夯實(shí)雙基 拓展關(guān)聯(lián) 技術(shù)賦能*
——以“圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課”的設(shè)計(jì)為例

廣東省廣州市真光中學(xué)(510380)蘇國東

1 前言

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分,但由于知識點(diǎn)多、課時緊迫、新鮮感不足、內(nèi)容機(jī)械重復(fù)等原因,往往收效不顯著.復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)是否有效,直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和復(fù)習(xí)效果.

一節(jié)有效的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課,既需關(guān)注雙基夯實(shí),又要注重適度拓展,既需凸顯本模塊知識,又要體現(xiàn)各章考點(diǎn)的交匯,教學(xué)設(shè)計(jì)力求突破、創(chuàng)新.

“圖形的旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課”的教學(xué)目標(biāo)是復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的定義、要素和性質(zhì),掌握旋轉(zhuǎn)作圖的方法,能利用旋轉(zhuǎn)變換把條件轉(zhuǎn)化和集中,找到解決問題的策略方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,滲透一題多解等重要數(shù)學(xué)思想.本文以復(fù)習(xí)課中的旋轉(zhuǎn)作圖、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)模型、旋轉(zhuǎn)變換、小結(jié)梳理等五部分內(nèi)容為例,呈現(xiàn)設(shè)計(jì)思路,概述教學(xué)過程,并提出復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)的四點(diǎn)反思.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 旋轉(zhuǎn)作圖的復(fù)習(xí)

旋轉(zhuǎn)作圖指的是作出一個圖形繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90?或180?(即中心對稱)后的圖形,主要包括在正方形網(wǎng)格內(nèi)利用網(wǎng)格的特征作圖,以及在平面直角坐標(biāo)系中利用坐標(biāo)的關(guān)系作圖兩大類.在本課的復(fù)習(xí)中,教師將兩種旋轉(zhuǎn)角度、兩類作圖方式、以及對圖形中坐標(biāo)的求解巧妙的結(jié)合在一起,自編題目,逐層推進(jìn),呈現(xiàn)出完整的旋轉(zhuǎn)作圖復(fù)習(xí)過程.

題1:如圖1,在正方形組成的網(wǎng)格中,?AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.

圖1

(1)畫出?AOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90?后得到的圖形?A1OB1;

(2)畫出?AOB關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱的圖形?A2OB2.

教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧并找出兩小問中的旋轉(zhuǎn)三要素,即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度,再請兩位學(xué)生上臺分別畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.接著教師將網(wǎng)格隱藏,以點(diǎn)O為原點(diǎn)添加平面直角坐標(biāo)系,如圖2,并呈現(xiàn)出題目的第(3)問.

圖2

(3)建立如圖2 的平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為____,點(diǎn)A2的坐標(biāo)為____.

一位學(xué)生利用原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)特點(diǎn),直接寫出了點(diǎn)A2的坐標(biāo)為(?3,?2),但學(xué)生沒有學(xué)習(xí)過旋轉(zhuǎn)90?后坐標(biāo)的規(guī)律,也無法依靠網(wǎng)格的特征,故寫不出A1的坐標(biāo).另一位學(xué)生則從點(diǎn)A,A1向坐標(biāo)軸作垂線段,構(gòu)造全等的直角三角形得出長度,進(jìn)而轉(zhuǎn)換出點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(2,?3).

教師適時利用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)三點(diǎn)小結(jié),一是旋轉(zhuǎn)作圖需要明確旋轉(zhuǎn)三要素,以及抓住圖形的特殊點(diǎn)作出對稱點(diǎn);二是要掌握點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為P′(?x,?y)的規(guī)律;三是要掌握長度與坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換的方法以及符號的確定.

2.2 旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是中考的高頻考點(diǎn),也是初中幾何各章節(jié)知識的交匯點(diǎn),在旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)課中需要讓學(xué)生對其重點(diǎn)回顧和熟練運(yùn)用.教師選取了如下題目,并進(jìn)行了一定推廣.

題2:如圖3,在Rt?ABC中,∠ACB=90?,∠A=40?,以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心,將?ABC逆時針旋轉(zhuǎn)到?A′B′C′的位置,其中A′,B′分別是A,B的對應(yīng)點(diǎn),且點(diǎn)B在斜邊A′B′上,直角邊CA′交AB于D,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為____.

圖3

因?yàn)橐阎螦=40?,學(xué)生打算求旋轉(zhuǎn)角∠ACA′,但所在三角形中∠CDA的度數(shù)不易求得.教師提示學(xué)生考慮另一個旋轉(zhuǎn)角∠BCB′.如圖4,學(xué)生發(fā)現(xiàn),根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),有∠A′=∠A=40?,CB′=CB,所以?CBB′為等腰三角形,∠B′=∠B=90??40?=50?,所以∠BCB′=80?.

圖4

教師借助思維導(dǎo)圖作出兩點(diǎn)小結(jié),一是要熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),二是在圖形旋轉(zhuǎn)的過程中,根據(jù)“等線段,共頂點(diǎn)”可以得到等腰三角形.如圖4,連接AA′,則又形成了等腰三角形ACA′,由此可進(jìn)一步求解相關(guān)的角度問題.

教師將問題加以拓展,追問到:

(1)能否求出∠ABA′的度數(shù);

(2)若CB=5,能否求出點(diǎn)B運(yùn)動的路徑長;

(3)若CB=5,能否求出線段CB掃過的圖形面積.

學(xué)生在解題的過程中再次回顧了“八字模型”,以及“圓”章節(jié)中的易錯點(diǎn)——扇形的弧長和面積公式,進(jìn)一步感悟到所學(xué)知識間的關(guān)聯(lián).

2.3 旋轉(zhuǎn)模型的歸納

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不同階段會遇到各種幾何模型,在旋轉(zhuǎn)這一章中,一些圖形和模型又體現(xiàn)出了新的聯(lián)系.例如手拉手模型和夾半角模型,在學(xué)習(xí)全等三角形、菱形、正方形時就有接觸,如今從圖形旋轉(zhuǎn)的角度又得以重新認(rèn)識.

如圖5所示是復(fù)習(xí)手拉手模型的課件界面.首先教師在左下方呈現(xiàn)一張用Geogebra 制作的正方形手拉手模型gif動態(tài)圖片,讓學(xué)生直觀感受模型中的全等三角形,在旋轉(zhuǎn)的角度下重新認(rèn)識模型;接著在左側(cè)給出一般的等腰三角形手拉手模型,師生共同回顧其定義與結(jié)論,依次呈現(xiàn)出無重疊部分、有重疊部分,以及兩邊共線三種情況;再將正方形和等腰直角三角形的手拉手模型放在具體背景中,即生成了兩道中考真題的圖形;最后教師在右側(cè)展開思維導(dǎo)圖,歸納模型特征.

圖5

如圖6所示是復(fù)習(xí)夾半角模型的課件界面,首先教師呈現(xiàn)一張用Geogebra 制作的正方形夾半角模型gif 動態(tài)圖片,師生共同回顧模型的定義與特征,在旋轉(zhuǎn)的角度下重新認(rèn)識模型;接著依次呈現(xiàn)等腰直角三角形、菱形等夾半角模型的gif 動態(tài)圖片,小結(jié)模型的解題方法與結(jié)論,再將正方形的夾半角模型添加背景條件,即生成了一道中考真題的圖形;最后教師在上方展開思維導(dǎo)圖,歸納模型解題的關(guān)鍵點(diǎn).

圖6

2.4 旋轉(zhuǎn)變換的拓展

在模型歸納后,教師對等邊三角形和正方形中的“等線段,共頂點(diǎn)”問題再作深入剖析.如圖7,已知等邊三角形內(nèi)部一點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的距離,教師一題多解的給出六種旋轉(zhuǎn)變換方式,實(shí)現(xiàn)了條件的轉(zhuǎn)化和集中;接著以正方形為例,調(diào)整三段距離長度,編制出題3 的六個不同選項(xiàng),分步遞進(jìn),逐層深入,將線段長度、角度的求解,以及面積的轉(zhuǎn)化問題巧妙串聯(lián)在一起.

圖7

圖8

圖9

實(shí)際教學(xué)中,教師利用希沃白板將此題設(shè)計(jì)成趣味分類課堂活動.請學(xué)生逐個選項(xiàng)講解思路,再依次拖拽到“正確”或“錯誤”框內(nèi),系統(tǒng)自動判別正誤,正確則吸入,錯誤則彈出,增添了學(xué)生講題的趣味性.

教師引導(dǎo)學(xué)生再作思考,能否一題多解,即將旋轉(zhuǎn)改為把?BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到?BP′A的位置,如圖10,是否也能解決問題.

圖10

學(xué)生連接PP′.通過類似的方法可判斷出結(jié)論①②③正確.再連接正方形對角線AC,在直角三角形AP′C中,利用勾股定理可計(jì)算出所以S正方形ABCD=5,得出結(jié)論⑤正確.

最后,教師呈現(xiàn)如下中考真題,讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固、深化解題方法.

題4:(2018年廣州市中考第25 題節(jié)選)如圖11,在四邊形ABCD中,∠ABC=60?,∠ADC=30?,AB=BC.試探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖11

教師展開思維導(dǎo)圖小結(jié)解題方法,在“等線段,共頂點(diǎn)”的情境下可作旋轉(zhuǎn)變換,將條件轉(zhuǎn)化和集中到一個等腰或直角三角形中,進(jìn)而求解線段長度、角度,以及不同線段或角度之間的數(shù)量關(guān)系.

2.5 旋轉(zhuǎn)復(fù)習(xí)的梳理

如圖12,教師利用思維導(dǎo)圖依次呈現(xiàn)出本課完整的復(fù)習(xí)框架,幫助學(xué)生結(jié)構(gòu)化梳理所學(xué)知識.

圖12

3 設(shè)計(jì)反思

3.1 重組知識,凸顯通法

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課知識量大,考點(diǎn)眾多,需要對其歸類重組,以點(diǎn)帶面,凸顯通性通法.本節(jié)課在旋轉(zhuǎn)作圖的復(fù)習(xí)中,通過一道題目有效回顧了旋轉(zhuǎn)和中心對稱的定義、要素和性質(zhì),通過三個小問高效復(fù)習(xí)了網(wǎng)格作圖、構(gòu)造輔助線、確定旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)、長度與坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)換等知識考點(diǎn);在“等線段,共頂點(diǎn)”情境下的多道題目,能夠多題一法構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換,將條件轉(zhuǎn)化在同一圖形中,提煉出具有一般性和通用性的解題方法.

3.2 問題引領(lǐng),拓展延伸

復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)不僅關(guān)注基礎(chǔ)知識的夯實(shí)和基本技能的訓(xùn)練,更重視知識和能力水平的進(jìn)一步提升,更重視各板塊內(nèi)容的交匯和拓展延伸.本節(jié)課在旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換等環(huán)節(jié)均創(chuàng)設(shè)了高質(zhì)量的問題鏈,包括對基本概念性質(zhì)、解答思路的適時設(shè)問,對不同解題方法、各種延伸結(jié)論的多次追問,通過問題引領(lǐng)知識的生成,提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性.

3.3 專題構(gòu)建,真題關(guān)聯(lián)

章節(jié)復(fù)習(xí)課應(yīng)將一些零散的知識概念進(jìn)行有意串聯(lián),將常規(guī)又重要的解題策略加以系統(tǒng)整合,構(gòu)建微專題的復(fù)習(xí)教學(xué).本節(jié)課在復(fù)習(xí)完基本的旋轉(zhuǎn)概念與性質(zhì)后,逐步上升到了以旋轉(zhuǎn)模型與變換為核心的模型解題專題復(fù)習(xí),并將旋轉(zhuǎn)模型添加背景條件,逐一生成中考真題圖形,使知識產(chǎn)生雙向交匯,凸顯微專題的應(yīng)用性;使學(xué)生更深刻理解數(shù)學(xué)知識方法的聯(lián)系,增強(qiáng)建模、用模、解模的能力.

3.4 技術(shù)賦能,交互創(chuàng)新

希沃白板、Geogebra 等軟件和技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂有機(jī)整合,為復(fù)習(xí)課教學(xué)賦能.本節(jié)課白板課件和gif 動圖為教學(xué)創(chuàng)建良好的互動場景,動態(tài)呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)模型的變化;趣味分類課堂活動能增強(qiáng)多選題的答題交互性,營造良性的競爭氛圍;思維導(dǎo)圖工具可自由展開,有助于將階段性小結(jié)和課終總結(jié)變得更加直觀可視化,搭建起立體完整的復(fù)習(xí)框架.