一道三角函數(shù)最值問題的解法、背景及其拓展

李文東

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué) 528454)

2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第16題以三角函數(shù)為背景，考查三角函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)處理最值問題等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、函數(shù)與方程思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是一道難得的好題，值得我們細(xì)細(xì)研究，下面我們給出本題的幾種典型的解法，然后指出其實(shí)際背景，并給出了一個簡單的拓展.

1 題目呈現(xiàn)

題目(2018年全國Ⅰ卷16題)求函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x的最值.

2 解法欣賞

解法1(導(dǎo)數(shù)法) 顯然f(x)為奇函數(shù)且最小正周期為2π，故只需考慮x∈[0,π].

由于f′(x)=2cosx+2cos2x

=2(2cos2x+cosx-1)

=2(2cosx-1)(cosx+1)，

令f′(x)=0，

列表如下：

x0,π3[)π3π3,π(]f ′x()+0-fx()↗極大值↘

點(diǎn)評此題雖然是2018年全國高考的填空壓軸題，難度并不算大，只需要按照導(dǎo)數(shù)求解最值的常規(guī)步驟即可，需要注意的細(xì)節(jié)是抓住f(x)為奇函數(shù)且最小正周期為2π，從而將定義域限制在x∈[0,π]，這樣就給單調(diào)性的討論帶來極大的方便.

解法2(非線性規(guī)劃) 顯然f(x)為奇函數(shù).

故只需求出f(x)的最大值即可.

又f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，

記sinx=m,cosx=n，f(x)=t，

則2m(1+n)=t

圖1

設(shè)切點(diǎn)為(m0,n0)，則有

消去n0和t,得

利用f(x)為奇函數(shù)知

點(diǎn)評令sinx=m,cosx=n，則m2+n2=1，從而將問題轉(zhuǎn)化為一個條件最值問題.

解法3(待定系數(shù)法)f(x)=2sinx(1+cosx)，引入?yún)?shù)k，根據(jù)柯西不等式和均值不等式有：

消去k2,得

cosx+cos2x=sin2x.

進(jìn)一步化簡,得

2cos2x+cosx-1=0.

解法4(均值不等式)

因?yàn)閒(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx)，

所以[f(x)]2=4sin2x(1+cosx)2

=4(1-cosx)(1+cosx)3

當(dāng)且僅當(dāng)3-3cosx=1+cosx，

解法5(琴生不等式) 由f(x)為奇函數(shù)，我們可以限定在0

由琴生不等式，若f(x)為凸函數(shù)，則

由于y=sinx為(0,π)上的凸函數(shù)，

于是f(x)=2sinx+sin2x

=sin(π-x)+sin(π-x)+sin2x

解法6(構(gòu)造幾何模型)

因?yàn)閒(x)=2sinx+sin2x

=2sinx(1+cosx),

圖2

如圖2，設(shè)A(cosx,sinx)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，點(diǎn)B(-1,0)，則

f(x)=2sinx(1+cosx)=2S△AA′B.

3 背景和拓展

此題其實(shí)也有實(shí)際背景，其來源如下：

已知半圓O的直徑為2，AD為直徑，B,C是半圓上除直徑外的兩點(diǎn)，且BC=CD，則四邊形ABCD面積的最大值為____.

圖3

如圖3，連接OB,OC，設(shè)∠BOC=∠DOC=α，

則SABCD=S△OBC+S△OCD+S△OAB

進(jìn)一步，我們可以將此題拓展如下：

拓展求函數(shù)f(x)=sinx(a+cosx),a∈R的最大值.

解析顯然f(x)的周期為2π，且有

f(2π-x)=-f(x) .

即f(x)關(guān)于點(diǎn)(π,0)對稱.

為此我們可以限制定義域?yàn)閇0,π].

f′(x)=2cos2x+acosx-1，

令cosx=t，y′=g(t)=2t2+at-1，

由于Δ=a2+8>0

g(0)=-1<0.

函數(shù)g(t)在[-1,1] 內(nèi)有兩個零點(diǎn)t1,t2，

由于y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減，

故存在唯一的x1,x2使得

由y′=g(t)=2t2+at-1<0，解得t1

即t1

解得x1

由此可知f(x)在[0,x1]上單調(diào)遞增，

在[x1,x2]上單調(diào)遞減，

在[x2,π]上單調(diào)遞增，

由此可知fmax(x)=max{f(x1),-f(x2)}.

代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得:

當(dāng)-1

fmax(x)=-f(x2)=-sinx2(a+cosx2)

而當(dāng)0≤a<1時，

fmax(x)=f(x1)=sinx1(a+cosx1)

(2)當(dāng)a≤-1時，函數(shù)g(t)在[-1,1] 內(nèi)有一個零點(diǎn)t0<0.

由于y=cosx在[0,π]上單調(diào)遞減，

故存在唯一的x0使得

f(x)在[0,x0]上單調(diào)遞減，

在[x0,π]上單調(diào)遞增，

由此可知

fmax(x)=-f(x0)

(3)當(dāng)a≥1時，同理可得

綜上：

做百題不如鉆研一題，通過對一道高考試題的多角度研究，不僅提高了我們的解題能力，而且拓展了我們的思維，使我們從題海中跳出來.