舉例題的特點(diǎn)及破解策略

陳 龍

(甘肅省酒泉市酒泉市實(shí)驗(yàn)中學(xué))

近年新高考數(shù)學(xué)試卷中,出現(xiàn)了舉例題這類創(chuàng)新開放題型.新高考中數(shù)學(xué)舉例題的創(chuàng)新引入與設(shè)置,是開放與創(chuàng)新的集中體現(xiàn),給試卷帶來了創(chuàng)新的亮點(diǎn),突出了數(shù)學(xué)核心概念,強(qiáng)化了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的有效落實(shí).本文結(jié)合實(shí)例,剖析數(shù)學(xué)舉例題的基本類型及其對(duì)應(yīng)的破解策略,總結(jié)解題的技巧和方法,以期引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

舉例題要求學(xué)生通過給出的已知結(jié)論、性質(zhì)和定理等條件,從題干中獲取信息、整理信息,直接寫出符合題干的結(jié)論或具體實(shí)例;或從題目條件入手,根據(jù)操作要領(lǐng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸,寫出符合題目條件的相關(guān)結(jié)論或?qū)嵗?舉例題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維要求較高,既要有較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),又要有豐富的創(chuàng)新經(jīng)驗(yàn).

舉例題的特點(diǎn):1)問題的準(zhǔn)確性——語(yǔ)言敘述準(zhǔn)確;2)問題的簡(jiǎn)潔性——語(yǔ)言敘述簡(jiǎn)潔;3)問題的思維性——問題有思考空間;4)問題的創(chuàng)新性——?jiǎng)?chuàng)設(shè)的問題要有創(chuàng)新性.

下面結(jié)合實(shí)例對(duì)常見的兩類舉例題——直接舉例問題與變式舉例問題進(jìn)行剖析,總結(jié)規(guī)律,拋磚引玉.

1 直接舉例問題

直接舉例問題是根據(jù)題設(shè)條件,直接寫出一個(gè)符合題意的答案,經(jīng)常在填空題中出現(xiàn).此類問題是開放問題,答案往往不唯一,只要寫出任何一個(gè)符合題意的答案即可,具有很高的靈活性與開放性.

分析 根據(jù)條件中給出的三個(gè)創(chuàng)新關(guān)系式,抽象并確定相應(yīng)函數(shù)的基本性質(zhì),綜合同時(shí)滿足這三個(gè)基本性質(zhì)的函數(shù),直接舉例說明,最終確定滿足三個(gè)條件的函數(shù)解析式.

解 根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)知,冪函數(shù)是滿足性質(zhì)①的函數(shù),同時(shí),冪函數(shù)滿足性質(zhì)③,而滿足性質(zhì)②的函數(shù)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

根據(jù)三個(gè)性質(zhì)例舉一個(gè)滿足條件的函數(shù)即可,為不同水平的學(xué)生提供了充分發(fā)揮數(shù)學(xué)能力的空間,能很好地提升思維的靈活性與開放性,以創(chuàng)設(shè)開放性情境,考查創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新精神.

2 變式舉例問題

變式舉例問題是從題意入手,根據(jù)操作要領(lǐng)進(jìn)行分析處理,創(chuàng)新列舉符合題目條件的變式結(jié)論或相關(guān)命題.此類開放創(chuàng)新問題的形式各樣,變化多端,具有較高的靈活性、拓展性與開放性,只要按條件創(chuàng)新舉例即可.

例3 問題:求出一個(gè)數(shù)學(xué)問題的正確結(jié)論后,將其作為條件之一,提出與原來問題有關(guān)的新問題,我們把它稱為原來問題的一個(gè)“逆向”問題.

給出問題:已知圓C:x2＋(y－1)2＝5,直線l:mx－y＋1－m＝0,若m＝3,求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng).

(1)解答該問題;

(2)給出該問題的一個(gè)有意義的“逆向”問題,并解答你所給出的“逆向”問題.

分析 (1)直接結(jié)合參數(shù)的取值情況確定對(duì)應(yīng)的直線方程,利用圓心到直線的距離進(jìn)行求解,結(jié)合弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可;(2)通過舉例提出問題,并直接解答所提出問題.這里給出幾個(gè)樣本,實(shí)際操作時(shí)提出的問題可能更為多樣,沒有統(tǒng)一答案.

問題2 (面積最值問題)已知圓C:x2＋(ya)2＝b2,直線l:3x－y＋1－ 3＝0,若直線l被圓C所截得弦AB的長(zhǎng)為 17,求圓C面積的最小值.

問題3 (軌跡問題)已知圓C:x2＋(y－1)2＝5截直線l所得弦長(zhǎng)為 17,求弦的中點(diǎn)P的軌跡方程及該軌跡圖形與圓C的面積差.

解決問題:

此題以變式舉例問題的形式加以創(chuàng)設(shè),給定的問題情境是直線與圓的位置關(guān)系.包括原問題在內(nèi)的這4個(gè)問題涉及面較廣泛,在對(duì)原問題進(jìn)行求解,深刻理解了問題的本質(zhì)以后,再逆向思考提出問題進(jìn)行變式舉例,并加以解答,需要的能力必是經(jīng)過數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的訓(xùn)練成果.

舉例題的設(shè)計(jì)面較寬,創(chuàng)設(shè)的基本模式主要包括:1)提出逆向數(shù)學(xué)問題;2)給定某些限制條件,提出一個(gè)正向的數(shù)學(xué)問題;3)給定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)模型,提出一個(gè)有實(shí)際背景的應(yīng)用問題等.借助學(xué)生能否完整地用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、關(guān)系語(yǔ)言敘述一個(gè)具有數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)內(nèi)涵的具體問題,全面考查學(xué)生的“四基”以及各方面的能力,是數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用與深入拓展的一大場(chǎng)所,高考創(chuàng)新情境特色的一大重要?jiǎng)?chuàng)新體現(xiàn).