基于反正切函數(shù)的LMS自適應(yīng)濾波算法及應(yīng)用

張曉亞，劉建勛，倪元相，吳 亮，彭金奇

(1 廣東工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電學(xué)院,廣州 510510;2 東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189; 3 廣東理工學(xué)院科技處,廣東 肇慶 526200)

0 引言

無(wú)線電引信是依靠無(wú)線電波來(lái)獲取目標(biāo)物信息，進(jìn)而獲得準(zhǔn)確的引爆時(shí)機(jī)。環(huán)境中的噪聲對(duì)無(wú)線電波的干擾較大，所以對(duì)無(wú)線電波的信號(hào)濾波問(wèn)題成為研究的重點(diǎn)。早在20世紀(jì)80年代，LMS理論就已經(jīng)被提出?；谶@種理論的自適應(yīng)濾波器算法被廣泛應(yīng)用于通信、故障診斷、雷達(dá)引信濾波等領(lǐng)域。然而在收斂性能和穩(wěn)態(tài)特性方面，存在不能同時(shí)兼顧的矛盾。為此研究人員對(duì)LMS算法進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化。汪潮等基于分段的方法，提出了一種變步長(zhǎng)數(shù)學(xué)模型，該模型雖然能夠有效緩解這種矛盾，但是增加了算法的復(fù)雜度和應(yīng)用的局限性，導(dǎo)致實(shí)用性能很低。Li等、Ao等考慮了迭代過(guò)程中的步長(zhǎng)與誤差的非線性關(guān)系，但忽略了相鄰步長(zhǎng)之間的關(guān)系對(duì)算法濾波性能的影響。張紅梅等雖然改善Li等的不足，但步長(zhǎng)算法太復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算量非常大，算法的實(shí)用性不高。

為了完善上述不足，文中依據(jù)LMS原理和反饋控制原理，構(gòu)建了本次步長(zhǎng)和本次誤差與前一次誤差的比率關(guān)系。同時(shí)為了避免算法失去迭代性，有必要在迭代的過(guò)程中，動(dòng)態(tài)的約束步長(zhǎng)的變化。引入一個(gè)約束因子，當(dāng)?shù)螖?shù)比較小時(shí)，該因子幾乎不起作用；當(dāng)?shù)螖?shù)較大時(shí)，該約束因子對(duì)步長(zhǎng)具有一定的約束作用。最后再將新算法模型應(yīng)用到無(wú)線電引信的濾波處理中，以驗(yàn)證其特性。

自適應(yīng)濾波器的基本原理如圖1所示。

圖1 自適應(yīng)濾波器簡(jiǎn)圖

其中：()為輸入信號(hào)；()為輸出信號(hào)；()為與()不相關(guān)的輸入信號(hào)；()為期望信號(hào)；()=()-()。圖1的濾波器是最常用的FIR數(shù)字濾波器。LMS的迭代公式為：

()=()()

(1)

()=()-()

(2)

(+1)=()+2u()()

(3)

式中：為步長(zhǎng)因子。

滿足算法的收斂條件為：0≤≤1，是()的自相關(guān)矩陣最大特征值。

1 自適應(yīng)濾波算法

變步長(zhǎng)的算法模型為：

(4)

式中,,均為常量，其最佳取值為：=50,=02,=2。在此算法模型的基礎(chǔ)上，引入反饋控制函數(shù)和步長(zhǎng)函數(shù)幅度因子。即當(dāng)為常數(shù)時(shí)，將作為跟當(dāng)前與前一次誤差值的比率的平方呈正相關(guān)的動(dòng)態(tài)變量；將當(dāng)是迭代次數(shù)成非線性關(guān)系的動(dòng)態(tài)變量。其表達(dá)式為：

(5)

()=exp()

(6)

改進(jìn)的步長(zhǎng)與誤差關(guān)系的新模型為：

(7)

2 新算法濾波仿真及參數(shù)確定

在新算法模型中，共有4個(gè)待確定的參數(shù)：，，，；自適應(yīng)濾波器階數(shù)為2。濾波器系數(shù)在仿真的過(guò)程中具有兩個(gè)值，開(kāi)始預(yù)設(shè)值是=[08 05]，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為500時(shí)，重置預(yù)設(shè)值=[04 02]。初設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，獨(dú)立仿真次數(shù)為200次。

2.1 確定參數(shù)b對(duì)新算法濾波性能的影響

取=100,=0001,=2時(shí),自適應(yīng)濾波算法的收斂曲線如圖2所示。

圖2 不同b值的算法收斂曲線

由圖2可知：值對(duì)濾波性能的影響主要體現(xiàn)在收斂速度上。當(dāng)=001時(shí)，收斂速度慢；當(dāng)=002時(shí)，收斂速度明顯加快；當(dāng)=004時(shí)，收斂速度與=002時(shí)相比，收斂速度更快。當(dāng)=008時(shí)，收斂速度最快，但是其穩(wěn)態(tài)誤差最大。當(dāng)分別取001，002，004時(shí),曲線的穩(wěn)態(tài)誤差基本沒(méi)有變化。綜合考慮，取=004

所謂的外匯資金池，就是可以自由兌換外幣經(jīng)營(yíng)項(xiàng)目賬戶和資金賬戶的管理模式。外匯資金池的構(gòu)建以委托貸款作為基礎(chǔ)，在其作用下，境內(nèi)企業(yè)外匯資金的運(yùn)用更加便利，外匯資金經(jīng)營(yíng)更加高效。

2.2 確定參數(shù)f對(duì)新算法濾波性能的影響

當(dāng)=004，=100，=2時(shí)，取不同值時(shí)，自適應(yīng)濾波算法的收斂曲線如圖3所示。

圖3 不同f值的算法收斂曲線

由圖可知，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)小于500時(shí)，取不同值幾乎不影響對(duì)收斂曲線的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)大于500時(shí)，的取值對(duì)收斂曲線的穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度都有影響。在穩(wěn)態(tài)誤差方面，當(dāng)分別取-0001，-0002，-0003時(shí)，曲線的穩(wěn)態(tài)誤差大小基本一樣;當(dāng)=-0004時(shí)，曲線的穩(wěn)態(tài)誤差明顯變大。在收斂速度方面，=-0004時(shí)，曲線的收斂速度最慢；當(dāng)=-0003時(shí)，曲線的收斂速度有所加快；當(dāng)=-0002時(shí)，收斂速度明顯加快；當(dāng)=-0001時(shí)收斂速度最快。綜合考慮曲線的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，因此取=-0001。

2.3 確定參數(shù)p對(duì)新算法濾波性能的影響

當(dāng)=004，=-0001，=2時(shí)，取不同值時(shí)，自適應(yīng)濾波算法的收斂曲線如圖4所示。

圖4 不同p值的算法收斂曲線

由圖可知，的取值對(duì)收斂曲線穩(wěn)態(tài)誤差的影響不明顯。當(dāng)=01時(shí)，曲線的收斂速度最慢；當(dāng)=03時(shí)，曲線的收斂速度與=01時(shí)相比收斂速有所加快；當(dāng)=1時(shí)，曲線的收斂速度比=03時(shí)的更快；當(dāng)=20時(shí)，曲線的收斂速度最快。綜合考慮曲線的穩(wěn)態(tài)誤差與收斂速度，取=20。

2.4 確定參數(shù)r對(duì)新算法濾波性能的影響

當(dāng)=004,=-0001,=20時(shí)，取不同值時(shí)，自適應(yīng)濾波算法的收斂曲線如圖5所示。

圖5 不同r值的算法收斂曲線

由圖可知，的取值對(duì)收斂曲線的穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度的影響較大。在收斂速度方面，當(dāng)=4時(shí)，曲線的收斂速度最慢；當(dāng)=3時(shí)，曲線的收斂速度加快；當(dāng)=2時(shí)，曲線的收斂速度明顯加快；=1時(shí)，收斂速度最快。在穩(wěn)態(tài)誤差方面，當(dāng)=4時(shí)，曲線的穩(wěn)態(tài)誤差最大。當(dāng)=3,=2,=1時(shí)，曲線的穩(wěn)態(tài)誤差沒(méi)有明顯差別。綜合考慮，取=1。

2.5 新算法與文獻(xiàn)[11]算法濾波性能對(duì)比

由圖6可知：與文獻(xiàn)[11]算法相比，從收斂速度上可以看出，新算法的收斂性能明顯比較好。從穩(wěn)態(tài)誤差方面看，新算法的穩(wěn)態(tài)誤差值也明顯低于文獻(xiàn)[11]的。綜合以上分析，文中提出的新算法能夠有效改善LMS算法濾波性的不足。

圖6 算法的收斂曲線對(duì)比

3 新算法模型在引信中的應(yīng)用

對(duì)文獻(xiàn)[13]中的超寬帶無(wú)線電引信回波信號(hào)進(jìn)行分析，其時(shí)域的數(shù)學(xué)模型如下：

(8)

式中：為無(wú)線電引信的中心頻率；為無(wú)線電引信的脈沖寬度。為了使得信號(hào)在輸出時(shí)刻近似為零，設(shè)置為08。根據(jù)實(shí)際回波信號(hào)的波形特點(diǎn)。設(shè)置=2 GHz，=5 ns。仿真結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 文獻(xiàn)[11]算法和新算法處理后的回波信號(hào)

圖8 文獻(xiàn)[11]算法與新算法對(duì)回波信號(hào)的誤差性能

由圖7可知：在=4 ns時(shí)，圖7(d)子圖更加接近理想信號(hào)，圖7(c)子圖相比于理想信號(hào)有明顯的失真。新算法濾波的逼真度、濾波性能明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[11]。

由圖8可知：在=2 ns處誤差開(kāi)始產(chǎn)生一次明顯的尖峰效果。此時(shí)，兩種算法產(chǎn)生的尖峰最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值約為：新算法誤差約為0.02；文獻(xiàn)[11]算法誤差約為0.09。即：新算法的抗干擾能力是文獻(xiàn)[11]的4.5倍。

4 結(jié)論

綜合考慮LMS算法的迭代步長(zhǎng)與誤差的關(guān)系，前一次迭代步長(zhǎng)與當(dāng)前迭代步長(zhǎng)的關(guān)系以及當(dāng)前步長(zhǎng)隨著迭代次數(shù)的變化情況，提出了一種能夠涵蓋上述3個(gè)因素的數(shù)學(xué)模型。通過(guò)對(duì)高斯白噪聲和引信濾波信號(hào)的實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中提出的算法具有較好的穩(wěn)態(tài)特性和收斂特性，極大的改善了LMS算法濾波性能的不足。