最值問題求解攻略

宋揚

【摘? 要】最大值和最小值統(tǒng)稱最值。最值問題歷來都是熱點所在，不僅有著很大的實用價值，而且具有重要的理論研究價值。本文結(jié)合大單元主題教學(xué)實踐，通過若干典型實例，闡釋了求解最值的常用方法、技巧和策略。同時，試圖以此作為大單元主題教學(xué)的示范，讓核心素養(yǎng)在學(xué)科教學(xué)中深度融合、充分顯現(xiàn)，有力推動“雙減”目標(biāo)在學(xué)科教學(xué)中落實落細(xì)，真正達(dá)到減負(fù)增效。

【關(guān)鍵詞】最值;常用方法;類型對策;重要節(jié)點;舉一反三

在社會生活和生產(chǎn)實踐中，時常會遇到“最值”問題。比如，怎樣確定最佳方案，使成本最低、產(chǎn)值最高、花費最少、獲利最大等。這類問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，往往歸結(jié)為求某個解析式（含代數(shù)式），或某個函數(shù)，或某個有約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式的最值。求解最值的途徑是各種各樣的，可謂不拘一格。出于大單元主題教學(xué)的需要，現(xiàn)將常用的初等方法、類型對策、重要節(jié)點等整理如下。可以看到，所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是多姿多彩的。

一、配方法

例1 設(shè)x>0，求函數(shù)y=x2+3x+的最小值.

解：y=（x2-2x+1）+5（x+-2）+9

=（x-1）2+5（-）2+9≥9，

又易知當(dāng)x=1時，y=9，所以y的最小值為9。

類型對策：凡能配成若干個完全平方式與一個常數(shù)之和的形式，通常優(yōu)先使用配方法。

重要節(jié)點：配方時，要特別注意驗證取最值的條件是否成立，否則可能會出錯。本例如果配成y=（x-1）2+5（+）2-11的形式，就得不到正確答案。

舉一反三：設(shè)x為正數(shù)，求代數(shù)式x2+x+的最小值。

二、數(shù)形結(jié)合法

例2 已知-1≤x≤3，求函數(shù)y=-x2-3x+的最值。

解：y=-（x2+6x+9）+7=-（x+3）2+7，

據(jù)此頂點式，描出二次函數(shù)的圖像（示意圖，略）。

由于-1≤x≤3，觀察圖像并經(jīng)計算易得：

當(dāng)x=-1時，ymax=5;當(dāng)x=3時，ymin=-11。

類型對策：二次函數(shù)在某一有限區(qū)間上（內(nèi)）的最值，通常先將二次函數(shù)通過配方化為頂點式，然后描出其圖像（示意圖），再考察圖像，并作相關(guān)數(shù)值計算，就能得到結(jié)果。

重要節(jié)點：應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)考察其圖像，不可粗枝大葉。

舉一反三：求函數(shù)y=-x2-3x+在區(qū)間[-5，3）上的最值。

【注】數(shù)形結(jié)合法有三種基本類型：（1）利用函數(shù)圖像，如本例;（2）將代數(shù)問題用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為幾何問題;（3）將幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。

三、判別式法

例3 求分式的最值。

解：令y=原式，將此表達(dá)式變形，整理成關(guān)于x的一元二次方程，得（y-6）x2+（2y-12）x+2y-10=0。①

當(dāng)y-6≠0時，即y≠6，方程①有實根的充要條件是根的判別式△=（2y-12）2-4（y-6）（2y-10）≥0，即（y-4）（y-6）≤0，解得4≤y≤6;

當(dāng)y-6=0，即y=6時，方程①無解，可知y≠6。

綜上可得4≤y≤6。

又反代入易知x=-1，y=4。所以原分式的最小值為4，但沒有最大值。

類型對策：形如的最值，通常可以考慮將它轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，運用根的判別式來求得。

重要節(jié)點：（1）對二次項系數(shù)等于零、不等于零兩種情況要分別討論，然后綜合。（2）此法也有失效的情況，比如其定義域為某個有限區(qū)間的情形，運用判別式法可能行不通，須另尋他法。

四、不等式法（運用不等式性質(zhì)）

仍以例3為題，思路點睛：原式=6- ，

由于（x+1）2+1≥1，根據(jù)不等式性質(zhì)逐步推導(dǎo)而求得。

五、不等式法（利用基本不等式）

例4 若x>0，求y=++的最小值。

解：y=++≥2··+2·=4，

又有當(dāng)=且=，即x=1時，y=4。所以ymin=4。

類型對策：針對題目的特征（特點），選用相宜的基本不等式.

重要節(jié)點：本題利用了基本不等式a+b≥2·（a≥0，b≥0）。

六、增減性法（利用函數(shù)的單調(diào)性）

例5 求y=++的最值。

解：先確定函數(shù)的定義域（自變量的取值范圍），

由不等式組x+1≥0，x≥0，x-3≥0，解得x≥3。

經(jīng)觀察函數(shù)的表達(dá)式知，y在其定義域內(nèi)單調(diào)增加，所以y無最大值;當(dāng)x=3時，ymin=2+。

例6 求函數(shù)f（x）=-的最值。

解：先求定義域，由不等式組8x-x2≥0，14x-x2-48≥0，解得6≤x≤8。

于是有f（x）=（-）=，x∈[6，8].

在定義域內(nèi)，當(dāng)x增加時，f（x）的分母單調(diào)增加，且分子單調(diào)減少，從而f（x）是減函數(shù)。

所以fmax（x）=f（6）=2;fmin（x）=f（8）=0。

類型對策：一次函數(shù)是單調(diào)的;二次函數(shù)以頂點為界，最多分成兩段，各自單調(diào);某一類函數(shù)經(jīng)觀察易知是單調(diào)的;某一類函數(shù)經(jīng)適當(dāng)變形后可知是單調(diào)的或分段單調(diào)的。

重要節(jié)點：通常先確定函數(shù)的定義域，一元函數(shù)的定義域有時也稱為定義區(qū)間，閉區(qū)間上單調(diào)函數(shù)的最值，必在區(qū)間的端點處取得。

【注】例6運用了“分子有理化”的技巧，將因子（-）作了“有理化”處理。

七、換元法

例7 求函數(shù)y=x-的最值。

解：令=t（t≥0，x≤），則x=（1-t2），

于是有y=（1-t2）-t=-（t+1）2+1。

結(jié)合二次函數(shù)的圖像（注意到t≥0），觀察并計算可得：

當(dāng)t=0，即x=時，ymax=;y無最小值。

類型對策：形如y=ax+b+的函數(shù)，一般可用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù).使用換元法的場景還有很多，其數(shù)學(xué)思想是化無理式為有理式，化分式為整式，化復(fù)雜式子為簡單式子，從而有利于問題的解決。

重要節(jié)點：考察函數(shù)的定義域（包括換元后的定義域），還是很有必要的。

八、消元法

例8 已知x2+4y2=4x，求z=x2+y2的最值。

解：由條件得y2=x-x2，代入消元可得：

z=x2+（x-x2）=x2+x=（x+2）2-1。

由于y2≥0，則x-x2≥0，解之得0≤x≤4，此即為上述函數(shù)z的定義域。

畫出二次函數(shù)z的圖像（草圖，略），觀察之（注意到x=-2不在定義域內(nèi)），并作相應(yīng)的數(shù)值計算可得：

當(dāng)x=0時，zmin=0;當(dāng)x=4時，zmax=8。

類型對策：對于有條件等式的多元函數(shù)，往往采用消元法，將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)。

重要節(jié)點：要能依據(jù)約束條件，求出函數(shù)的定義域，這是解題過程中的一個重要組成部分，不可或缺。

舉一反三：設(shè)x2+4y2=4x，求u=x2-y2的最值。

九、參數(shù)法

例9 已知x、y均為正實數(shù)，且x+y=1，求1+++的最小值。

解：由已知條件，可令x=sin2α，y=cos2α（α為銳角），則有1+++=（1+）（1+）=·=（2+）（2+）=5+2（

）2+（

）2≥5+2·2··=9，

又易知，當(dāng)時x=y=，1+++=9，所以所求最小值為9。

重要節(jié)點：往往依照題設(shè)條件的特征，選用合適的參數(shù)，有一定的規(guī)律可循。

【注】本例解題過程中利用了基本不等式A2+B2≥2AB，當(dāng)且僅當(dāng)A=B時，等號成立。

十、構(gòu)造法（構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形）

例10 設(shè)x、y均為正數(shù)，且滿足x+y=8，求+的最小值。

解：構(gòu)建以x、1以及y、5為直角邊的兩個直角三角形，并拼接成一個大直角三角形（圖略），即Rt△ABC。

本題所求，就是求兩條線段（長度）PA與PB之和的最小值。

根據(jù)題設(shè)條件，有+=PA+PB≥AB====10，

當(dāng)且僅當(dāng)點P在線段AB上時等號成立。此時利用相似比，有=，易得x=，y=。因此，所求最小值為10。

類型對策：構(gòu)造法除了上述構(gòu)圖法，另有構(gòu)建函數(shù)、構(gòu)建坐標(biāo)系、構(gòu)造方程（多見于一元二次方程）等手段技巧。

【注】例10也可說是數(shù)形結(jié)合法的一種類型，將代數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決。

求解最值問題，可采用的方法還有很多，諸如倒數(shù)法、主元法、坐標(biāo)法、方差法、微分法等，及其幾種方法的綜合運用.因篇幅所限，不宜贅述。

重要節(jié)點：（1）就函數(shù)而言，無論用什么方法求最值，都要檢查在其定義域內(nèi)，是否存在相應(yīng)的自變量的值，使函數(shù)在該處取得最值。一般來說，就是驗證取最值的條件是否成立。（2）但凡求最值，不言而喻，所有變量都在實數(shù)范圍內(nèi)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]葛軍.簡單分式函數(shù)的最值，奧數(shù)教程（九年級）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2018.