序進(jìn)教學(xué)：構(gòu)筑目標(biāo)、內(nèi)容、認(rèn)知、過(guò)程一致的數(shù)學(xué)教學(xué)

凌建青 李新

摘要：教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知、教學(xué)過(guò)程等教學(xué)要素都有一定的“序”，具體表現(xiàn)為教學(xué)目標(biāo)的序列、知識(shí)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)、學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律、教學(xué)過(guò)程的組織?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”旨在構(gòu)建目標(biāo)、內(nèi)容、認(rèn)知、過(guò)程一致的數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)立序、變序、進(jìn)序、優(yōu)序等實(shí)施路徑更好地推進(jìn)教學(xué)進(jìn)程，實(shí)現(xiàn)教學(xué)優(yōu)化、學(xué)習(xí)優(yōu)質(zhì)、發(fā)展優(yōu)先。

關(guān)鍵詞：序進(jìn)教學(xué);教學(xué)目標(biāo);知識(shí)結(jié)構(gòu);認(rèn)知規(guī)律;教學(xué)組織

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2022）02A-0109-05

一、“序進(jìn)教學(xué)”的界定

“序進(jìn)”源于“循序漸進(jìn)”?！靶颉笔侵钢R(shí)本身的順序和人們認(rèn)識(shí)事物的順序，表現(xiàn)為一個(gè)序列、一個(gè)過(guò)程，兩者構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一的整體?！斑M(jìn)”是指學(xué)習(xí)的步驟、進(jìn)度和速度，它不是無(wú)序的，而是按照知識(shí)的序列和認(rèn)知的過(guò)程漸進(jìn)的，不能躍進(jìn)，也不能顛倒?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”是指遵循“循序漸進(jìn)”的原則，審視教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)先序列，把握知識(shí)內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，探索學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知規(guī)律，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程的組織程序，構(gòu)建目標(biāo)、內(nèi)容、認(rèn)知、過(guò)程一致的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。“序進(jìn)教學(xué)”具有三個(gè)特征：一是教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)先序列性，二是教學(xué)過(guò)程的組織序列性，三是數(shù)學(xué)課堂的“教、學(xué)、評(píng)”一致性。

二、“序進(jìn)教學(xué)”的緣由

（一）教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的“序進(jìn)”認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致“結(jié)構(gòu)化”缺失

系統(tǒng)論告訴我們，自然界、人類社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域的系統(tǒng)都存在一定的結(jié)構(gòu)。“結(jié)構(gòu)是指系統(tǒng)內(nèi)部各組成要素之間在空間和時(shí)間方面的有機(jī)聯(lián)系與相互作用的方式或者順序?！盵1]數(shù)學(xué)教材主要是根據(jù)該學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平以及時(shí)代對(duì)教育的要求，用文字等形式來(lái)表達(dá)的一種知識(shí)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)本身的嚴(yán)密性和邏輯性，體現(xiàn)了教材編排的“螺旋上升”的特點(diǎn)。教材的結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，就是學(xué)習(xí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。教學(xué)時(shí)，設(shè)計(jì)好知識(shí)結(jié)構(gòu)的序，有利于更好地揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，便于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效性。

（二）教師對(duì)兒童認(rèn)知發(fā)展的“序進(jìn)”理解不夠，致使“生本化”缺失

從教育心理學(xué)角度看，人的生理因素和心理因素都呈現(xiàn)出一定的年齡特性，體現(xiàn)為由弱到強(qiáng)、由低到高、由單純到綜合的發(fā)展過(guò)程，呈現(xiàn)出一定的層次序列形式。皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論提出，兒童認(rèn)知發(fā)展可以分為四個(gè)階段：感知運(yùn)算階段、前運(yùn)算階段、具體運(yùn)算階段、形式運(yùn)算階段。認(rèn)知發(fā)展的四個(gè)階段就是一種規(guī)律，是按照固定的連續(xù)性的順序，一個(gè)一個(gè)出現(xiàn)的，某一個(gè)階段不能得到正常的發(fā)展，就會(huì)影響下一階段的發(fā)展。加涅在20世紀(jì)60年代初期提出了“學(xué)習(xí)階層”概念，指出學(xué)習(xí)活動(dòng)有其合理的次序存在，較簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)為較復(fù)雜的學(xué)習(xí)預(yù)備條件。數(shù)學(xué)概念、原理原則及運(yùn)算技巧等的學(xué)習(xí)，均有一定的先后排列及學(xué)習(xí)階層順序[2]。教師的教學(xué)要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把握好學(xué)生認(rèn)知的序列與節(jié)奏，才能做到“以學(xué)定教”“順學(xué)而教”。

（三）教師對(duì)教學(xué)過(guò)程的“序進(jìn)”應(yīng)用不力，致使“一致性”缺失

教學(xué)是“教師引起、維持或促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的所有行為”[3]。這些“所有行為”都是為了達(dá)成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生多維的發(fā)展。而目標(biāo)是否達(dá)成需要教學(xué)評(píng)價(jià)來(lái)檢驗(yàn)，因此，教學(xué)過(guò)程需要關(guān)注目標(biāo)、教學(xué)、評(píng)價(jià)之間的一致性。教學(xué)時(shí)，教學(xué)目標(biāo)要關(guān)聯(lián)教學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展;學(xué)習(xí)（評(píng)價(jià)）任務(wù)的設(shè)計(jì)要指向教學(xué)目標(biāo)，要著眼于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，要有適度的挑戰(zhàn)性，利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性、參與性;教學(xué)評(píng)價(jià)要融入教學(xué)過(guò)程，要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)證據(jù)，利于檢驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度。

三、“序進(jìn)教學(xué)”的意義

（一）“序進(jìn)教學(xué)”遵從兒童立場(chǎng)，構(gòu)筑具有適切性的數(shù)學(xué)教學(xué)

“教育應(yīng)站在兒童的立場(chǎng)上。”[4]無(wú)論是皮亞杰的“認(rèn)知發(fā)展階段”理論、維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，還是范希爾的“幾何思維水平”理論，都表明了兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是循序漸進(jìn)的?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”主張“探索學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律”，即遵從兒童立場(chǎng)，從兒童視角出發(fā)。首先是找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，分析學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)與教材的邏輯起點(diǎn)之間的匹配程度，從而明了學(xué)生現(xiàn)在“在哪兒”。其次，基于對(duì)教學(xué)知識(shí)內(nèi)容的解讀，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)、認(rèn)知沖突點(diǎn)，對(duì)教材內(nèi)容的序與學(xué)生認(rèn)知的序的一致性進(jìn)行分析，呈現(xiàn)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，便于學(xué)生主動(dòng)而有效地建構(gòu)新知，從而構(gòu)筑適合學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的數(shù)學(xué)課堂。

（二）“序進(jìn)教學(xué)”融通各教學(xué)要素，構(gòu)筑具有一致性的數(shù)學(xué)教學(xué)

“教、學(xué)、評(píng)一致性”是檢驗(yàn)教學(xué)是否有效的重要指標(biāo)?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”主張教學(xué)目標(biāo)、知識(shí)內(nèi)容、認(rèn)知規(guī)律、教學(xué)過(guò)程是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵要素，教學(xué)目標(biāo)指向的是“為什么教”，知識(shí)內(nèi)容指向的是“教什么”，認(rèn)知規(guī)律指向的是“怎么學(xué)”，教學(xué)過(guò)程指向的是“怎么教”。這四個(gè)要素并不是孤立存在的，而是相輔相成的?；谥R(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知制定出的教學(xué)目標(biāo)才具有合理性和適切性，當(dāng)教學(xué)目標(biāo)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、學(xué)生認(rèn)知保持一致時(shí)，才能設(shè)計(jì)出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)過(guò)程?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”通過(guò)深入分析這些要素的內(nèi)在邏輯與層次，從“教、學(xué)、評(píng)”一致性的視角進(jìn)行內(nèi)容整合、結(jié)構(gòu)優(yōu)化，保證教學(xué)組織的連貫性，促進(jìn)教學(xué)的有效性。

（三）“序進(jìn)教學(xué)”促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)，構(gòu)筑具有發(fā)展性的數(shù)學(xué)教學(xué)

常規(guī)的教學(xué)研究，普遍只對(duì)教材內(nèi)容及教學(xué)過(guò)程做點(diǎn)狀研究，而缺少各要素的整合研究?！靶蜻M(jìn)教學(xué)”指向教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知、教學(xué)過(guò)程等諸多教學(xué)要素的“序”的整體性研究，使教師形成結(jié)構(gòu)化的研究視角、系統(tǒng)化的思維方式，確立了教學(xué)的目標(biāo)意識(shí)，提升了教師解讀教材的能力，強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生認(rèn)知的研究，優(yōu)化了教學(xué)過(guò)程的組織，必然能提高課堂教學(xué)的效率，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。正如馬立平在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書中指出的，對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有深刻理解的教師，總是傾向于在數(shù)學(xué)概念和方法間建立聯(lián)系，從單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單、淺表的聯(lián)系，到不同運(yùn)算和子領(lǐng)域的復(fù)雜、潛在的聯(lián)系。在這種聯(lián)系的過(guò)程中，學(xué)生學(xué)到的是整體的知識(shí)[5]。

四、“序進(jìn)教學(xué)”的實(shí)施路徑

（一）立序：依據(jù)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“立序”是對(duì)教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知的序列化研究。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把“了解”“理解”“掌握”“運(yùn)用”作為一類描述結(jié)果目標(biāo)的行為動(dòng)詞。“了解”是指根據(jù)對(duì)象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或者舉例說(shuō)明對(duì)象，但“了解”不等于“理解”?！袄斫狻敝赶蛑R(shí)本質(zhì)，是學(xué)生探索事實(shí)意義的結(jié)果?！罢莆铡焙汀斑\(yùn)用”須以理解為基礎(chǔ)，反過(guò)來(lái)，“掌握”和“運(yùn)用”又能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解?！傲私狻薄袄斫狻薄罢莆铡薄斑\(yùn)用”指向教學(xué)目標(biāo)的四個(gè)維度。因此，一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)的制定首先是一個(gè)目標(biāo)分類的過(guò)程。教師應(yīng)明確教學(xué)內(nèi)容哪些指向“了解”、哪些指向“理解”、哪里指向“掌握”或者“運(yùn)用”，再根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行必要的加工、改造。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)厘米”一課，從數(shù)學(xué)知識(shí)的維度看，“厘米”屬于一個(gè)數(shù)學(xué)概念;從學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程看，認(rèn)識(shí)厘米的目標(biāo)指向是“理解”。因此，教學(xué)目標(biāo)要圍繞“學(xué)習(xí)需要的產(chǎn)生、正確理解1厘米的長(zhǎng)度概念、學(xué)會(huì)度量的方法”設(shè)定。

布魯納認(rèn)為，知識(shí)是由概念、命題、基本原理及其彼此之間的相互聯(lián)系組成的。這就是知識(shí)結(jié)構(gòu)，促使認(rèn)知發(fā)展的學(xué)習(xí)應(yīng)該以“學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)”為主要任務(wù)，以幫助學(xué)生在知識(shí)的整體與局部、本質(zhì)與現(xiàn)象的聯(lián)系之中掌握知識(shí)[6]。這就需要教師解讀教材內(nèi)容的序列，包括同一知識(shí)點(diǎn)在各學(xué)段的編排特點(diǎn)和相應(yīng)的“課標(biāo)”要求，明確這一知識(shí)在整個(gè)單元體系中的地位、作用和價(jià)值，以及知識(shí)本身產(chǎn)生、生長(zhǎng)、形成的過(guò)程。如“認(rèn)識(shí)厘米”是度量單位的教學(xué)的“種子課”，教材編排的序列是“度量單位的產(chǎn)生的需要及統(tǒng)一度量單位的必要性，建立度量單位的正確的直觀表象，會(huì)用度量的個(gè)數(shù)來(lái)表示度量的結(jié)果”。這與面積單位、體積單位等其他度量單位的教材編排序列是相似的。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要理解概念，掌握規(guī)則，運(yùn)用規(guī)則，進(jìn)行記憶、分析、綜合、比較、推理、抽象等有目的數(shù)學(xué)活動(dòng)。這些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外顯行為主要依賴于學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)、已有知識(shí)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等內(nèi)隱因素。教師要基于知識(shí)內(nèi)容對(duì)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行分析，思考學(xué)生對(duì)此內(nèi)容有無(wú)相關(guān)的生活經(jīng)驗(yàn)、已有了怎樣的知識(shí)儲(chǔ)備、認(rèn)知困難在哪里、教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否匹配等。如“認(rèn)識(shí)厘米”一課，學(xué)生在先前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“比長(zhǎng)短”，對(duì)長(zhǎng)短的概念有了初步的認(rèn)識(shí)。在實(shí)際的生活中，學(xué)生對(duì)測(cè)量和測(cè)量工具有一些感性的認(rèn)識(shí)，這些都是學(xué)生學(xué)習(xí)厘米的認(rèn)知基礎(chǔ)，但對(duì)于厘米這一長(zhǎng)度單位的認(rèn)識(shí)是不完整、不系統(tǒng)的。理解“為什么要認(rèn)識(shí)厘米”“如何建立1厘米的長(zhǎng)度概念”“用厘米作為單位測(cè)量的本質(zhì)是什么”，不僅是學(xué)生掌握度量單位的認(rèn)知過(guò)程，而且對(duì)應(yīng)了教材的編排序列。

基于以上分析，“認(rèn)識(shí)厘米”一課的教學(xué)序列主要有以下四個(gè)：創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生運(yùn)用度量單位的需要;用不同的工具測(cè)量同一物體的長(zhǎng)度，引發(fā)統(tǒng)一單位的需要;通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)充分建構(gòu)1厘米的正確表象;在具體的測(cè)量過(guò)程中發(fā)現(xiàn)“度量的個(gè)數(shù)表示度量的結(jié)果”。

（二）變序：順應(yīng)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“變序”是讓知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)更適合學(xué)生認(rèn)知的序列。

數(shù)學(xué)教材是按一定的邏輯結(jié)構(gòu)編排的，具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性、抽象性、封閉性，教材的單元或者課時(shí)進(jìn)度對(duì)應(yīng)了教材編排的邏輯起點(diǎn)。邏輯起點(diǎn)基本是以固定的方式存在的，而現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)則因?qū)W生個(gè)體經(jīng)歷、經(jīng)驗(yàn)、已有知識(shí)等方面的差異而各不相同。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，教師教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式教學(xué)和因材施教。當(dāng)教材的邏輯起點(diǎn)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)不一致時(shí)，需要教師“變序”。教師可以通過(guò)“前測(cè)”了解學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，并以此確定教學(xué)的起點(diǎn)。如教師通過(guò)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的意義和讀寫方法”一課的“學(xué)情前測(cè)”發(fā)現(xiàn)，全班45個(gè)學(xué)生，只有2個(gè)學(xué)生對(duì)小數(shù)的讀寫有誤，但從訪談中發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生并不理解小數(shù)的意義。因此，教師教學(xué)時(shí)要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，把更多的時(shí)間和精力放在小數(shù)的產(chǎn)生過(guò)程和意義理解上。

教學(xué)不是師生單向輸出和輸入的過(guò)程。怎樣教學(xué)才能維持和促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)？這需要教師提供序列化的材料和組織循序漸進(jìn)的教學(xué)過(guò)程。數(shù)學(xué)教材內(nèi)容本身是按一定邏輯結(jié)構(gòu)編排的，是靜態(tài)呈現(xiàn)的客觀事實(shí)。但教材的固有邏輯不一定對(duì)應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，教學(xué)內(nèi)容也不一定能夠成為學(xué)生直接的學(xué)習(xí)對(duì)象。這時(shí)，需要教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行變序。如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“加法交換律和結(jié)合律”一課，教材安排了兩個(gè)例題，例1是加法交換律，例2是加法結(jié)合律，這樣的編排體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性。但從學(xué)生的學(xué)習(xí)需要看，在研究完加法交換律之后，學(xué)生會(huì)想：在其他的運(yùn)算中也有交換律嗎？從學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程看，學(xué)生主要是通過(guò)列舉大量實(shí)例，用不完全歸納法探索加法交換律，從而發(fā)現(xiàn)“任意兩個(gè)數(shù)相加，交換它們的位置，和不變”。用同樣的方法去研究減法、乘法、除法中是否也有交換律更具遷移性，一是同樣探究?jī)蓚€(gè)數(shù)之間的關(guān)系，二是都需要用不完全歸納法。由此可見(jiàn)，將加法交換律與乘法結(jié)合律作為同一課的編排更符合學(xué)生認(rèn)知的序列。

（三）進(jìn)序：服從兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“進(jìn)序”指向的是教學(xué)過(guò)程的合理組織。

對(duì)一個(gè)完整的教學(xué)過(guò)程來(lái)說(shuō)，“序”與“進(jìn)”是互相聯(lián)系、互相制約、互相促進(jìn)、協(xié)調(diào)發(fā)展的統(tǒng)一體。“序”是制約“進(jìn)”的前提條件，背離了客觀存在的“序”，就談不上有效的“進(jìn)”。“進(jìn)”是在符合“序”的要求的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的，越是合理的“序”，就越能保證學(xué)習(xí)質(zhì)量，節(jié)約學(xué)習(xí)時(shí)間，加快學(xué)習(xí)速度，提高學(xué)習(xí)效率。從數(shù)學(xué)教材的特點(diǎn)看，絕大多數(shù)的教材內(nèi)容不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)本身的邏輯性，還指明了學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律。如“問(wèn)題解決策略”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)的特色內(nèi)容，有關(guān)解決問(wèn)題的策略的教學(xué)，教材的編排結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了以下四個(gè)序列：“弄清題意（已知條件和未知條件）—擬定計(jì)劃（怎么想，準(zhǔn)備用什么方法解決）—實(shí)施計(jì)劃（列式解答）—回顧反思（總結(jié)提煉，方法結(jié)構(gòu)化）”，這也是學(xué)生解決問(wèn)題的基本程序，教學(xué)過(guò)程的組織也應(yīng)按此序列逐層進(jìn)階。因此，“教師要把教材提供的邏輯順序轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)活動(dòng)順序，并結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)進(jìn)程，安排恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)課堂教學(xué)情境，以使課堂教學(xué)活動(dòng)適合學(xué)生的認(rèn)識(shí)發(fā)生規(guī)律”[7]。

“序”包含著學(xué)習(xí)內(nèi)容的邏輯順序、學(xué)習(xí)者智能發(fā)展的順序，以及學(xué)習(xí)者的認(rèn)識(shí)順序?！靶颉睕Q定了教學(xué)的步驟、學(xué)生學(xué)習(xí)的程序?！斑M(jìn)”是指教學(xué)的進(jìn)度與節(jié)奏，而教學(xué)進(jìn)度與節(jié)奏的快慢取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)速度和掌握程度，這就需要教師“以學(xué)定教”。例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師主要預(yù)設(shè)了四個(gè)教學(xué)序列。序列一是“解決如何比較三位選手的投籃成績(jī)（需要）”，序列二是“歸納得出百分?jǐn)?shù)的意義（理解）”，序列三是“說(shuō)一說(shuō)生活中的百分?jǐn)?shù)（應(yīng)用）”，序列四是“百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的比較（聯(lián)系）”。但實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)歷了“序列一”的過(guò)程之后，并不能順利地歸納出百分?jǐn)?shù)的意義，導(dǎo)致教師直接給出結(jié)論的情況比較多。究其原因是學(xué)生只經(jīng)歷了“如何比較三位選手的投籃成績(jī)”學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)百分?jǐn)?shù)的意義感受還不深刻?？梢酝ㄟ^(guò)增加生活實(shí)例進(jìn)行分析，加強(qiáng)學(xué)生的過(guò)程體驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生充分感知后，概念的得出自然也水到渠成，而不是急于“進(jìn)序”。

（四）優(yōu)序：提升兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

“優(yōu)序”是指在實(shí)踐、反思的基礎(chǔ)上改進(jìn)教學(xué)序列，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程。

“立序”“變序”指向教學(xué)設(shè)計(jì)，“進(jìn)序”指向教學(xué)實(shí)施。教學(xué)沒(méi)有最好，只有更好，教學(xué)實(shí)踐既是對(duì)教學(xué)預(yù)設(shè)的檢驗(yàn)，又是教師研究與反思的最好載體。教師可以通過(guò)自我觀察，或者借助教研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行課堂觀察，對(duì)教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容、學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程、教學(xué)組織的序列進(jìn)行診斷、分析與評(píng)價(jià);通過(guò)思考怎樣的知識(shí)序列更符合學(xué)生的認(rèn)知、學(xué)生的認(rèn)識(shí)難點(diǎn)在哪里、如何組織教學(xué)序列更有效等，改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)化教學(xué)序列，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。例如蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略（畫圖）”一課，教師按“弄清題意—擬定計(jì)劃—實(shí)施計(jì)劃—回顧反思”四個(gè)序列組織教學(xué)。首先教師出示例題“小春和小寧共有72枚郵票，小春比小寧多12枚郵票，兩人各有郵票多少枚？”在引導(dǎo)學(xué)生弄清題意后，教師要求學(xué)生把題中的條件和問(wèn)題用畫圖的方式表示出來(lái)，結(jié)果全班只有個(gè)別學(xué)生能夠較完整地畫出線段圖。盡管學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中已經(jīng)對(duì)線段圖等畫圖的策略有過(guò)接觸，但沒(méi)有獨(dú)立完整地畫過(guò)線段圖，教師提出的要求超過(guò)了學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生無(wú)法“跳一跳，摘到桃”。教師反思后進(jìn)行了“優(yōu)序”，在學(xué)生分析題意后，先出示一條線段，提問(wèn)學(xué)生：“這一線段表示的是小寧的郵票，你能把題目中的條件和問(wèn)題用線段圖表示出來(lái)嗎？”有了“腳手架”，絕大多數(shù)學(xué)生能夠獨(dú)立完成了。

“立序”“變序”“進(jìn)序”“優(yōu)序”是循序漸進(jìn)的具體落實(shí)，是推進(jìn)教學(xué)由低到高、由易到難、由淺入深的循序發(fā)展過(guò)程，是促進(jìn)學(xué)生有效地掌握系統(tǒng)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的過(guò)程。

當(dāng)然，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展過(guò)程看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是將生活常識(shí)經(jīng)過(guò)提煉和組織，凝聚成一定的法則。這些法則在高一層次里又成為常識(shí)，經(jīng)過(guò)再一次提煉、組織，凝聚成新的法則，如此循環(huán)上升。這實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)“序進(jìn)”的過(guò)程，同樣需要教師遵循“序進(jìn)”的原則，促進(jìn)學(xué)生更好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展。

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