基于自適應(yīng)多項(xiàng)式擬合的渦流測(cè)量校正方法

王 寧， 陳友興， 楊 凌， 金 永

(中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

在能源、化工、航天等行業(yè)中，粘貼或噴鍍的非金屬涂層厚度對(duì)整個(gè)產(chǎn)品的工作性能、穩(wěn)定性和使用安全都發(fā)揮著極其重要的作用[1]。如固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的涂層是發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥的重要組成部分，太厚或太薄均會(huì)影響發(fā)動(dòng)機(jī)的正常工作[2]；石油工業(yè)中的運(yùn)輸管道常在其內(nèi)表面噴涂非金屬涂層防止因腐蝕而發(fā)生漏油，過厚或過薄均會(huì)造成安全事故[3-6]。因此，在產(chǎn)品使用前或使用過程中，有必要對(duì)涂層厚度進(jìn)行測(cè)量，以確保其使用安全。

渦流檢測(cè)以不需要耦合劑、操作簡(jiǎn)便、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)等優(yōu)點(diǎn)常用于測(cè)量特殊金屬基體內(nèi)表面的涂層厚度[7-8]。但在實(shí)際測(cè)量過程中，被測(cè)基體表面形狀和探頭與被測(cè)基體的距離均會(huì)對(duì)檢測(cè)線圈與基體的電磁耦合產(chǎn)生一定的影響，從而造成測(cè)量誤差大。由于常規(guī)誤差校正方法中往往采用的高階多項(xiàng)式、高斯函數(shù)等擬合方法復(fù)雜化會(huì)影響實(shí)際檢測(cè)的效率。因此，研究渦流測(cè)厚過程中曲面金屬誤差校正方法簡(jiǎn)單化、系統(tǒng)化具有實(shí)際工程意義。

文獻(xiàn)[9]為了提高金屬零件表面絕緣涂鍍層厚度測(cè)量精度，針對(duì)大曲率半徑1 125，3 000 mm的鋁合金試件為研究對(duì)象，采用了9階多項(xiàng)式、多峰高斯函數(shù)等四種復(fù)雜函數(shù)分別在每一種曲率下對(duì)電流信號(hào)與提離距離進(jìn)行標(biāo)定，通過優(yōu)化標(biāo)定方法，減小了測(cè)量誤差。但該方法在一定程度上增加了測(cè)量與計(jì)算的工作量。文獻(xiàn)[10]通過建立二元三階多項(xiàng)式的擬合模型，研究了磁感應(yīng)強(qiáng)度與雙層涂層厚度之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[11]針對(duì)厚涂層測(cè)量精度較低的問題，以曲率半徑50～80 mm的不銹鋼球面為研究對(duì)象，采用了4階多項(xiàng)式、高斯函數(shù)等四種擬合函數(shù)分別在每一種曲率下對(duì)渦流信號(hào)與提離距離進(jìn)行標(biāo)定，通過優(yōu)化標(biāo)定曲線的方法將測(cè)量誤差控制在0.09 mm以內(nèi)。文獻(xiàn)[12]為提高曲面試件的渦流測(cè)距精度，在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，研究了曲率對(duì)渦流信號(hào)的影響，提出了一種基于渦流信號(hào)差值的測(cè)距修正方法，提高了曲面測(cè)距精度。文獻(xiàn)[13]通過建立等效電路模型，得到了測(cè)量靈敏度與傳感器參數(shù)之間的關(guān)系，通過優(yōu)化傳感器靈敏度實(shí)現(xiàn)了對(duì)納米銅膜厚度的測(cè)量。

上述研究分析了渦流曲面測(cè)量的影響因素，并針對(duì)優(yōu)化標(biāo)定方法和提高精度等方向做出了相應(yīng)貢獻(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，本文從渦流測(cè)量值與真實(shí)值的關(guān)系角度，研究小曲率曲面金屬誤差校正簡(jiǎn)單化的方法，分析了曲面曲率半徑對(duì)渦流信號(hào)的影響，在能夠滿足工程應(yīng)用0.1 mm測(cè)量誤差要求下，提出了自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合的校正方法，建立了多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的可行性。

1 曲面涂層測(cè)厚原理及影響因素

1.1 管狀內(nèi)表面涂層厚度測(cè)量原理

利用渦流提離效應(yīng)進(jìn)行涂層厚度測(cè)量的原理如圖1所示。通過渦流探頭到被測(cè)基體內(nèi)表面提離距離x0的大小即可計(jì)算出涂層厚度。渦流探頭垂直置于被測(cè)基體的上方，R為曲率半徑，d為被測(cè)基體的厚度。在測(cè)量曲面涂層厚度時(shí)易受到被測(cè)基體曲率影響，測(cè)量誤差會(huì)變大。采用渦流探頭EU15以及渦流傳感器eddyNCDT-3300對(duì)其內(nèi)表面涂層進(jìn)行檢測(cè)，選取曲率半徑R=25 mm、35 mm、50 mm、70 mm、90 mm的管狀試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖2所示，提離距離范圍0.1～7 mm。渦流信號(hào)隨曲面曲率半徑的變化如圖3所示。

圖2 檢測(cè)試件

1.2 曲面曲率半徑對(duì)渦流信號(hào)的影響

圖3所示為改變被測(cè)基體的曲率半徑大小，提離1，3，5，7 mm下的測(cè)量值隨曲率半徑變化的情況?？梢钥闯?，在同一提離下，測(cè)量值隨著曲率半徑的增大而減小。圖4為提離1，3，5，7 mm下渦流信號(hào)隨曲率半徑變化的測(cè)量誤差。

圖3 曲率變化對(duì)渦流信號(hào)的影響

圖4 渦流信號(hào)隨曲率變化的誤差

由圖4可知，在同一提離下，測(cè)量誤差隨著曲率半徑的增大而逐漸減小。在同一曲率半徑下，隨著提離增大，測(cè)量誤差也在減小。說明曲率半徑、測(cè)量值與真實(shí)值之間存在一定的關(guān)系。

2 多項(xiàng)式擬合校正方法

設(shè)擬合多項(xiàng)式為：

式中：a0、a1、···、ak——待定多項(xiàng)式參數(shù)；

k——擬合多項(xiàng)式的最高次數(shù)；

x——測(cè)量值；

y——真實(shí)值。

為更直觀表示測(cè)量值與真實(shí)值的函數(shù)關(guān)系，測(cè)量值在文中具體用表示，真實(shí)值用表示。

將式（1)表示為矩陣的形式，可得到：

表示為矩陣形式，如下：

系數(shù)矩陣A即可由公式（3）計(jì)算得出，通過對(duì)測(cè)量值與真實(shí)值進(jìn)行擬合運(yùn)算，相比于二階多項(xiàng)式，四階、九階多項(xiàng)式及高斯函數(shù)的運(yùn)算量較大，其多項(xiàng)式參數(shù)多且復(fù)雜度高。

為更好分析擬合方法的好壞，對(duì)四種擬合曲線的擬合指標(biāo)和方差（SSE）、均方根（RMSE）、確定系數(shù)（R-square）進(jìn)行分析。其中和方差（SSE）越接近0，說明模型選擇擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)也越成功。均方根（RMSE），也叫擬合標(biāo)準(zhǔn)差，表示原始數(shù)據(jù)相對(duì)于擬合曲線的偏離程度，越接近0，誤差越小。確定系數(shù)（R-square）近似于1時(shí)，表明方程的變量對(duì)y的解釋能力越強(qiáng)，函數(shù)模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合越好。趨勢(shì)線最可靠[14]。

通過比較高斯函數(shù)、二階、四階及九階多項(xiàng)式的擬合指標(biāo)，具體對(duì)比結(jié)果在表1中給出。

表1 四種擬合方法對(duì)比結(jié)果

由表1中數(shù)據(jù)可知，高斯函數(shù)擬合指標(biāo)不理想，而二階與四階、九階多項(xiàng)式相比，各項(xiàng)擬合指標(biāo)均較接近。進(jìn)一步分析了4種擬合方法的誤差如圖5所示，可以看出，高斯函數(shù)擬合誤差較大，二階與四階、九階的擬合誤差相近。

圖5 四種擬合方法的誤差

綜上，為了降低參數(shù)復(fù)雜度，在滿足測(cè)量誤差的要求下，本文采用二階多項(xiàng)式的擬合方法，其表達(dá)式為：

其中h和H分別表示不同曲率半徑下的真實(shí)值和測(cè)量值。

為了驗(yàn)證采用二階多項(xiàng)式擬合方法的效果，如圖6所示，對(duì)曲率半徑R=25 mm擬合前后的測(cè)量誤差進(jìn)行了分析。

圖6 擬合前后誤差

從圖6可以看出，未擬合時(shí)的最大測(cè)量誤差為0.058 mm，擬合后的最大測(cè)量誤差為0.042 mm。所以采用二階多項(xiàng)式擬合比未擬合的誤差要小。

由此可得，采用二階多項(xiàng)式擬合后不僅減小了誤差，而且降低了參數(shù)復(fù)雜度。所以，首先對(duì)曲率半徑R=25 mm時(shí)的測(cè)量值與真實(shí)值進(jìn)行擬合，其結(jié)果如圖7所示。

圖7 擬合結(jié)果

從圖7可知，二階多項(xiàng)式擬合曲線各點(diǎn)幾乎分布在曲線上，其擬合曲線與原始數(shù)據(jù)吻合性很好，偏差最小，同理可得到其余四種曲率半徑下的真實(shí)值與測(cè)量值的擬合曲線。

3 多項(xiàng)式的自適應(yīng)參數(shù)求解

3.1 自適應(yīng)參數(shù)求解

在降低參數(shù)復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將得到的二階多項(xiàng)式參數(shù)系統(tǒng)化，在滿足適用性及測(cè)量誤差的要求下，通過自適應(yīng)參數(shù)求解，建立多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。

在不同系數(shù)矩陣A中ak（k=0, 1, 2）的值會(huì)隨著曲率半徑不同而變化，如果按某一個(gè)確定的自適應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于任意半徑R，在A中 都有唯一的參數(shù)a與之相適應(yīng)，其自適應(yīng)關(guān)系可表示為：

以本文的5種曲率半徑為例，由式(4)分別得到5種曲率半徑下的測(cè)量值與真實(shí)值的表達(dá)式。由于多項(xiàng)式參數(shù)隨曲率半徑變化，即參數(shù)a0、a1、a2分別為5種曲率半徑下對(duì)應(yīng)的5個(gè)不同數(shù)值。問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉謩e求參數(shù)a0、a1、a2與曲率半徑R的函數(shù)。

在考慮系數(shù)復(fù)雜度的情況下，首先以參數(shù)a0為因變量，曲率半徑為自變量，優(yōu)先采用二階多項(xiàng)式對(duì)其進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的參數(shù)a0-曲率半徑R擬合函數(shù)，由于參數(shù)a0與曲率半徑R的二階擬合效果不理想，而采用的三階擬合效果較好，由此得到了參數(shù)a0與曲率半徑R的自適應(yīng)關(guān)系：

同理分別得到參數(shù)a1、a2與半徑的自適應(yīng)關(guān)系：

由式(6)～(8)便系統(tǒng)性地建立了各多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的表達(dá)式。

將式(6)～(8)代入式(4)即可計(jì)算出不同曲率下的實(shí)際值。首先計(jì)算了曲率半徑R=25 mm下的實(shí)際值，并與真實(shí)值作對(duì)比，其結(jié)果如圖8所示。從圖8可以看出，計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值吻合度很高。

圖8 計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值比較

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

進(jìn)一步對(duì)比通過該方法計(jì)算的不同曲率下的實(shí)際值與真實(shí)值的誤差，結(jié)果見圖9。由圖可得，不同曲率下計(jì)算得到的實(shí)際值與真實(shí)值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內(nèi)。通過代入后的式(4)不僅可以計(jì)算出5種曲率下的實(shí)際值，而且計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值相近，表明該方法具有一定的可行性。

圖9 不同曲率下實(shí)際值的誤差

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)管狀基體渦流測(cè)量中因曲率的影響而導(dǎo)致的測(cè)量誤差，在常規(guī)校正方法中往往采用的高斯函數(shù)、高階多項(xiàng)式等擬合方法復(fù)雜化的問題，研究了曲面曲率半徑對(duì)渦流信號(hào)的影響，提出了基于自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合校正方法，通過自適應(yīng)參數(shù)求解，建立了多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。結(jié)果表明，相比于直接利用高斯函數(shù)、高階多項(xiàng)式等復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行校正的傳統(tǒng)手段，該方法建立的關(guān)系式所計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內(nèi)，降低了參數(shù)復(fù)雜度，具有一定的通用性與可行性。

綜上所述，通過基于自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合方法建立的函數(shù)關(guān)系，簡(jiǎn)化了實(shí)際操作流程，使其更方便有效地應(yīng)用于工程實(shí)際中。