求幾何體外接球半徑的幾個(gè)方法

肖進(jìn)華

若一個(gè)幾何體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)幾何體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)幾何體的外接球.求幾何體外接球的半徑問題在立體幾何中比較常見，側(cè)重于考查簡單空間幾何體的性質(zhì)、球的表面積與性質(zhì).此類問題對同學(xué)們的空間想象能力和計(jì)算能力有著較高的要求.本文重點(diǎn)介紹三種求幾何體外接球半徑的方法.

一、補(bǔ)形

對于一些不規(guī)則的幾何體，在求其外接球的半徑時(shí)，可采用補(bǔ)形法來求解.首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，將其補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，如長方體、正方體、正棱錐、圓柱等，然后根據(jù)這些簡單幾何體的特點(diǎn)和性質(zhì)，找到其中心的位置，便可確定球的球心，再根據(jù)勾股定理、正余弦定理求得半徑的長.

例1.

解：

將其補(bǔ)成長方體，根據(jù)長方體的對稱性可知其外接球的球心為長方體的中心，而長方體的體對角線為球的直徑，求得長方體對角線 BC1的長，即可求得球的半徑.

二、運(yùn)用射影定理

射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).在求球的半徑時(shí)，可根據(jù)幾何體的特點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，確定球心的位置，只要在直角三角形中找到斜邊，以及斜邊在直角邊上的射影，便可建立關(guān)系式，求得半徑的大小.

例2.

解：

在 SO′上，如圖2，延長 SO′交球面于點(diǎn)Q ，則 SQ 為球的直徑.

由于 AB =2，∠ACB =120°，

所以根據(jù)正弦定理得，

所以，

△SAQ 為直角三角形，AO′為斜邊SQ 上的高，由射影定理得 SA2=SO′·SQ ，

故

所以該球的半徑

三、構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

有時(shí)我們很難根據(jù)題意和幾何體的圖形確定球心的位置，此時(shí)可根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，采用坐標(biāo)法來解題.求得各個(gè)點(diǎn)、線段的坐標(biāo)，并設(shè)出球心的坐標(biāo)，用向量表示球心到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的距離，建立關(guān)系式，即可求得球心的坐標(biāo)和球的半徑.

例3.已知在三棱錐 P -ABC 中，PA⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =AP =AC =2，求三棱錐 P -ABC 的半徑.

解：

運(yùn)用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系.一般地，盡量使更多的點(diǎn)在同一個(gè)平面或一條直線上，這樣能有效地減少運(yùn)算量.

總之，求幾何體外接球的半徑，關(guān)鍵在于明確球心的位置以及求得半徑的大小.同學(xué)們需仔細(xì)研究幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過補(bǔ)形、構(gòu)造直角三角形、構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系來求得幾何體外接球的半徑.

（作者單位：江蘇省鹽城市大豐區(qū)新豐中學(xué)）