利用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建數(shù)學(xué)模型
——以人教版教材《乘法分配律》教學(xué)為例

□ 莫筱暉

弗賴登塔爾說過：“當(dāng)思想能被直觀地描述時，馬虎的語言是能被接受的。但是，一件事越抽象，離直觀越遠(yuǎn)，就越需要用仔細(xì)的語言來描述?！睌?shù)學(xué)語言是一種簡潔而精確的抽象語言，它為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達(dá)方式，讓人們能夠清晰而有效地研究世界中的數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)語言在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型中的作用尤為突出。筆者以人教版四年級下冊《乘法分配律》新授課為例，談?wù)動脭?shù)學(xué)語言構(gòu)建乘法分配律模型的過程，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言表征現(xiàn)實世界，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并利用模型貫通知識等，從而加深對乘法分配律的理解與應(yīng)用。

【課例回顧】

一、以形助數(shù)，探究問題——使用數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)語言是學(xué)生在課堂上最直接的思維表達(dá)方式，也是提升學(xué)生問題解決能力及抽象能力的有效方法。因此在課堂上，教師應(yīng)適時激活學(xué)生的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)與解決問題。

1.數(shù)形結(jié)合，提取信息

師：前段時間很多同學(xué)參加了學(xué)校組織的“詩畫校園”書畫比賽，這是四、五年級現(xiàn)場書法比賽的座位分布圖，你有什么發(fā)現(xiàn)？（教師課件呈現(xiàn)座位分布圖，如圖1）

圖1

生：我發(fā)現(xiàn)有很多人參加現(xiàn)場書法比賽。

生：我發(fā)現(xiàn)五年級參加的人數(shù)比四年級多。

生：我發(fā)現(xiàn)每一列的人數(shù)是一樣的。

生：我發(fā)現(xiàn)每一列坐了12人。

生：我知道四年級的人數(shù)，也知道五年級的人數(shù)，總?cè)藬?shù)也可以知道。

……

師：同學(xué)們在這張座位表上發(fā)現(xiàn)了很多信息，那么你能不能用數(shù)學(xué)的表達(dá)方式表述這些信息，并且提出一個數(shù)學(xué)問題呢？

生：每一列坐12名學(xué)生，四年級坐了5列，五年級坐了6列。參加比賽的四、五年級學(xué)生一共有多少人？

師：我們在圖中發(fā)現(xiàn)了不少信息，也能根據(jù)需要提取有用的信息，提出數(shù)學(xué)問題。（教師課件呈現(xiàn)圖2）

圖2

（設(shè)計意圖：座位分布圖是常見的圖式，學(xué)生相對來說比較熟悉。讓學(xué)生根據(jù)圖片找信息，其實就是培養(yǎng)學(xué)生提取信息的能力。而在信息提取中，學(xué)生通過優(yōu)化，用“每列12 人”“有多少列”這樣的語言更為規(guī)范地表達(dá)并且提出數(shù)學(xué)問題。這個過程其實就是學(xué)生將日常語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的過程。雖然仍是文字表述，但去除多余信息，提取有用信息后，就是數(shù)學(xué)語言的最初形態(tài)。）

2.探究問題，精煉語言

師：那么四、五年級究竟有多少名同學(xué)參加了現(xiàn)場書法比賽呢？請你用自己的方法來解決。

學(xué)生出示兩種解題方法：①（5+6）×12；②5×12+6×12。

師：雖然用這兩種方法都求出了四、五年級學(xué)生參加現(xiàn)場書法比賽的人數(shù)，但是它們的思考方法一樣嗎？

生：第①種方法是先求出一共有多少列，然后乘以每列12 人，就求出了總?cè)藬?shù)。第②種方法是先求出四年級有多少人，再求出五年級有多少人，最后求總?cè)藬?shù)。

師：是的，這位同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了兩種方法的不同之處。那么誰能說得更清楚，更明白些呢？

生：第①種方法是先求出一共有幾列，然后用列數(shù)乘一列的人數(shù)，再求出總?cè)藬?shù)。第②種方法是先分別求出四年級和五年級的學(xué)生數(shù)，再求總?cè)藬?shù)。

生：我可以用兩個數(shù)量關(guān)系式來表示兩種不同的方法。①（四年級5 列+五年級6 列）×一列12人=總?cè)藬?shù)；②四年級5列×一列12人+五年級6列×一列12人=總?cè)藬?shù)。

師：那么這兩種方法有什么相同的地方嗎？

生：它們都是求四、五年級學(xué)生參加現(xiàn)場書法比賽的總?cè)藬?shù)。

生：我們也可以這樣想，5個12+6個12，那其實就是11 個12，所以這兩個算式肯定是相等的，（5+6）×12=5×12+6×12。

（設(shè)計意圖：在分析兩種方法的過程中，學(xué)生既能從具體的情境中區(qū)分不同的思考方法，也能從乘法的意義中找到兩種方法的共同點(diǎn)，這樣就能讓學(xué)生在實際應(yīng)用中逐漸構(gòu)建乘法分配律的模型。同時，從文字語言的理解到數(shù)量關(guān)系式的轉(zhuǎn)化，也說明學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)語言表征研究對象上有所進(jìn)步。）

二、舉例驗證，構(gòu)建模型——切換數(shù)學(xué)語言

在構(gòu)建模型的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識及經(jīng)驗提出猜想，并通過舉例、證明等方法來驗證自己的猜想。在這個過程中學(xué)生運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，提高了判斷的準(zhǔn)確性。

1.猜想驗證，模型初顯

師：像這樣（5+6）×12=5×12+6×12的式子，你覺得還有嗎？

（學(xué)生猜想另外的等式并且舉例）

師：這幾組式子中的每一組都相等嗎？你能用自己的方式進(jìn)行驗證嗎？

生：我對左右兩邊的式子都進(jìn)行了計算，發(fā)現(xiàn)答案是一樣的，所以左右兩邊是相等的。

生：我用（5+6）×12=5×12+6×12舉例，左邊是11個12，右邊是5個12加6個12正好就是11個12，所以是相等的。

師：是的，有的同學(xué)通過計算、比較后發(fā)現(xiàn)左右兩邊的式子相等，也有的同學(xué)通過乘法的意義，發(fā)現(xiàn)了這一結(jié)果。

（設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)中，教師鼓勵學(xué)生大膽猜想，找到具有相同類型的式子，并在猜想后進(jìn)行驗證，由個例逐步推向共性。在這樣的操作過程中，學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。不斷舉例的過程也正是一步步構(gòu)建乘法分配律的數(shù)學(xué)模型的過程。）

2.歸納小結(jié)，模型構(gòu)建

師：觀察同學(xué)們提到的這幾組算式，大家有沒有發(fā)現(xiàn)更多的聯(lián)系呢？

生：我發(fā)現(xiàn)這些式子的左邊都是用兩個數(shù)的和去乘一個數(shù)，式子的右邊正好是用這兩個數(shù)分別去乘同一個數(shù)，再相加。

師：是的，這就是我們今天要研究的乘法分配律。你能用自己喜歡的方式來說明究竟什么是乘法分配律嗎？

（學(xué)生以小組為單位進(jìn)行探討，之后交流匯報）

生：乘法分配律就是指一個數(shù)乘兩個加數(shù)的和，可以把這個數(shù)與兩個加數(shù)相乘再相加。

生：我們把算式中的數(shù)字用圖形來替代，可以這樣表示：☆×（□+○）=☆×□+☆×○。

生：因為前面學(xué)習(xí)過的運(yùn)算定律都可以用字母表示，所以我們覺得乘法分配律也可以用字母來簡潔地表示：a×（b+c）=a×b+a×c。

（設(shè)計意圖：在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生對運(yùn)算規(guī)律有一定的想法，并能用文字進(jìn)行解釋，說明他們對乘法分配律的算理已有一定的了解。而以小組為單位對規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，其實就是讓學(xué)生將頭腦中的想法通過數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，無論是文字表達(dá)，還是圖形或者符號表達(dá)，都是學(xué)生用數(shù)學(xué)語言構(gòu)建乘法分配律模型的過程。在這個過程中，學(xué)生既感受到數(shù)學(xué)語言的簡潔與精確，也體會到數(shù)學(xué)模型的概括與抽象。）

三、融會貫通，拓展思維——應(yīng)用數(shù)學(xué)語言

構(gòu)建模型的目的是為了更好地應(yīng)用，但如果只是對照模型進(jìn)行“形”上的變化，就會流于表面。因此，在課堂中教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生全方位、多角度思考問題，利用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行知識的遷移和內(nèi)化，達(dá)到融會貫通的目的。

師：同學(xué)們，接下去我們以小組為單位，完成下面學(xué)習(xí)材料中的題目（如圖3）。

圖3

（學(xué)生小組合作解題）

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么了嗎？

生：我們組在解答第1 題的時候發(fā)現(xiàn)，可以用兩種方法計算長方形的周長，可以是（5+3）×2，也可以是5×2+3×2，這和今天學(xué)習(xí)的乘法分配律其實是一樣的。

生：我們組在研究第2 題的時候發(fā)現(xiàn)，要求這塊菜地的面積，可以先算原來的面積，再算新加的面積，也就是5×3+5×5。也可以先求出這塊新菜地的長是3+5=8（米），再利用長×寬來求。

生：第2 題的算法也就是5×3+5×5=（3+5）×5，這和乘法分配律也是一樣的。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，第1題和第2題雖然是在求長方形的周長和面積，但大家都和今天學(xué)習(xí)的乘法分配律進(jìn)行了聯(lián)系。

（設(shè)計意圖：通過對材料中的前兩題求解和分析，學(xué)生能夠感知到原先用來解決長方形周長和面積的方法也同樣可以用乘法分配律來進(jìn)行解釋。在這一過程中，學(xué)生對于乘法分配律的理解進(jìn)一步加深。而當(dāng)他們對比兩種方法，尋求其中的共同點(diǎn)時，借助了乘法分配律的模型，應(yīng)用了數(shù)學(xué)語言，貫通了前后知識間的聯(lián)系。）

教師接著出示第3題的解法（如圖4）。

圖4

師：同學(xué)們，老師發(fā)現(xiàn)第3 題大家都采用了這樣的方法，這是我們?nèi)昙壘鸵呀?jīng)學(xué)過的筆算乘法。這和我們今天學(xué)習(xí)的知識又有什么聯(lián)系呢？

生：我們覺得這個豎式計算就是乘法分配律。

生：我們可以把豎式分開來看。先用12 中個位的2去乘15，得到30，然后用十位中的1去乘15，得到15，加起來就是180，就是乘法分配律。

師：誰聽明白這組同學(xué)的分析了？

生：他們的意思就是15×12=15×（2+10），這就體現(xiàn)了我們剛才學(xué)的乘法分配律。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答，出示圖5）

圖5

師：原來筆算乘法中也滲透了我們今天學(xué)習(xí)的乘法分配律的相關(guān)知識哦。

（設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能脫離實際，乘法分配律的學(xué)習(xí)從解決實際問題中進(jìn)行抽象，最后回到解決實際問題中去。在這個過程中，學(xué)生既要學(xué)著將日常語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，也要將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為日常語言。）

【課后反思】

一、在日常語言與數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換中精準(zhǔn)表征

在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，無論是數(shù)的運(yùn)算還是數(shù)量關(guān)系，都具有結(jié)果的唯一性，這種唯一性要求教師在教學(xué)中對學(xué)生的語言進(jìn)行規(guī)范，從模糊的日常語言進(jìn)化到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言。因此，教師應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生潛在的生活經(jīng)驗和知識，讓他們將生活中的數(shù)學(xué)信息提取出來，逐步用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)。課堂上，教師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的“詩畫校園”情境，讓學(xué)生將生活中的數(shù)學(xué)信息提取出來，通過數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)。而這種表達(dá)，也為后續(xù)乘法分配律模型的建立奠定了基礎(chǔ)。

二、在不同數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中逐步建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的建立，不是靠一個算式或一個具體例子，而是需要經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的過程。因此，在數(shù)學(xué)模型建立的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已有的知識或者自身的經(jīng)驗，運(yùn)用文字、圖形、符號等多種數(shù)學(xué)語言進(jìn)行猜想并驗證。

在乘法分配律模型建立的過程中，學(xué)生從生活問題入手，通過文字語言初步感知乘法分配律模型的“形”；利用圖形、符號等數(shù)學(xué)語言進(jìn)行抽象概括，進(jìn)一步感知乘法分配律模型的“質(zhì)”。在這一過程中學(xué)生不斷轉(zhuǎn)換各種數(shù)學(xué)語言，提升了自主探究和實踐的能力。

三、在數(shù)學(xué)語言模型的構(gòu)建中融會貫通

乘法分配律在實際計算中運(yùn)用非常廣泛，無論是直接運(yùn)用，還是逆運(yùn)用以及變式運(yùn)用，借助數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，都讓學(xué)生有更深的認(rèn)識。在長方形周長、面積計算和筆算乘法的再認(rèn)識中，學(xué)生能清楚地感知雖然在課堂中是第一次闡述這一定律，但其實在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)無形地接觸到了相關(guān)的知識。而這種知識的遷移、貫通正是在數(shù)學(xué)語言的表述中逐漸豐滿、立體起來的。

使用數(shù)學(xué)語言，能夠讓學(xué)生將問題轉(zhuǎn)換成可以觸碰感知的文字、圖形和符號等，在不斷轉(zhuǎn)換中建立模型、應(yīng)用模型。然而，數(shù)學(xué)語言的培養(yǎng)不是一兩堂課就能完成的，只有讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，才能讓他們的思維真正有深度，讓數(shù)學(xué)真正發(fā)揮它應(yīng)有的價值。