光纖陀螺冗余可修復系統(tǒng)可靠性評估

楊茜茜， 耿麗松， 張 宇

(中國飛行試驗研究院，陜西 西安 710089)

0 引 言

光纖陀螺作為新型角速率傳感器，可以為飛行器提供準確的角速度、角位移和方位等關(guān)鍵參數(shù)，完成對飛行器運動軌跡與姿態(tài)的把控[1]，是飛行試驗領(lǐng)域的一類關(guān)鍵傳感設(shè)備。故需光纖陀螺具備高穩(wěn)定性和高可靠性。在光纖陀螺自身可靠性提升空間較為有限的情況下，提升慣性測量系統(tǒng)可靠性的常用方法是對組成該系統(tǒng)的光纖陀螺應(yīng)用冗余技術(shù)[2]。冗余是使器件或系統(tǒng)獲取高可靠性、高穩(wěn)定性和長壽命的有效技術(shù)之一，其核心思想是利用低可靠性元器件相互備用構(gòu)成較高可性的系統(tǒng)[3]。當組成系統(tǒng)的某一元器件失效時，可以隔離故障，切換到冗余部分代替失效部分繼續(xù)運行，只有當規(guī)定的基礎(chǔ)元器件均失效時系統(tǒng)才會發(fā)生故障，進而提高系統(tǒng)可靠性[4]。由多臺光纖陀螺冗余組成的慣性測量單元是飛行器等復雜可修裝備的關(guān)鍵部件，是一種結(jié)構(gòu)精密的可修系統(tǒng)。如果其發(fā)生故障則會對裝備功能發(fā)揮產(chǎn)生重大影響，甚至造成災難。因此快速準確地評估和分析其可靠性，準確掌握系統(tǒng)的實際性能，對降低系統(tǒng)風險、提高飛機、導彈等裝備任務(wù)成功率有重要意義。

國內(nèi)外對冗余系統(tǒng)可靠性已有研究，如郄朝輝等[5]采用馬可夫鏈定量求解了多組件冗余系統(tǒng)可靠性。尹行等[6]考慮了組成系統(tǒng)元器件失效率之間的相依性，分析了冗余系統(tǒng)可靠性。文獻[7-9]基于系統(tǒng)冗余關(guān)系建立聯(lián)了故障樹模型。但通過故障樹圖，僅僅可以直觀地從中了解頂事件、中間事件與底事件間的邏輯關(guān)系。若需對光纖陀螺冗余系統(tǒng)進行更深入的研究還需采用其他方法求解故障樹模型。傳統(tǒng)的故障樹求解方法如上行法、下行法和二元決策圖法等采取不交化處理存在計算量會隨系統(tǒng)規(guī)模呈指數(shù)增長的問題，對整個故障樹模型求解相對繁雜且低效。蒙特卡洛仿真法通過對底設(shè)備失效時間進行抽樣來模擬系統(tǒng)運行情況，可以直接實現(xiàn)故障樹的定量分析而不需要繁復而費時的最小割集和結(jié)構(gòu)函數(shù)求解過程，因此蒙特卡洛方法可以更為快捷有效地對故障樹進行定量分析處理。

飛行試驗領(lǐng)域，光纖陀螺可靠性評估是近年來才面對的一個新課題，目前的研究也大多集中于將光纖陀螺視為不可維修器件的情況[10]，對于光纖陀螺冗余可修復系統(tǒng)可靠性問題鮮有研究。若不加以區(qū)分直接套用不可修系統(tǒng)的可靠性評估模型及方法，就不能準確描述光纖陀螺冗余系統(tǒng)可修復性在可靠性評估結(jié)果中的體現(xiàn)，研究結(jié)果也難以作為光纖陀螺設(shè)計、研制階段的指導。故亟需開展光纖陀螺冗余可修復系統(tǒng)可靠性評估工作。

1 冗余系統(tǒng)可靠性評估整體思路

本文采用故障樹和蒙特卡洛仿真兩者相結(jié)合的方法?；诠饫w陀螺冗余系統(tǒng)邏輯結(jié)構(gòu)建立故障樹模型，采用蒙特卡洛仿真法求解光纖陀螺冗余系統(tǒng)的可靠性指標。流程圖如圖1所示，整體實施步驟如下：

圖1 光纖陀螺可靠性評估步驟

1）建立光纖陀螺冗余系統(tǒng)故障樹：通過分析組成各個單元模塊中光纖陀螺的失效情況，基于系統(tǒng)邏輯及其時序特性，建立光冗余系統(tǒng)故障樹模型。

2）確定故障樹底事件：各個光纖陀螺發(fā)生故障失效為故障樹基本底事產(chǎn)生隨機數(shù)數(shù)列，采用逆函數(shù)方式算法代入基本事件的故障分布函數(shù)和修復分布函數(shù)，抽取修復時間。

3）蒙特卡洛仿真：通過MATLAB編程，模擬各個基本事件的時序狀態(tài)，計算得出每次仿真中光纖陀螺冗余系統(tǒng)各個時刻的故障狀態(tài)并統(tǒng)計仿真后的相關(guān)數(shù)據(jù)，實現(xiàn)對光纖陀螺冗余系統(tǒng)的可靠性定量求解。

2 光纖陀螺冗余系統(tǒng)可靠性模型

2.1 系統(tǒng)冗余關(guān)系

將單個光纖陀螺按三維空間中指定方向安裝，即可測得此方向的實時角速率，從而計算角位移。在飛行試驗中，為了測得飛機在滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航3個方向的角速率參數(shù)，一般在這3個相互垂直的方向各安裝一臺陀螺，構(gòu)成一個慣性測量單元。在飛行試驗領(lǐng)域，要求慣性測量單元具有可靠性高、壽命長等特點，除了從光纖陀螺的光路電路設(shè)計、元器件選型和外殼材質(zhì)等方面來提高光纖陀螺自身可靠性之外，還需對構(gòu)成慣性測量系統(tǒng)的測量單元進行備用冗余，甚至還需對構(gòu)成慣性測量單元的光纖陀螺進行備用冗余。

如圖2所示，本文分析對象由兩組相互獨立的慣性測量單元IMU1和IMU2組成，這兩組慣性測量單元互為備用，即當且僅當IMU1和IMU2同時發(fā)生故障時，整個光纖陀螺冗余系統(tǒng)故障。在IMU1中，4個光纖陀螺分別沿空間坐標軸的X、Y、Z方向和體對角線S方向安裝構(gòu)成測量單元IMU1。同樣，在IMU2中，另外4個光纖陀螺分別沿X′、Y′、Z′和S′方向安裝構(gòu)成測量單元IMU2，安裝在每個測量單元內(nèi)部體對角線方向的光纖陀螺作為X、Y、Z三個方向的備用，當這三個方向中某一方向的光纖陀螺失效時，對角線方向的陀螺可以作為該失效方向陀螺的備用投入工作，這種情況下測量單元仍能正常工作。但當每一測量單元中失效陀螺數(shù)量≥2時，該測量單元發(fā)生故障無法工作。

圖2 光纖陀螺慣性測量單元冗余系統(tǒng)示意圖

2.2 光纖陀螺冗余系統(tǒng)FTA模型

故障樹分析（FTA）是一種直觀建立復雜冗余系統(tǒng)可靠性模型的有效方法[11]，它不僅減少了分析元件數(shù)目，而且避免了對故障重復搜索。

本文建立的光纖陀螺冗余系統(tǒng)故障樹如圖3所示，以“系統(tǒng)故障”為頂事件，以“IMU1故障”和“IMU2故障”為中間事件，光纖陀螺G1～G8故障為底事件。底事件符號及其對應(yīng)事件如表1所示。兩個中間事件同時發(fā)生則導致頂事件發(fā)生，故選擇邏輯門“與”門聯(lián)接兩個中間事件。事件“IMU1故障”包含4個底事件G1～G4，同樣，事件“IMU2故障”包含4個底事件G5～G8，在每個中間事件中，有兩個或超過兩個底事件發(fā)生則該中間事件發(fā)生，故采用四選二門。

圖3 光纖陀螺冗余系統(tǒng)故障樹模型

表1 FTA底事件及其對應(yīng)符號

2.3 可靠性指標定義

光纖陀螺可靠性評估指標一般可用時間和概率表示[12]，常用的指標包括平均無故障工作時間（mean time between failure，MTBF）、平均故障修復時間（mean time to repair，MTTR）、穩(wěn)態(tài)可用度A及穩(wěn)態(tài)不可用度A′等，文獻[12]具體定義上述指標及其計算方法。

MTTR指光纖陀螺從故障發(fā)生到修復時間的期望值，可表示為：

其中g(shù)(t)表示陀螺的修復密度。

MTBF是陀螺無故障工作時間的數(shù)學期望值，公示表示如下：

其中f(t)為陀螺在(t,t+Δt]間首次發(fā)生故障的概率，即失效密度。

可用度A(t)指在光纖陀螺0時刻正常工作，且至t時刻也能正常工作的概率。特別地，當陀螺故障率及修復率服從指數(shù)分布，可用度A(∞)收斂于一個常數(shù)，定義其為穩(wěn)態(tài)可用度A，公式表達如下：

相對應(yīng)的，穩(wěn)態(tài)不可用度A′為：

特別地，當系統(tǒng)故障及修復服從指數(shù)分布，穩(wěn)態(tài)不可用度可表示為：

3 光纖陀螺冗余系統(tǒng)可靠性模型求解

3.1 蒙特卡洛仿真法

蒙特卡洛法按一定的步驟模擬隨機出現(xiàn)的各種系統(tǒng)狀態(tài)，利用MATLAB工具箱里隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生一組符合該系統(tǒng)模型的隨機數(shù)，生成足夠多的抽樣樣本，用這些隨機數(shù)來代替工程樣本數(shù)據(jù)，從多次仿真結(jié)果中得到系統(tǒng)較為豐富可靠性指標，適應(yīng)性較高，說服力強，大大提高了計算效率[13]。

圖4展示了兩元件組成的串并聯(lián)系統(tǒng)時序狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。每個元件分別包含正常運行和故障修復兩個狀態(tài)，對各元件當前所處狀態(tài)的持續(xù)時間進行抽樣，記錄所有元件的時序狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，得到元件1運行時長為T11,T12,···,T1M，故障修復時長為T′11,T′12,···,T′1M，元件 2 運行時長為T21,T22,···,T2M，故障修復時長為T′21,T′22,···,T′2M。組合所有元件的時序狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程，如：0～t3時刻，元件1運行狀態(tài)持續(xù)時長為T11，故障修復狀態(tài)持續(xù)時長為T′11，元件2運行狀態(tài)持續(xù)時長為T21，故障修復狀態(tài)持續(xù)時長為T′21。狀態(tài)組合后，對串聯(lián)系統(tǒng)而言，0～t1時刻，兩元件均處于運行狀態(tài)，系統(tǒng)正常；對并聯(lián)系統(tǒng)而言，0～t3時刻，兩元件中，其一處于運行狀態(tài)，則系統(tǒng)正常，兩元件同處于故障修復狀態(tài)，則系統(tǒng)故障。以此類推，得到直至tM時刻的串并聯(lián)系統(tǒng)時序狀態(tài)。對抽樣獲得的系統(tǒng)所有狀態(tài)進行分析，計算系統(tǒng)的可靠性指標。

圖4 串并聯(lián)系統(tǒng)時序狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程

3.2 算法描述及指標計算

采用蒙特卡洛法對光纖陀螺慣性測量單元冗余系統(tǒng)故障樹模型進行求解計算，圖5為考慮陀螺修復性的蒙特卡洛算法流程，其變量定義和算法描述如下：

圖5 考慮時變故障率的序貫蒙特卡洛算法流程

1）參數(shù)輸入。設(shè)置8個光纖陀螺故障率rc1～rc8及修復率uc1～uc8；設(shè)置仿真抽樣次數(shù)FT，受計算機硬件及MATLAB約束，有取值上限。

2）隨機數(shù)產(chǎn)生。產(chǎn)生隨機列sjs1～sjs16，每一數(shù)列包含F(xiàn)T個隨機數(shù)。

3）抽樣得到光纖陀螺失效時間和修復時間。基于產(chǎn)生的隨機數(shù)，采用反函數(shù)法得到8個光纖陀螺的失效時間STc1～STc8和修復時間XTc1～XTc8（此處假設(shè)失效率和修復率服從指數(shù)分布），則對于光纖陀螺G1有：

4）陀螺狀態(tài)標記及時間標記揉合。運行狀態(tài)標記為0，失效狀態(tài)標記為1，修復狀態(tài)標記為2，按抽樣所得的陀螺狀態(tài)改變時刻進行時間排序。

5）中間事件失效邏輯判斷。根據(jù)故障樹中的邏輯門即或門、與門和選擇門得到每個慣性測量單元IMU1和IMU2的時序狀態(tài)。

6）各個測量單元故障、修復時刻提取?；诓襟E5）中慣性測量單元IMU1和IMU2的失效時刻和修復時刻, 按其狀態(tài)改變時刻進行時間排序，提取得到各個單元狀態(tài)轉(zhuǎn)換時刻。

7）頂事件失效邏輯判斷。根據(jù)故障樹中聯(lián)接中間事件的邏輯門得到整個光纖陀螺慣性測量單元冗余系統(tǒng)的時序狀態(tài)，并記錄系統(tǒng)故障總次數(shù)NS和修復次數(shù)NX。

8）系統(tǒng)故障、修復時刻提取。基于步驟7）中整個光纖陀螺慣性測量單元冗余系統(tǒng)的失效時刻TS和修復時刻TX, 按其狀態(tài)改變時刻進行時間排序，提取得到系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換時刻。

9）可靠性指標計算。通過仿真統(tǒng)計，計算得到平均修復時間MTTR、平均無故障工作時間MTBF、穩(wěn)態(tài)可用度A和穩(wěn)態(tài)不可用度A′。

4 實例分析

4.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

光纖陀螺可靠性研究大多默認其故障及修復服從指數(shù)分布，即光纖陀螺故障率和修復率均為常數(shù)[12]，本文參考文獻[14]采用光纖陀螺失效率為5.855 4×10-6次/h，表2列舉了實際工程中光纖陀螺在4種不同維修類型情況下的平均修復時間和平均維修率，其中修復率為修復時間的倒數(shù)[13]。一般可認為在同一個光纖陀螺冗余系統(tǒng)中，同型號陀螺故障率相同，修復率相同。

表2 光纖陀螺不同維修類型下的修復率估計

4.2 光纖陀螺冗余系統(tǒng)可靠性指標計算

圖6直觀記錄了光纖陀螺在4種不同修復類型下整個冗余系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)不可用度曲線。經(jīng)100 000次仿真抽樣后，計算得到維修類型1（元部件參數(shù)調(diào)整）情況下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可用度均大致趨于2.6×10-7，維修類型2（元部件損傷修復）情況下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可用度均大致趨于8×10-6，維修類型3（元部件失效小更換）情況下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可用度均大致趨于1.43×10-4，維修類型4（元部件失效大更換）情況下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可用度均大致趨于1.75×10-2。

圖6 光纖陀螺冗余系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可用度圖

為驗證本文所提故障樹結(jié)合蒙特卡洛（FTA-蒙特卡洛）方法的可用性，突出方法優(yōu)勢。在維修類型4中，即當陀螺修復率為1/8 764 次/h時，比較圖7中的傳統(tǒng)蒙特卡洛與FTA-蒙特卡洛穩(wěn)態(tài)不可用度指標結(jié)果，可見兩種方法下指標的結(jié)果差異性不大，表明故障樹結(jié)合蒙特卡洛的可靠性評估方法能夠勝任光纖陀螺冗余可修系統(tǒng)的可靠性評估任務(wù)?？紤]到該系統(tǒng)實時產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，算法的收斂速度與穩(wěn)定性是需要考慮的因素，由兩種算法的曲線可知，相較于傳統(tǒng)蒙特卡洛法，F(xiàn)TA-蒙特卡洛法的收斂速度更快、穩(wěn)定性更強、所需的計算能力要求較低，適用性更廣。

圖7 兩種方法下的穩(wěn)態(tài)不可用度收斂圖

通過MATLAB模擬系統(tǒng)運行，同時也統(tǒng)計出光纖陀螺冗余系統(tǒng)的可靠性指標結(jié)果如表3所示，包括：系統(tǒng)平均故障修復時間MTTR、系統(tǒng)平均無故障時間MTBF、穩(wěn)態(tài)不可用度A′以及可用度A的近似值。

表3 光纖陀螺可靠性指標統(tǒng)計表

由表3可定量看出，維修類型1（元部件參數(shù)調(diào)整）情況下的可用度最高，為99.999 97%，該情況下的系統(tǒng)平均修復時間約為10.83 h，系統(tǒng)平均無故障工作時間約為7.31×107h。維修類型2（元部件損傷修復）情況下的可用度次之,為99.999 2%，該情況下的系統(tǒng)平均修復時間約為88.58 h，系統(tǒng)平均無故障工作時間約為1.14×107h。維修類型3（元部件失效小更換）情況下的可用度為99.985 7%，該情況下的系統(tǒng)平均修復時間約為353.26 h，系統(tǒng)平均無故障工作時間約為2.57×106h。維修類型4（元部件失效大更換）情況下的可用度最低，為98.25%，該情況下的系統(tǒng)平均修復時間約為4 610 h，系統(tǒng)平均無故障工作時間約為2.65×105h。

由上述指標計算結(jié)果可得，當組成冗余系統(tǒng)的光纖陀螺可修復能力越強即修復率越高時，整個冗余系統(tǒng)在任務(wù)周期內(nèi)的穩(wěn)態(tài)可用度越高，從而使飛行試驗參數(shù)測試系統(tǒng)越可靠。與此同時，由指標計算結(jié)果可得：對于本論文的光纖陀螺冗余系統(tǒng)而言，當單個陀螺故障率和維修率服從指數(shù)分布，并且在故障率一定的情況下，系統(tǒng)平均修復時間和平均無故障工作時間與單個陀螺的維修率成正比，即當單個陀螺維修率提高為N倍時，系統(tǒng)MTTR和MTBF也相應(yīng)變?yōu)樵瓉淼腘倍。

5 結(jié)束語

本文針對光纖陀螺冗余系統(tǒng)的工作原理及特性，基于故障樹原理建立了光纖陀螺可靠性評估模型并采用蒙特卡洛仿真法進行系統(tǒng)可靠性指標求解，定量評估了光纖陀螺冗余系統(tǒng)的可靠性，定量評估了同類光纖陀螺不同修復率對冗余系統(tǒng)可靠性的影響。

本文研究結(jié)果表明，當光纖陀螺故障率一定時，其可修復能力對冗余系統(tǒng)平均無故障工作時間、系統(tǒng)平均修復時間以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的調(diào)節(jié)起決定性作用，陀螺修復時間越短，修復率越高，冗余系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度越高，可靠性提升幅度就越大。通過定量研究光纖陀螺修復率與系統(tǒng)可靠性指標之間的關(guān)系、對比不同維修率下的系統(tǒng)可靠性指標變化，可在冗余系統(tǒng)的初期設(shè)計規(guī)劃階段，為光纖陀螺冗余系統(tǒng)關(guān)鍵元件的選取、檢修及更換制定合理方案，為系統(tǒng)可靠性與經(jīng)濟性協(xié)調(diào)等方面提供決策依據(jù)。