(shù)據(jù)缺失、難以繼續(xù)或數(shù)據(jù)過多無從下手的困境，這是建模中較難的一個環(huán)節(jié)，卻又是平常教學中很少涉及的．結(jié)構(gòu)良好問題在日常學習與訓練中不可或缺，但結(jié)構(gòu)不良問題更接近真實世界，能考查學生思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性[20]．下面嘗試減少條件或增加已知，改編為結(jié)構(gòu)不良問題．

變式6 改為填空題．（開放式）

某作物種子的發(fā)芽實驗數(shù)據(jù)整理如下，從中任選兩個條件補充到下面問題中，若回歸方程存在，則寫出表達式；若不存在，則說明理由．

條件指標數(shù)據(jù) ①發(fā)芽率y（略） ②溫度x1（略） ③水分x2（略） ④氧氣x3（略） ⑤光線x4（略）

問題：寫出研究種子發(fā)芽率效果最好的回歸方程．

該題重在考查學生能否選取合適的指標變量，構(gòu)造理論回歸模型．發(fā)芽率為因變量，如果所選自變量的取值不變，則不能建立回歸模型．也可以給出4張圖：

① 發(fā)芽率與溫度1的散點圖（略），

② 發(fā)芽率與水分2的散點圖（略），

③ 發(fā)芽率與氧氣3的散點圖（略），

④發(fā)芽率與光線4的散點圖（略）．

讓學生任選一個條件，寫出研究種子發(fā)芽率的回歸方程．散點圖中可能存在相關(guān)關(guān)系不明顯的情況，考查學生能否從散點圖中捕捉到合適的函數(shù)關(guān)系．該題借鑒了2020年新高考全國Ⅰ卷第17題的命題手法，屬于條件不足情況．

“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)水平二要求，“能夠運用數(shù)學語言，表述數(shù)學建模過程中的問題以及解決問題的過程和結(jié)果，形成研究報告，展示研究成果”[1]．但數(shù)學考試中考查研究報告難度大，考慮在附加題、選做題中嘗試．

變式7 改為解答題．（開放式）

給出真實的包含某作物種子發(fā)芽率的學生實驗報告，記錄了未加工的信息和數(shù)據(jù)，存在多余的信息和用不上的數(shù)據(jù)，屬于條件冗余的結(jié)構(gòu)不良問題．仿照語文“話題作文”模式，由學生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結(jié)果、最終解決實際問題，并按數(shù)學建模的基本過程寫成結(jié)構(gòu)式論文，形成研究報告．

這樣能讓學生經(jīng)歷較完整的數(shù)學建模過程，即從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題，還能綜合考查假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和表述的清晰性．但也帶來了新問題，如學生答題時間增加、閱卷難度增大、是否適合納入封閉式考場考試、未考查到學生自主收集數(shù)據(jù)等．

題型的靈活改編，能通過考查角度的改變，從封閉式問題過渡到開放式問題；也能通過題干條件的增減，從結(jié)構(gòu)良好問題過渡到結(jié)構(gòu)不良問題．并且這種改編是可逆的，見圖5．

圖5 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)縱向命題探索：題型靈活性

4.1.2 階段差異性

數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型解決問題的過程[1]．針對同一個問題，往下游方向可推進問題的解決，往上游方向可回溯問題的源頭．以案例1建立回歸模型的一般過程為例，通過移動建模階段，能改編出新的試題，見圖6．

圖6 “數(shù)學建模”核心素養(yǎng)縱向命題探索

案例1還未建立模型，重在通過觀察圖形趨勢來構(gòu)造理論模型，但無需求解模型，主要處于問題分析階段，屬于上游．需要說明的是，圖6用虛線劃分的界限并非涇渭分明．變式1、變式2、變式3、變式6、變式7仍處于上游，但由于在上游的具體位置存在差異，且考查的綜合程度不同，和案例1相比難度均發(fā)生了變化．

變式1重點考查學生能否忽略次要因素、找準主要因素，而從給出合理的假設．變式1可以看作是案例1往上游方向回溯得到的子題，并且跳過了收集整理數(shù)據(jù)、設置指標變量這兩個相鄰的建模環(huán)節(jié)，這種改編方法可以稱為跳躍回溯．反之，案例1可以看作變式1往下游方向推進得到，也跳過了相鄰的建模環(huán)節(jié)，這種改編方法可以稱為跳躍推進，見圖7．

圖7 回溯與推進示意圖

變式2考查設置指標變量環(huán)節(jié)，可由案例1跳躍回溯得到，同時也是變式1往下游方向自然順延的結(jié)果，于是變式2也可以由變式1改編得到，這種改編方法可以稱為連續(xù)推進，反之，變式2連續(xù)回溯可以改編成變式1，見圖7．變式3、變式6與案例1相比沒有改變建模階段；變式7將案例1跳躍回溯到了實際情境環(huán)節(jié)，解決過程跨越上中下游3個階段，更確切地說，這是一道中上游問題．

變式4還未建立模型，主要處于模型求解階段，屬于中游，可以看作是案例1的連續(xù)推進．變式5已經(jīng)建立模型，主要處于模型應用階段，屬于下游，可以看作是案例1的跳躍推進．

處于任意階段的母題，都可以回溯或推進到其它階段，形成子題，往上游回溯時，還能夠?qū)妙}回譯成數(shù)學建模問題[21]．建模階段的微調(diào)與題型的靈活變化，可以有效調(diào)節(jié)試題難度．

4.2 背景豐富性與模型廣泛性相結(jié)合以實現(xiàn)素養(yǎng)綜合性

探索橫向命題時，暫不討論縱向的變化．

4.2.1 背景豐富性

在命題中，選擇合適的問題情境是考查數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要載體[1]．創(chuàng)設新情境能顯著增加背景豐富性．從學生的角度可以把問題情境分為熟悉情境和陌生情境，改編試題時，可將母題遷移到關(guān)聯(lián)情境或其它情境．關(guān)聯(lián)情境與其它情境僅相對于母題而言，既有可能是熟悉情境，也有可能是陌生情境，見圖8．

圖8 “數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)橫向命題探索

將案例1遷移到關(guān)聯(lián)情境，可以形成新的變式子題．

變式8 改為火龍果種子發(fā)芽率問題．（關(guān)聯(lián)情境）

紅皮紅肉、紅皮白肉及黃皮白肉火龍果均具有較高的經(jīng)濟價值，某科研團隊為研究這3種火龍果的萌芽差異進行了發(fā)芽實驗，記錄了14天的發(fā)芽數(shù)據(jù)，并將種子發(fā)芽率和時間（單位：天）整理得到下圖[22]：

下面4個回歸方程類型中最適宜作為紅皮紅肉火龍果種子發(fā)芽率和時間的回歸方程類型是（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

變式9 改為火龍果幼苗種類判別問題．（關(guān)聯(lián)情境）

某科研團隊在研究火龍果幼苗形態(tài)實驗中發(fā)現(xiàn)，紅皮紅肉、紅皮白肉及黃皮白肉3種火龍果幼苗移栽后第60天，幼苗鮮重（單位：mg）、幼苗長度（單位：mm）、根總長度（單位：mm）存在顯著差異[22]，其均值可構(gòu)成幼苗形態(tài)3維坐標(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)（數(shù)據(jù)略）．現(xiàn)有一株同批次的火龍果幼苗不慎遺落了品種標簽，測得其幼苗形態(tài)3維坐標為(,,)（數(shù)據(jù)略），請你合理判斷此幼苗最有可能是這3種火龍果中的哪一種．

除了對熟悉情境遷移再利用，還可以將原問題推廣到其它情境，“以陌生情境打造問題空間”實現(xiàn)背景創(chuàng)新[9]．

變式10 改為最優(yōu)退休年齡問題．（其它情境）

延遲退休政策對于維持我國現(xiàn)收現(xiàn)付制統(tǒng)籌賬戶的平衡有著重要的作用，有學者研究發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)退休年齡與預期壽命、經(jīng)濟增長速度、入職年齡正相關(guān)，且受預期壽命影響最大[23]．現(xiàn)忽略其它因素，根據(jù)下表數(shù)據(jù)[23]：

預期壽命73.6476.3478.0079.4380.00 最優(yōu)退休年齡59.6762.3363.9765.3865.94

僅考慮預期壽命與最優(yōu)退休年齡的關(guān)系，最適宜的回歸方程類型為（ ）

A．=+B．=+2

C．=+eD．=+ln

變式11 改為公共圖書館超效率得分問題．（其它情境）

有學者利用我國31個省份公共圖書館數(shù)據(jù)，分析公共圖書館投入產(chǎn)出效率．研究發(fā)現(xiàn)，地區(qū)人口規(guī)模1、地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展水平2、地區(qū)居民收入水平3、地區(qū)居民高等教育程度4對公共圖書館效率都有正向的作用，并建立了關(guān)于公共圖書館超效率得分的回歸模型[24]：

=0.0890+0.01471+0.04872+0.13203+0.01404．

已知A省與B省2020年的人口規(guī)模、經(jīng)濟發(fā)展水平、居民收入水平和居民高等教育程度情況（數(shù)據(jù)略），試比較這兩個省份2020年的公共圖書館超效率得分．

向關(guān)聯(lián)情境遷移時，可以由校外向校內(nèi)遷移，如2019年北京卷理科第17題便對2018年全國Ⅲ卷理科第8題的情境進行了遷移，從“某群體成員移動支付使用情況”遷移到了“學生兩種移動支付方式使用情況”；也可以由校內(nèi)向校外遷移，如變式8、變式9；還可以向?qū)α⒚孢w移，如垃圾分類宣傳（2020年全國Ⅱ卷理科第14題），反過來從數(shù)據(jù)上說明垃圾不分類所造成的環(huán)境污染和資源浪費情況，能獲得新問題．向其它情境遷移時，可以對已有研究成果進行改編，如變式10、變式11；也可以把社會時事作為命題素材，如延遲退休政策（變式10）、2020年第七次全國人口普查等．不同的背景能夠產(chǎn)生同一類問題，同一個背景可以產(chǎn)生不同的問題，由此形成包羅萬象的實際背景，可以開闊學生視野．

4.2.2 模型廣泛性

數(shù)學具有高度的抽象性，因而解決問題的關(guān)鍵，既不在于題型的多變，也不在于建模階段的不同，更不在于問題背景的千差萬別，而在于學生是否深刻掌握試題所考查的數(shù)學知識、透徹理解其中的思想方法，才能以不變應萬變，即“注重數(shù)學本質(zhì)、通性通法，淡化解題技巧”[1]，也即高考評價體系的“關(guān)鍵能力、必備知識”考查目標．

變式8、變式10、變式11與案例1相比，雖然問題背景各不相同，本質(zhì)上卻仍是在考查回歸模型．變式11中的多元線性回歸模型對學生來說較為陌生，但讀懂題意后，只需代值計算比較大小，可以看作是比較三元一次多項式的值．變式9與變式8改編自同一背景，但考查角度不同導致所用的數(shù)學方法也不同，變式9考查了空間幾何中兩點間的距離公式，以及應用統(tǒng)計初步，可歸為幾何模型．

“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)水平二要求，“能夠選擇合適的數(shù)學模型表達所要解決的數(shù)學問題”[1]．數(shù)學方法的選取依托于對現(xiàn)實問題考查的目的，高考中涉及的數(shù)學模型主要是學生運用所學知識能夠建立并求解的初等模型，但也出現(xiàn)過學生還無法建立的模型，如Logistic模型．高考數(shù)學中來自科研成果簡化的試題，拓寬了數(shù)學模型的廣度，可以讓學生深刻地“接觸”到數(shù)學的應用，見識研究人員是怎么用數(shù)學的，從而心生向往，學習科學家那樣“數(shù)學地思維”，這也是科研成果反哺教學一線的一種形式．因此，值得向?qū)W生大力引介經(jīng)典模型，尤其是學者在各領域科研中常用到的數(shù)學模型，以及在解決新問題時改進后的模型．對于其中簡單的模型，可以全面考查建模與求解過程，如變式8、變式9、變式10；復雜的模型，可以在介紹完背景后直接給出模型，降低難度，從模型應用或模型性質(zhì)分析等其它角度進行考查，如變式11．

不同問題背景與數(shù)學模型，自帶不同的核心素養(yǎng)．例如幾何問題在考查“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的同時，往往也能考查“直觀想象”核心素養(yǎng)，而統(tǒng)計模型能自然兼顧“數(shù)據(jù)分析”核心素養(yǎng)．在同一道試題中，增加知識點，能同時加強知識和素養(yǎng)考查的綜合性．比如2021年新高考Ⅱ卷第21題，在概率統(tǒng)計模型中設計了方程最小正實根的判別．試題的綜合性越強，能考查到的核心素養(yǎng)也會越多．

綜上，橫向的變化擴大了數(shù)學的應用領域，縱向的變化讓數(shù)學的考查變得靈動起來．命題時，從橫向上，可以先確定問題背景及題目立意，再尋求恰當?shù)臄?shù)學方法，也可以先確定數(shù)學模型，再選取合適的現(xiàn)實背景；從縱向上，可以根據(jù)考查目的先確定具體的建模階段，再考慮所設問題與不同題型的適配度，并靈活調(diào)整．為實現(xiàn)“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)命題多樣性，從這兩個方向進行改編，能由母題衍生出眾多子題．對于前文給定的一道母題——案例1，變式1至變式7是縱向衍生的子題，變式8、變式10是橫向衍生的子題，變式9、變式11是縱橫交錯衍生的子題．

5 反思總結(jié)

前面分析了近6年高考真題，從“數(shù)學建模”核心素養(yǎng)命題多樣性角度進行了探索，分別從縱向和橫向給出了命題建議，以母題為原點，縱橫交錯，寓生動數(shù)學于精彩世界．更進一步，可以參考學科核心素養(yǎng)評價框架[25]和改進后的雙向細目表[26]，對每道題定位并注明標簽，形成試題庫．組卷前，既需要從宏觀層面考慮各知識點、核心素養(yǎng)、題型等內(nèi)容的比例分配，整套試卷的難易程度，適合的題目序號；也需要從微觀層面打磨題目的科學性、精煉性、創(chuàng)新性、公平性．為提高數(shù)學命題質(zhì)量，還可以博采眾長，從國外試題的命題技術(shù)[7，18]中汲取靈感，并采取科學的評價方法[27–44]．

“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)的獨特性，使一道好題目能夠有利于啟示學生用數(shù)學眼光觀察世界，有利于啟迪學生用數(shù)學思維思考世界，有利于啟發(fā)學生用數(shù)學語言表達世界；同時還具有良好的教學價值、科研價值、育人價值．“教育意味著一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂．”正是命題人先在數(shù)學世界里關(guān)注著現(xiàn)實應用、在紛繁現(xiàn)象里洞察出數(shù)學本質(zhì)，并期許學生能通過數(shù)學看到精彩世界、透過現(xiàn)象感知生動數(shù)學，在搖動、推動與喚醒中，呈現(xiàn)出了“培根鑄魂、啟智潤心”的好題目．而這也是“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題承擔的使命．

數(shù)學教育作為一個跨學科領域，理應以跨學科視角進行研究，例如，從社會文化視角研究數(shù)學建模教學的社會性．社會性是教學的根本屬性[39]，數(shù)學建模教學是一種浸染在社會情境中的集體性活動，數(shù)學模型的建構(gòu)也是在社會活動中完成的．過去一味強調(diào)數(shù)學模型的構(gòu)造或許是數(shù)學建模教學難以深化的重要原因，相較于數(shù)學模型的構(gòu)造來說，數(shù)學建模最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是將真實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．從教學的社會性來看，詮釋學生數(shù)學建模的過程化表現(xiàn)是未來數(shù)學建模教學研究的應然方向．從社會文化視角分析數(shù)學建模教學中，學生理解情境、提出假設、識別變量、建立模型、論證方案等環(huán)節(jié)的表現(xiàn)與問題，探討數(shù)學建模中學生話語互動呈現(xiàn)的特征以及這些特征是如何促進學生完成數(shù)學建模任務的．同時，課程是教學社會性的內(nèi)隱表達，課程與教學的社會互動關(guān)系決定著教師對課程的解讀和學生對課程的理解．例如，數(shù)學教科書中呈現(xiàn)的真實性問題，需要經(jīng)過教師和學生的改造或意義添加后，才可以轉(zhuǎn)化成數(shù)學建模問題，這就需要從社會文化視角探討教師和學生使用教科書的過程，教師對課程內(nèi)容的選擇與加工為學生提供了很好的數(shù)學建模學習機會．

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Test Analysis and Proposition Exploration of “Mathematical Modeling” Core Literacy

NI Li, RU Kai, YAN Bao-ping

(School of Data Science, Tongren University, Guizhou Tongren 554300, China)

The “mathematical modeling” literacy test is relatively weak in the evaluation of the core literacy of mathematics in the college entrance examination. Using the case analysis method, this paper systematically analyzes the test questions of the core literacy of “mathematical modeling” in the 2016––2021 college entrance examination mathematics papers from six perspectives: score characteristics, question type characteristics, background characteristics, model characteristics, literacy characteristics, and stage characteristics. Finally, this paper proposes that the diversity of propositions should be explored from vertical (level of difficulty) and horizontal (comprehensive literacy) directions. The results show that: in the proposition of the college entrance examination, attention should be paid to “the combination of the flexibility of the question types and the difference of the stages to change the level of difficulty; the combination of the richness of background and the extensiveness of the model to realize the comprehensiveness of literacy”.

mathematical modeling; core literacy; test analysis; proposition; case analysis

2021–11–19

2021年貴州省教育科學規(guī)劃課題——核心素養(yǎng)視閾下我國西部地區(qū)初中數(shù)學建模教學的理論邏輯和實踐路徑研究（2021B166）；貴州省區(qū)域一流建設培育學科——教育學（黔教科研發(fā)〔2017〕85號）；2016年貴州省本科教學工程項目——卓越數(shù)學教師培養(yǎng)計劃（2016SJZYRC001）

倪黎（1989—），女，貴州松桃人，副教授，碩士，主要從事數(shù)學教育研究．茹凱為本文通訊作者．

G632.4

A

1004–9894（2022）02–0069–08

倪黎，茹凱，顏寶平．“數(shù)學建?！焙诵乃仞B(yǎng)試題分析與命題探索[J]．數(shù)學教育學報，2022，31（2）：69-76．

[責任編校：陳漢君、張楠]